Вища математика для менеджерів

ПЕРЕДМОВА

Навчальний посібник "Вища математика для менеджерів" включає такі розділи вищої математики, вивчення яких дає математичний апарат, найбільш активно застосовується для вирішення прикладних економічних і управлінських завдань. Це аналітична геометрія, лінійна алгебра і математичний аналіз.

Знання аналітичної геометрії необхідно сучасному менеджеру, щоб грамотно тлумачити економічну інформацію, яка подається у вигляді різних графіків - це криві і поверхні байдужості, криві споживчого бюджету, інвестиційного попиту, криві Філліпса, Лаффера, Лоренца і т. д.; виводити інтерполяційні формули за методом найменших квадратів; знаходити найкращий план виробництва при заданих ресурсах.

У розділі "Лінійна алгебра" основну увагу приділяється матриць, визначників і систем лінійних рівнянь, оскільки в економічних дослідженнях широко використовуються різні матричні моделі - міжгалузевого балансу, у планових розрахунках, при розрахунках фонду заробітної плати і т.д. Лінійні моделі, що зводяться до систем алгебраїчних лінійних рівнянь або нерівностей, c досить високою точністю відповідають описуваних ними явищ; з їх допомогою вирішується багато управлінські завдання.

Математичний аналіз дає ряд фундаментальних понять, якими оперує економіст, - це функція, межа, похідна, інтеграл, диференціальне рівняння. Наприклад, другий чудовий межа застосовується при вирішенні задач про зростання банківського вкладу згідно із законом складних відсотків; використання поняття похідної призводить до такої спеціальної дисципліни, як граничний аналіз в економіці і т.д.

На початку кожного параграфа наводяться короткі відомості з теорії, що носять довідковий характер. Основна увага приділяється практичного освоєння студентами вивчається. Для досягнення цієї мети наводиться велика кількість вправ. Їх виконання сприятиме виробленню навичок раціонального вирішення типових прикладів і задач, а також завдань економічного та виробничого змісту, що розвивають навички застосування вивченого математичного інструментарію. Завдання для самостійних індивідуальних робіт пропонуються в книзі: Корсакова Л.Г. Математика для економістів у прикладах і завданнях: Учеб. посібник / Калінінгр. ун-т. - Калінінград, 1994.

В кінці посібника наводиться список літератури, до якого увійшли всі джерела, використані в тій чи іншій мірі при його написанні.

Автор висловлює глибоку подяку рецензентам - професорам Афінського університету економіки та бізнесу Танасу Скурасу і Аніко Харламбіду, а також доценту кафедри обчислювальної математики Л.В. Зінін, колегам з математичного факультету за цінні зауваження та допомогу при підготовці посібника.

I. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

1. Вектори

Упорядковану сукупність (x _1, x _2, ..., x _n) n дійсних чисел називають n-мірним вектором, а числа x _i (i = ) - Компонентами, або координатами, вектора.

Якщо, наприклад, деякий автомобільний завод повинен випустити за зміну 50 легкових автомобілів, 100 вантажних, 10 автобусів, 50 комплектів запчастин для легкових автомобілів і 150 комплектів для вантажних автомобілів і автобусів, то виробничу програму цього заводу можна записати у вигляді вектора (50, 100 , 10, 50, 150), що має п'ять компонентів. Вектори позначають жирними маленькими літерами або буквами з межею або стрілкою нагорі, наприклад, a або `a. Два вектора називаються рівними, якщо вони мають однакове число компонент і їх відповідні компоненти рівні.

Компоненти вектора не можна міняти місцями, наприклад, (3, 2, 5, 0, 1) ¹ ¹ (2, 3, 5, 0, 1).

Твором вектора x = (x _1, x _2, ..., x _n) на дійсне число l називається вектор l x = (l x _1, l x _2, ..., l x _n).

Сумою векторів x = (x _1, x _2, ..., x _n) і y = (y _1, y _2, ..., y _n) називається вектор x + y = (x ₁ + y _1, x ₂ + y _2, ..., x _n + y _n).

N - мірне векторний простір R ⁿ визначається як безліч всіх n-мірних векторів, для яких визначені операції множення на дійсні числа і складання.

