Власні коливання пластин

виправити

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
Власні коливання пластин
Виконала:
студентка V курсу математичного факультету
Чураєвим Ганна Сергіївна
Науковий керівник: старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ С.А. Фалелеева
Рецензент: старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ Л.В. Ончукова
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою М.В. Крутіхін
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005

Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава I Основні положення математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь ........................................ .................................................. ................. 4
1.1 Поперечні коливання. Початкові і граничні умови ..................... 4
1.2 Метод розділення змінних або метод Фур'є ................................... 6
1.3 Однорідні лінійні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами ......................................... .................................................. .......................... 8
Глава II Знаходження функцій, що описують власні коливання мембран 11
2.1 Основні визначення ............................................... ............................. 11
2.2 Власні коливання прямокутної мембрани .............................. 12
2.3 Власні коливання круглої мембрани .......................................... 19
Висновок ................................................. .................................................. . 28
Бібліографічний список ................................................ ........................... 29
Додаток ................................................. .................................................. 30

Введення

Математична фізика ставить своїм завданням максимально точне вивчення явищ природи. З цією метою вона використовує апарат математики. Об'єктом вивчення математичної фізики можуть служити тільки ті явища природи, які піддаються виміру. Наприклад, механічний рух, звук, теплота, світло і т. д.

Цілі роботи:

1. Вивчити математичну літературу на цю тему.

2. Освоїти основні методи розв'язання задач математичної фізики і застосувати їх до вирішення завдань.
Завдання роботи:
1. Вирішити двовимірне рівняння коливань мембрани при додаткових умовах для прямокутної і круглої мембрани.
2. Порівняти отримані результати для обох випадків з аналогічними завданнями, вирішеними для інших додаткових умов.
Методи роботи:
· Вивчення спеціальної літератури;
· Рішення задач.

Глава I Основні положення математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь

Коло питань математичної фізики тісно пов'язаний з вивченням різних фізичних процесів. Сюди відносяться явища, що вивчаються в гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміки і т. д. Що виникають при цьому математичні завдання містять багато спільних елементів і складають предмет математичної фізики.
Диференціальним рівнянням з приватними похідними називається рівність, що містить невідому функцію від декількох змінних, незалежні змінні і приватні похідні невідомої функції із незалежним змінним. Рішенням рівняння з приватними похідними називається функція, звертає це рівняння в тотожність [4].
1.1 Поперечні коливання. Початкові і граничні умови
При математичному описі фізичного процесу потрібно, перш за все, поставити завдання, тобто сформувати умови, достатні для однозначного визначення процесу. Диференціальні рівняння з приватними похідними мають, взагалі кажучи, нескінченна безліч рішень. Тому в тому випадку, коли фізична завдання приводиться до рівняння з приватними похідними, для однозначної характеристики процесу необхідно задати деякі додаткові умови.
У випадку звичайного диференціального рівняння 2-го порядку приватне рішення визначається початковими умовами, наприклад, завданням значень функції і її першої похідної при «початковому» значенні аргументу. Для рівняння з приватними похідними можливі різні форми додаткових умов.

Розглянемо їх для задачі про поперечних коливаннях струни (під струною розуміємо тонку пружну нитка). Кожну точку струни довжини l можна охарактеризувати значенням її абсциси x. Для визначення положення струни в момент часу t досить задати компоненти вектора зміщення точки x в момент t. Тоді

буде задавати відхилення струни від осі абсцис.

(1.1.1)

Якщо кінці струни

закріплені, то повинні виконуватися граничні умови

.
Так як процес коливання струни залежить від її початкової форми та розподілу швидкостей, то слід задати початкові умови:

(1.1.2)

.
Таким чином, додаткові умови складаються з граничних та початкових умов, де

- Задані функції пункту.

