Власні вектора і власні значення лінійного оператора

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

РЕФЕРАТ

"Власні вектора і власні значення лінійного оператора"

Поняття власні вектори і власні значення

Перед тим як визначити поняття власні вектора, покажемо його на наочному прикладі. На малюнку 1, червоним кольором позначено власний вектор. Він, на відміну від синього, при деформації не змінив напрямок і довжину, тому є власним вектором, відповідним власному значенню λ = 1. Будь-який вектор, паралельний червоному вектору, також буде власним, відповідним тому ж власному значенню. Безліч всіх таких векторів (разом з нульовим) утворює власне підпростір.

Рис. 1

Визначення. Ненульовий вектор x називається власним вектором лінійного оператора , Якщо знайдеться таке число λ, зване власним значенням лінійного оператора, що

(X) = λ · x (1)

Рівність (1) означає, що вектор x, підданий дії лінійного оператора, множиться на число λ. З'являється колінеарний вектор. Серед векторів лінійного векторного простору можуть існувати такі, вплив оператора на які переводить ці вектори в Колінеарні самим собі. Якщо на таких векторах побудувати базис, перетворення лінійної алгебри значно спростяться.

Не всякий лінійний оператор має власні векторами. Наприклад, в геометричній площині R 2 оператор повороту на кут, не кратний π, не має жодного власного вектора, оскільки ні один ненульовий вектор після повороту не залишиться колінеарні самому собі.

Вирішимо задачу знаходження власних векторів оператора. Запишемо рівність (1) в матричній формі:

P · X = λ · X

Перетворимо матричне рівняння:

P · X - λ · X = 0 чи (P - λ · E) X = 0

Матричне рівняння завжди має нульовий розв'язок:

X = 0 =

Для існування ненульових рішень ранг матриці коефіцієнтів повинен бути менше числа змінних r <n, тобто число лінійно незалежних рівнянь повинна бути меншою ніж змінних. У цьому випадку має бути виконана умова

| P - λ · E | = 0 (2)

Розписавши рівняння (2) щодо λ докладніше, отримаємо

| P - λ · E | =

Розкривши визначник, отримаємо рівняння n-го ступеня щодо λ:

Яке називається характеристичним рівнянням оператора . Корені рівняння називаються характеристичними або власними числами оператора. Безліч всіх власних чисел оператора називається спектром цього оператора. Многочлен лівій частині рівняння називається характеристичним многочленом.

Вирішивши характеристичне рівняння, отримуємо власні числа λ 1, λ 2, ..., λ n. Для кожного знайденого власного значення λ i знайдемо ненульові вектори ядра оператора P - λ i E. Саме вони будуть власними векторами, відповідними власному значенню λ i. Іншими словами, необхідно вирішити однорідну систему рівнянь (P - λ i E) X = 0. Її загальне рішення дає всю сукупність власних векторів, що відповідають λ i.

Загальне рішення однорідної системи, як відомо, структуровано. Воно являє собою лінійну комбінацію фундаментального набору лінійно незалежних рішень (векторів). Число лінійно незалежних векторів у фундаментальному наборі називається геометричній кратністю власного значення λ i. Вводиться також алгебраїчна кратність - кратність λ i як кореня характеристичного многочлена.

Незалежність власних векторів

Існування лінійно незалежних векторів серед власних, що відповідають різним власним числам λ 1, λ 2, ..., λ n, визначається наступною теоремою.

Власні вектори x 1, x 2, ..., x n оператора, що відповідають різним власним значенням λ 1, λ 2, ..., λ n, лінійно незалежні.

На n лінійно незалежних власних векторах можна побудувати базис n-мірного лінійного векторного простору.

Зауваження. Визначник матриці P - λ E (Відповідно характеристичний многочлен) не залежить від вибору базису.

| P '- λ E | = | T -1 P T - λ E | = | T -1 P T - λ T -1 E T | = | T -1 P- λ E T | = | T -1 | | P- λ E T | | T | = | P- λ E T |

Отже, при переході до нового базису власні числа зберігаються.

Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного оператора , Заданого матрицею P = в просторі R 2.

Рішення. Складемо характеристичне рівняння:

| P - λ · E | = = λ 2 -5 λ +4 = 0

З квадратного рівняння знайдемо власні значення лінійного оператора λ 1 = 1, λ 2 = 4. Щоб знайти власні вектори, вирішимо матричні рівняння:

(P - λ 1 E) X = 0 і (P - λ 2 E) X = 0

У розгорнутому вигляді

і

Відповідні однорідні системи:

Загальні рішення систем:

і , Де з 1, з 2 є R

Таким чином, безліч власних векторів, що відповідають власним значенням λ 1 = 1, λ 2 = 4, має вигляд ; , Де з 1, з 2 є R. Вектори a 1 = (1, 1), a 2 = (-2, 1), наприклад, є лінійно незалежними. Вони можуть бути прийняті як нового базису в просторі R 2.