Економічна ілюстрація n-мірного векторного простору: простір благ (товарів). Під товаром ми будемо розуміти деякий благо чи послугу, що надійшли в продаж в певний час у певному місці. Припустимо, що існує кінцеве число наявних товарів n; кількості кожного з них, придбані споживачем, характеризуються набором товарів x = (x _1, x _2, ..., x _n), де через x _i позначається кількість i-го блага, набутого споживачем. Будемо вважати, що всі товари мають властивість довільної подільності, так що може бути куплене будь невід'ємне кількість кожного з них. Тоді всі можливі набори товарів є векторами простору товарів C = {x = (x _1, x _2, ..., x _n) ê x _i ³ 0, i = }.

Система e _1, e _2, ... , E _m n-мірних векторів називається лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа l _1, l _2, ... , L _m, з яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність l ₁ e ₁ + l ₂ e ₂ + ... + l _m e _m = 0; в іншому випадку ця система векторів називається лінійно незалежною, тобто вказане рівність можливе лише у випадку, коли всі l ₁ = l ₂ = ... = L _m = 0. Геометричний сенс лінійної залежності векторів в R ^3, інтерпретованих як спрямовані відтинки, пояснюють такі теореми.

Теорема 1. Система, що складається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульової.

Теорема 2. Для того, щоб два вектора були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.

Теорема 3. Для того, щоб три вектора були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарність.

Трійка некомпланарних векторів a, b, c називається правої, якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, c в зазначеному порядку здається совершающимся за годинниковою стрілкою. B іншому випадку a, b, c - ліва трійка. Всі праві (чи ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Трійка e _1, e _2, e ₃ некомпланарних векторів в R ³ називається базисом, а самі вектори e _1, e _2, e ₃ - базисними. Будь-який вектор a може бути єдиним чином розкладений по базисних векторах, тобто подано у вигляді

а = x ₁ e ₁ + x ₂ e ₂ + x ₃ e _3, (1.1)

числа x _1, x _2, x ₃ в розкладанні (1.1) називаються координатами вектора a в базисі e _1, e _2, e ₃ та позначаються a (x _1, x _2, x _3). Якщо вектори e _1, e _2, e ₃ попарно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює одиниці, то базис називається ортонормированном, а координати x _1, x _2, x ₃ - прямокутними. Базисні вектори ортонормированного базису будемо позначати i, j, k.

Будемо припускати, що в просторі R ³ обрана права система декартових прямокутних координат {0, i, j, k}.

Векторним добутком вектора а на вектор b називається вектор c, який визначається наступними трьома умовами:

1. Довжина вектора c чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a та b, т. е. ê c ê = ê a ê ê b ê sin (a ^ b).

2. Вектор c перпендикулярний до кожного з векторів a і b.

3. Вектори a, b і c, взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку.

Для векторного твори c вводиться позначення c = [ab] або c = a 'b.

Якщо вектори a і b колінеарні, то sin (a ^ b) = 0 і [ab] = 0, зокрема, [aa] = 0. Векторні твори ортов: [ij] = K, [jk] = i, [ki] = J.

Якщо вектори a і b задані в базисі i, j, k координатами a (a _1, a _2, a _3), b (b _1, b _2, b _3), то

[Ab] = = `I (a <sub>2</sub> b <sub>3</sub> - a <sub>3</sub> b <sub>2)</sub> -` j (a ₁ b ₃ - a ₃ b ₁₎ + `k (a ₁ b ₂ - a ₂ b _1).

Якщо векторний добуток двох векторів а і b скалярно множиться на третій вектор c, то такий твір трьох векторів називається змішаним твором і позначається символом a b c.

Якщо вектори a, b і c в базисі i, j, k задані своїми координатами a (a _1, a _2, a _3), b (b _1, b _2, b _3), c (c _1, c _2, c _3), то

abc = .

Змішане твір має просте геометричне тлумачення - це скаляр, за абсолютною величиною дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на трьох даних векторах.

Якщо вектори утворюють праву трійку, то їх змішане твір є число позитивне, однакову зазначеному обсягу; якщо ж трійка a, b, c - ліва, то abc <0 і V = - abc, отже V = ê a bc ê.