(1.1.1 ¢)

Якщо кінці струни рухаються по заданому закону, то граничні умови (1.1.1) приймають інший вигляд:

,
де

- Задані функції часу t.
Можливі й інші типи граничних умов. Розглянемо, наприклад, задачу про поздовжні коливання пружини, один кінець якої закріплений (точка підвісу), а інший кінець вільний. Закон руху вільного кінця не заданий і часто є шуканої функцією.
У точці підвісу x = 0 відхилення

;
на вільному кінці x = l натяг пружини

дорівнює нулю (немає зовнішніх сил), так що математична формулювання умови вільного кінця має вигляд

.
Якщо кінець x = 0 рухається за певним законом

, А при x = l задана сила

, То

.
Типовим є також умова пружного закріплення, скажімо для x = l

або

,
при якому кінець x = l може переміщатися, але пружна сила закріплення викликає на цьому кінці натяг, що прагне повернути змістився кінець у попереднє положення.
Якщо точка (система), щодо якої має місце пружне закріплення, переміщається, і її відхилення від початкового положення задається функцією

, То гранична умова набуває вигляду

.
Умова пружного закріплення при x = 0 має вигляд

.
Таким чином, мають місце три основних типи граничних умов, наприклад, при x = 0:
§ граничні умови 1-го роду

- Заданий режим,
§ гранична умова 2-го роду

- Задана сила,
§ гранична умова 3-го роду

- Пружне закріплення.
Аналогічно задаються граничні умови і на другому кінці x = l. Якщо функція, що задається в правій частині (

або

), Дорівнюють нулю, то граничні умови називаються однорідними [8].
1.2 Метод розділення змінних або метод Фур'є
Одним з найбільш поширених методів рішення рівнянь з приватними похідними є метод розділення змінних або метод Фур'є.
Нехай потрібно знайти функцію

, Що задовольняє для t> 0 рівнянню

(1.2.1)

в області D і додатковим початковим і граничним умовам, де

диференціальне рівняння з приватними похідними другого порядку.
Спробуємо за допомогою суперпозиції всіх лінійно незалежних частинних розв'язків описаного типу (тобто задовольняють граничній умові) задовольнити і початкових умов. Для цього будемо шукати нетривіальні приватні рішення рівняння (1.2.1), що задовольняють граничним умовам, в класі функцій виду

(Де

безперервні в

). Підставляючи функцію

в рівняння (1.2.1) і ділячи обидві частини рівняння на

, Отримуємо

.
Щоб ця рівність було тотожне (тобто щоб функція

задовольняла рівняння (1.2.1) при всіх

) Необхідно і достатньо, щоб обидві дробу були рівні однієї і тієї ж константі

(1.2.2)

Таким чином, повинні виконуватися тотожне

(1.2.3)

,
причому функція

повинна задовольняти граничним умовам. Відповідна крайова задача для рівняння (1.2.3) має нетривіальні рішення не при всіх значеннях

. Ті значення

, При яких вона буде мати нетривіальні рішення, називаються власними значеннями крайової задачі, а відповідні їм рішення

рівняння (1.2.3) - власними функціями крайової задачі.
Суть методу Фур'є:
1) шукаємо рішення рівняння (1.2.1), що задовольнить тільки граничним умовам, серед функцій виду

. Для функції

отримуємо крайову задачу;
2) вирішуємо крайову задачу для функції

. Нехай

є власні функції цієї задачі, а

- Відповідають їм власні значення;
3) для кожного власного значення

знаходимо рішення рівняння (1.2.3);
4) таким чином, приватним рішенням рівняння (1.2.1), задовольняє тільки граничній умові, є функції виду

;
5) візьмемо суму таких приватних рішень по всіх власних функцій

. Дана функція буде спільним рішенням даної задачі. Причому коефіцієнти вибираються таким чином, щоб ці суми були рішеннями початкової задачі [2].
1.3 Однорідні лінійні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
При вирішенні завдань математичної фізики часто приходять до лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Рівняння

(1.3.1)

є однорідним лінійним рівнянням другого порядку з коефіцієнтом при старшої похідної рівним одиниці, а

. Розглянемо рішення рівняння (1.3.1), воно може бути зведене до алгебраїчних операцій та отримано в елементарних функціях.
У силу загальних властивостей лінійного рівняння, нам достатньо знайти два приватних рішення, що утворюють фундаментальну систему рішень.
Покажемо, що вираз

(1.3.2)

,
де

- Дійсне число, буде задовольняти нашому рівнянню.
Продиференціюємо по x вираз (1.3.2):

.
Підставляємо отримані вирази в (1.3.1):

(1.3.3)

.
Позначимо через

- Це є характеристичний многочлен, відповідний оператору L. Тоді (1.3.3) запишеться у вигляді

.
Характеристичний многочлен виходить з оператора L [y], якщо похідні різних порядків в цьому рівнянні замінити рівними ступенями величини

на

(1.3.4)

Якщо (1.3.2) є рішення (1.3.1), то вираз (1.3.3) дорівнює тотожно нулю, але

, Отже

.
Рівняння (1.3.4) - є алгебраїчне рівняння з невідомим

, Воно називається характеристичним рівнянням. Якщо ми в якості постійної

у вираз

візьмемо корінь

характеристичного рівняння (1.3.4), то

, Тобто

буде рішенням диференціального рівняння (1.3.1).
Рівняння (1.3.4) - рівняння 2-го ступеня, отже, має 2 корені. Якщо всі корені різні, то кожен з них відповідає приватному рішенням диференціального рівняння (1.3.1).