Нехай e 1, e 2, ..., e n - власні вектори лінійного оператора в просторі R n, які приймемо як базису. Тоді розкладання векторів (E 1), (E 2), ..., (E n) по базису e 1, e 2, ..., e n набуде вигляду

Звідси випливає, що a ij = λ i, якщо i = j і a ij = 0, якщо i ≠ j. Тому в базисі, складеному з власних векторів, матриця оператора буде мати діагональний вигляд:

Симетричний оператор

Визначення. Лінійний оператор в евклідовому просторі R n називається симетричним, якщо для будь-яких векторів x та y з простору R n виконується рівність

( (X), y) = (x, (Y))

Для того щоб лінійний оператор був симетричний, необхідно і достатньо, щоб його матриця в ортонормированном базисі була симетрична.

Розглянемо для простоти евклидово простір R 2. Нехай у ортобазісе e 1, e 2 задають вектори x = (x 1, x 2), y = (y 1, y 2). Лінійні оператори 1 і 2 зазначені своїми матрицями:

і .

Обчислимо вектори 1 (x) і 2 (y):

,

.

Знайдемо скалярні твори ( (X), y) і (x, (Y)):

( (X), y) = (a 11 x 1 + a 12 x 2) y 1 + (a 21 x 1 + a 22 x 2) y 2 = a 11 y 1 x 1 + a 12 y 1 x 2 + a 21 y 2 x 1 + a 22 y 2 x 2,

(X, (Y)) = (b 11 y 1 + b 12 y 2) x 1 + (b 21 y 1 + b 22 y 2) x 2 = b 11 x 1 y 1 + b 12 x 1 y 2 + b 21 x 2 y 1 + b 22 x 2 y 2.

Знайдемо різницю скалярних творів:

( (X), y) - (x, (Y)) = (a 11 - b 11) x 1 y 1 + (a 21 - b 12) x 1 y 2 + (a 12 - b 21) x 2 y 1 + (a 22 - b 22) x 2 y 2.

Якщо для будь-яких векторів x та y з простору R 2 рівність

( (X), y) - (x, (Y)) = 0 (3)

Виконано (необхідність), то вірна система

a 11 = b 11,

a 21 = b 12,

a 12 = b 21, (4)

a 22 = b 22,

і назад: якщо умови (4) дотримані для будь-яких векторів x та y, то рівність (3) виконано (достатність). Система рівностей (4) означає, що 1 = 2 = .

Ортогональность власних векторів

Власні вектори симетричного лінійного оператора, які відповідають різним власним числам, взаємо ортогональні.

Нехай x і y - власні вектори оператора , Відповідні власним числах λ 1 і λ 2, причому λ 1 λ 2. За визначенням симетричного оператора:

( (X), y) = (x, (Y))

Підставивши сюди праві частини рівності ( (X)) = λ 1 x, ( (Y)) = λ 1 y, одержимо

1 x, y) = (x, λ 2 y). Винесемо числа λ 1 і λ 2, за знак скалярного твори, перенесемо складові вліво і розкладемо на множники: 1 - Λ 2) (x, y) = 0

Оскільки λ 1 λ 2, отримуємо (x, y) = 0, що і означає взаємну ортогональность векторів x та y.

Відзначимо інші важливі властивості симетричного оператора.

  1. Характеристичне рівняння симетричного оператора має тільки дійсні корені.

  2. Якщо в евклідовому просторі R n задано симетричний оператор , То в R n існує ортонормованій базис e 1, e 2, ..., e n, складений з власних векторів .

  3. Якщо всі власні числа λ 1, λ 2, ..., λ n симетричного оператора позитивні, то ( (X), x)> 0 для будь-якого ненульового вектора x.

Позитивні матриці

Квадратна речова матриця A = (a ij) називається позитивною, якщо всі її елементи позитивні: a ij> 0.

Теорема Перрона (окремий випадок теореми Перрона-Фробеніуса): Позитивна квадратна матриця A має позитивне власне значення r, яке має алгебраїчну кратність 1 і строго перевершує абсолютну величину будь-якого іншого власного значення цієї матриці. Власному значенню r відповідає власний вектор e r, всі координати якого суворо позитивні. Вектор e r - єдиний власний вектор A (з точністю до множення на число), що має невід'ємні координати.

Список літератури

1. Арутюнов Ю. C. та ін Висшая.математіка: Методичні вказівки та контрольні завдання (з програмою) для студентів-заочників інженерно-технічних спеціальностей вузів. 3-е изд. М.: Вища. шк., 2005. 144 с.

2. Вища математика: Програма, методичні вказівки та контрольні завдання для студентів-заочників ііжеіеріо-техііческіх спеціальностей сільськогосподарських вузів. 4-е изд., Перераб. М.: Висш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко О.С. Вища математика: методичні вказівки та контрольні завдання для студентів-заочників інженерних спеціальностей вузів. М.: Вища. шк., 2008. 110 с.

4. Зіміна О.В. та ін Вища математика. 2-е изд., Испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебіік).

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
57.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Власні значення і власні вектори матриці
Власні числа і власні вектори квадратної матриці характеристичне рівняння
Власні числа та власні вектори матриці
Власні коливання пластин
Власні українські імена
Власні джерела фінансування підприємств
Власні назви як прецедент в рекламі
Родові та власні ознаки нерухомості
Спектр оператора Застосування нестандартного аналізу для дослідження резольвенти і спектра оператора
© Усі права захищені
написати до нас