Координати векторів, що зустрічаються в задачах першого розділу, передбачаються заданими щодо правого ортонормированного базису. Одиничний вектор, сонаправленностью вектору а, позначається символом а ^о. Символом r = ОМ позначається радіус-вектор точки М, символами а, АВ або ê а ê, ê АВ ê позначаються модулі векторів а і АВ.

Приклад 1.1. Знаючи вектори a і b, на яких побудований паралелограм, висловити через них вектор, що збігається з висотою паралелограма, перпендикулярної до сторони a.

Рішення. Позначимо AB = a, AC = b, CD = h, де CD ^ a, D-основа перпендикуляра, опущеного з точки C на бік a. За правилом додавання векторів маємо: b + h = AD, h = AD - b . Оскільки AD ç ç a, то AD = l a.

Знайдемо значення l, використовуючи ортогональность векторів a і h: ah = 0 або a (l ab) = 0, звідки l = ab / a ^2. Отже, h = (ab / a ²⁾ a - b.

А B

b h a

C D

Рис. 1

Приклад 1.2. Знайдіть кут між векторами a = 2 m +4 n і b = mn, де m і n - одиничні вектори і кут між m і n дорівнює 120 ^о.

Рішення. Маємо: cos j = ab / ab, ab = (2 m +4 n) (mn) = 2 m ² - 4 n ² +2 = mn = 2 - 4 +2 cos120 ^o = - 2 + 2 (-0.5) = -3; a = ; A ² = (2 m +4 n) (2 m +4 n) = = 4 m ² +16 mn +16 n ² = 4 +16 (-0.5) +16 = 12, значить a = . b = ; B ² = = (mn) (mn) = m ² -2 mn + n ² = 1-2 (-0.5) +1 = 3, значить b = . Остаточно маємо: cos j = = -1 / 2, Þ j = 120 ^o.

Приклад 1.3. Знаючи вектори AB (-3, -2,6) і BC (-2,4,4), обчисліть довжину висоти AD трикутника ABC.

Рішення. Позначаючи площа трикутника ABC через S, одержимо: S = 1 / 2 BC AD. Тоді AD = 2S/BC, BC = = = 6, S = 1 / 2 ç AB 'AC ç. AC = AB + BC, значить, вектор AC має координати AC (-5,2,10). AB' AC = = I (-20 -12) - j (30 -30) + k (- 6 - 10) = = -16 (2 `i +` k). Ç AB 'AC ç = = 16 ; S = 8 , Звідки AD = = .

Приклад 1.4. Дано два вектора a (11,10,2) і b (4,0,3). Знайдіть одиничний вектор c, ортогональний векторам a і b і направлений так, щоб упорядкована трійка векторів a, b, c була правою.

Рішення. Позначимо координати вектора c щодо даного правого ортонормированного базису через x, y, z.

Оскільки c ^ a, c ^ b, то ca = 0, cb = 0. За умовами задачі потрібно, щоб c = 1 і abc> 0.

Маємо систему рівнянь для знаходження x, y, z: 11x +10 y + 2z = 0, 4x +3 z = 0, x ² + y ² + z ² = 0.

З першого і другого рівнянь системи отримаємо z = -4 / 3 x, y = -5 / 6 x. Підставляючи y та z в третє рівняння, будемо мати: x ² = 36/125, звідки x = ± . Використовуючи умову abc> 0, отримаємо нерівність

> 0 або 5 (6x-5y-8z)> 0.

З урахуванням виразів для z і y перепишемо отримане нерівність у вигляді: 625 / 6 x> 0, звідки випливає, що x> 0. Отже, x = , Y = - , Z =- .

2. Лінії на площині

При читанні економічної літератури доводиться мати справу з великою кількістю графіків. Зазначимо деякі з них.

Крива байдужості - крива, що показує різні комбінації двох продуктів, що мають однакове споживче значення, чи корисність, для споживача.

Крива споживчого бюджету - крива, що показує різні комбінації кількостей двох товарів, які споживач може придбати при даному рівні його грошового доходу.

Крива виробничих можливостей - крива, що показує різні комбінації двох товарів або послуг, які можуть бути вироблені в умовах повної зайнятості і повного обсягу виробництва в економіці з постійними запасами ресурсів і незмінною технологією.