Отже, загальний розв'язок рівняння (1.3.1) буде

,
де

- Довільні постійні, а

- Рішення характеристичного рівняння (1.3.4) [6].

(1.3.5)

Якщо корені характеристичного рівняння комплексні,

, То вони будуть сполученими, тому що коефіцієнти рівняння дійсні числа. У такому випадку, загальним розв'язком рівняння (1.3.5) буде

.
Якщо корені характеристичного рівняння чисто уявні, тобто

. Спільним рішенням рівняння (1.3.1) буде

(1.3.6)

.
Якщо припустити, що характеристичне рівняння має рівні коріння

, То одне приватне рішення буде мати вигляд

.
Друге приватне рішення буде

.
Тоді загальний розв'язок рівняння (1.3.1) можна представити у вигляді

(1.3.7)

.

Глава II Знаходження функції, що описує власні коливання мембрани
2.1 Основні визначення
У цій главі використані наступні позначення
·

- Приватна похідна функції

по

;
·

- Похідна функція однієї змінної.
Мембраною називається плоска пластинка, не чинить опір вигину і зсуву. Ми будемо розглядати поперечні коливання мембрани, в яких зміщення перпендикулярно до площини мембрани. Відхилення точок мембрани від площини xOy будемо позначати через функцію

, Яка залежить від координат точки (x, y) і від часу t. Висновок диференціальних рівнянь задач математичної фізики супроводжується цілою низкою припущень як механічних, так і геометричних. Так при виводі рівняння коливання прямокутної мембрани ми знехтували квадратом приватних похідних

(2.1.1)

.
У результаті виходить наступне рівняння коливань прямокутної мембрани

.
У разі розгляду мембрани круглої форми корисно перейти до полярних координатах. Нехай мембрана в стані спокою займає коло радіуса

з центром в початку координат. Введемо полярні координати

. Рівняння кордону кола буде при цьому

. Відхилення точок мембрани є тепер функцією полярних координат

і часу t:

.
Вираз для оператора

в полярних координатах має вигляд

,
Тоді рівняння коливань мембрани (2.1.1) перепишеться у вигляді

(2.1.2)

.
У даній главі нам ще знадобиться визначення ортогональних функцій в наступному вигляді:
Система функцій

називається ортогональною на інтервалі

, Якщо інтеграл від твору будь-яких двох різних функцій системи дорівнює нулю:

(

). Ця умова ортогональності відрізняється від звичайного тим, що під інтегралом міститься множник

, В таких випадках говорять про ортогональності з вагою

[1].
2.2 Власні коливання прямокутної мембрани
Процес коливання плоскої однорідної мембрани описується рівнянням

(2.2.1)

b ₁

b ₂

(2.2.1)

- Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Таким чином, загальне рішення даного рівняння залежить від параметра

. Розглянемо окремо випадки, коли параметра

негативний, дорівнює нулю, позитивний.
1) При

завдання не має нетривіальних рішень. Загальне рішення рівняння

має вигляд

,
т. к. характеристичне рівняння

має коріння

.
Враховуючи граничні умови, отримуємо:

тому що

- Дійсно і позитивно, то

.
2) При

нетривіальних рішень теж не існує.

3) При

спільне рішення рівняння

має вигляд

.
Враховуючи граничні умови, отримуємо:

, Тому що ми шукаємо нетривіальні рішення,

, Отже

Отже, тільки при значеннях рівних

, Існують нетривіальні рішення задачі (2.2.11) і мають вигляд

.
Вони визначаються з точністю до довільного множника, який ми поклали рівним одиниці.
Аналогічно отримуємо рішення задачі (2.2.12):

Власним значенням

, Таким чином, відповідають власні функції

,
де

- Деякий постійний множник. Виберемо його так, щоб норма функцій

з вагою одиниця була дорівнює одиниці

.
Обчислимо окремо інтеграли в рівності:

(2.2.13)

Тоді,

.
Число власних функцій, що належать

залежить від кількості цілочисельних рішень n і m рівняння

.
Власним значенням

відповідають рішення рівняння

,
де

- Довільні константи.
Повертаючись до початкової задачі для рівняння

з додатковими умовами (2.2.4) - (2.2.5), отримуємо, що приватні рішення будуть мати вигляд

.
Тоді загальне рішення запишеться у вигляді

,
де

визначається формулою (2.2.13), а коефіцієнти

рівні:

.
У завданнях, розглянутих у цьому параграфі, необхідно було знайти функцію, що описує відхилення мембрани від положення рівноваги при однакових початкових умовах, але при різних граничних умовах. У результаті були отримані дві різні функції. Таким чином, можна сказати, що прогинання мембрани безпосередньо залежить від граничних умов.
2.3 Власні коливання круглої мембрани
Порівняємо тепер результати вирішення двох задач про знаходження функції, що характеризує прогин мембрани, також при заданих різних граничних умовах, однакових початкових умовах, але вже для круглої мембрани.

(2.3.1)

Рівняння коливань круглої мембрани в полярних координатах має вигляд

.
Будемо шукати рішення цього рівняння при заданих початкових умовах

(2.3.2)

(2.3.3)

і граничних умовах

.
Застосуємо метод розділення змінних. Нехай

.
Підставляємо отриманий вираз для функції

в рівняння (2.3.1), отримуємо:

(2.3.4)

Так як потрібно знайти нетривіальне рішення задачі, то

, Отримане рівність можна поділити на

. Тоді

.
Зі співвідношення (2.3.4) отримуємо однорідне диференціальне рівняння другого порядку для функції

(2.3.5)

рішенням, якого буде функція (див. 2.2)

,
і наступне завдання на власні значення для функції

(2.3.6)

До задачі (2.3.6) знову застосуємо метод Фур'є для знаходження функції

. Нехай

, Підставляємо в рівняння для функції

Поділимо це рівність на

Оскільки ліва частина співвідношення (

) Функція тільки змінної r, а права (

) - Тільки змінної

, То рівність має зберігати постійне значення, нехай воно дорівнює

. При цьому припущенні отримуємо:
1) однорідне диференціальне рівняння другого порядку для знаходження функції

Нетривіальні періодичні рішення для

існують лише за

і мають вигляд (див. 2.2):

.
2) рівняння для визначення функції

(2.3.7)

(2.3.8)

З граничних умов для функції

отримуємо граничні умови для функції

Таким чином, потрібно вирішити задачу на власні значення.
Введемо нову змінну

Підставляємо вираз

в рівняння для визначення функції

і отримуємо, що дане рівняння є рівняння циліндричної функції n-го порядку.

(2.3.9)

Рішення попереднього завдання зводиться до вирішення циліндричного рівняння (2.3.9) з додатковими граничними умовами

,
спільне рішення, якого має вигляд

,
де

- Функція Бесселя першого роду,

- Функція Бесселя другого роду або функція Неймана (дивись додаток).
З умови

випливає, що

, Оскільки при

.
З умови

маємо

, Де

.
Це трансцендентне рівняння має незліченну безліч речових коренів

, Тобто рівняння (2.3.7) має незліченну кількість власних значень

(2.3.10)

яким відповідають власні функції

крайової задачі для знаходження функції

. Будь-яке нетривіальне рішення розглянутої крайової задачі дається формулою (2.3.10).
Знайдемо норму власних функцій і отримаємо умову ортогональності системи власних функцій

з вагою r:

Для цього розглянемо функції

Вони задовольняють рівнянням

причому

, А

не задовольняє цій граничній умові. Віднімемо з першого рівняння друге, попередньо помноживши їх, відповідно, на

(2.3.11)

Переходячи до границі при

, Отримуємо невизначеність

. Розкриваючи невизначеність за правилом Лопіталя

,
отримуємо вираз для квадрата норми:

(2.3.12)

тому що

, То

.
Отже, отримуємо:
1. Згідно (2.3.11) при

, Власні функції

, Що належать різним власним значенням

, Ортогональні з вагою r.
2. Норма цих функцій визначається формулою (2.3.12).
3. У силу загальних властивостей власних крайових завдань має місце теорема разложимости:
Будь-яка безперервна в інтервалі

функція

, Що має кусково-неперервні першу і другу похідні і задовольняє граничним умовам завдання, може бути розкладена в абсолютно і рівномірно сходиться ряд

,
причому коефіцієнти розкладання визначаються формулою

.
Повертаючись до задачі на власні значення для круглої мембрани, отримаємо для власного значення

дві власні функції

. Складемо їх лінійну комбінацію

.
Доведемо ортогональность і обчислимо норму власних функцій

. Порахуємо спочатку для власних функцій

Аналогічні умови мають місце для функції

.
Тоді вираз для норми функції

можна записати у вигляді

Скористаємося теоремою про разложимости:
всяка безперервна функція

з безперервними першими і другими похідними, що задовольняє граничним умовам завдання, може бути розкладена в абсолютно і рівномірно сходиться ряд

за власними функціями задачі на власні значення для кола.
Коефіцієнти розкладання обчислюються за такими формулами

Повернемося до вихідної завданню коливання мембрани при заданому початковому відхиленні і початковою швидкістю, її рішення запишеться у вигляді

Коефіцієнти

визначаються з початкових умов

Аналогічні формули мають місце для

і, відповідно, для

.
Вирішення такого завдання про знаходження функції, що характеризує прогин мембрани при тих же початкових умовах

та інших граничних умовах

наведено в джерелі [8], де були отримані наступні результати.

Коефіцієнти

визначаються з початкових умов

Аналогічно для

і, відповідно, для

.
Отже, для круглої мембрани при різних граничних умовах отримані також різні функції, що описують її прогин.

Висновок

У даній кваліфікаційній роботі були розглянуті основні поняття теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, вивчений один з найбільш поширених методів вирішення подібних рівнянь - метод Фур'є, вирішені два крайові задачі для рівняння коливань прямокутної і круглої мембрани.
За результатами вирішення завдань можна зробити наступний висновок:
· Функція, що описує прогин мембрани безпосередньо залежить від своїх граничних умов і від геометричної форми мембрани;
· При зміні форми мембрани завдання на знаходження функції, що характеризує її прогин, значно ускладнилася. Виникла необхідність у вивченні циліндричних функцій та їх властивостей.
У даній роботі деякі твердження були взяті без доказу або без виводу. Наприклад, рівняння коливань прямокутної мембрани використовувалося без виведення, тому що його розгляд вимагає більш глибокого знання законів фізики. Рішення циліндричного рівняння було взято в готовій формі, тому що не було метою вивчення цієї роботи.
Таким чином, можна сказати, що поставлені цілі були досягнуті.

Бібліографічний список

1. Арамановіч, І. Г. Рівняння математичної фізики [Текст] / І. Г. Арамановіч, В. І. Левін. - М.: Наука, 1969. - С. 114 - 144.
2. Арсенін, В. Я. Методи математичної фізики та спеціальні функції [Текст] / В. Я. Арсенін. - М.: Наука, 1974. - С. 165 - 170.
3. Архипов, Г. І. Лекції з математичного аналізу: Учеб. для університетів та пед. вузів [Текст] / Г. І. Архипов, В. А. Садовничий; Під. ред. В. А. Садовничого. - М.: Вища школа, 1999. - С. 695.
4. Вебстер, А. Диференціальні рівняння в приватних похідних математичної фізики, Ч. I [Текст] / А. Вебстер, Г. Сеге. - М.: Держ. техніко-теоретичне видавництво, 1933. - С. 189 - 200.
5. Двайт, Г. Б. Таблиці інтегралів та інші математичні формули [Текст] / Г. Б. Двайт; Під ред. К. А. Семендяева. - М.: Наука, 1966. - С. 161 - 178.
6. Матвєєв, Н. М. Диференціальні рівняння: Учеб. сел. для студ. пед. ін-тів по фіз.-мат. спец. [Текст] / Н. М. Матвєєв. - М.: Просвещение, 1988. - С. 131 - 187.
7. Розет, Т. О. Елементи теорії циліндричних функцій з додатками до радіотехніки [Текст] / Т. А. розетк. - М.: «Радянське радіо», 1956. - С. 141 - 160.

Додаток

циліндричних функцій n-го порядку.

рівнянням Бесселя n-го порядку.

(1)

Рівняння Бесселя

-Го порядку

(2)

або

де

- Довільне дійсне або комплексне число, дійсну частину якого можна вважати неотрицательной.
Загальне рішення рівняння (2) може бути представлено у вигляді