Крива інвестиційного попиту - крива, що показує динаміку процентної ставки та обсяг інвестицій при різних процентних ставках.

Крива Філліпса - крива, що показує існування стійкого зв'язку між рівнем безробіття і рівнем інфляції.

Крива Лаффера - крива, що показує зв'язок між ставками податків і податковими надходженнями, що виявляє таку податкову ставку, при якій податкові надходження досягають максимуму.

Вже просте перерахування термінів показує, як важливо для економістів вміння будувати графіки і розбиратися у властивостях найпростіших кривих, якими є прямі лінії та криві другого порядку - коло, еліпс, гіпербола, парабола. Крім того, при вирішенні великого класу завдань потрібно виділити на площині область, обмежену певними кривими. Найчастіше ці завдання формулюються так: знайти найкращий план виробництва при заданих ресурсах. Завдання ресурсів має зазвичай вид нерівностей. Тому доводиться шукати найбільше або найменше значення, що приймаються деякою функцією в області, заданої системою нерівностей.

В аналітичній геометрії лінія на площині визначається як безліч точок, координати яких задовольняють рівнянню F (x, y) = 0. При цьому на функцію F повинні бути накладені обмеження так, щоб, з одного боку, це рівняння мало безліч рішень і, з іншого боку, щоб це безліч рішень не заповнювало "шматка площині". Важливий клас ліній становлять ті, для яких функція F (x, y) є многочлен від двох змінних, в цьому випадку лінія, обумовлена ​​рівнянням F (x, y) = 0, називається алгебраїчної. Алгебраїчні лінії, що задаються рівнянням першого ступеня, Cуть прямі. Рівняння другого ступеня, має безліч рішень, визначає еліпс, гіперболу, параболу або лінію, яка розпадається на дві прямі.

Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат. Пряма на площині може бути задана одним з рівнянь:

1 ^0. Загальне рівняння прямої:

Ax + By + C = 0. (2.1)

Вектор n (А, В) ортогонален прямий, числа A і B одночасно не дорівнюють нулю.

2 ^0. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

y - y _o = k (x - x _o), (2.2)

де k - кутовий коефіцієнт прямої, тобто k = tg a, де a - величина кута, утвореного прямої з віссю Оx, M (x _o, y _o) - деяка точка, що належить прямій.

Рівняння (2.2) набирає вигляду y = kx + b, якщо M (0, b) є точка перетину прямої з віссю Оy.

3 ^0. Рівняння прямої у відрізках:

x / a + y / b = 1, (2.3)

де a і b - величини відрізків, що відсікаються прямій на осях координат.

4 ^0. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки - A (x _1, y ₁₎ і B (x _2, y _2):

. (2.4)

5 ^0. Рівняння прямої, що проходить через дану точку A (x _1, y ₁₎ паралельно даному вектору a (m, n):

. (2.5)

6 ^0. Нормальне рівняння прямої:

rn ^о - р = 0, (2.6)

де r - радіус-вектор довільної точки M (x, y) цієї прямої, n ^про - Одиничний вектор, ортогональний цієї прямої і спрямований від початку координат до прямої, р - відстань від початку координат до прямої.

Нормальне рівняння прямої в координатній формі має вигляд:

x cos a + y sin a - р = 0,

де a - величина кута, утвореного прямої з віссю Оx.

Рівняння пучка прямих з центром в точці А (x _1, y ₁₎ має вигляд:

yy ₁ = l (xx _1),

де l - параметр пучка. Якщо пучок задається двома пересічними прямими A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0, A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0, то його рівняння має вигляд:

l (A ₁ x + B ₁ y + C ₁₎ + m (A ₂ x + B ₂ y + C ₂₎ = 0,

де l і m - параметри пучка, не звертаються в 0 одночасно.

Величина кута між прямими y = kx + b і y = k ₁ x + b ₁ задається формулою:

tg j = .

Рівність 1 + k ₁ k = 0 є необхідна і достатня умова перпендикулярності прямих.

Для того, щоб два рівняння

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0, (2.7)

A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0, (2.8)

задавали одну і ту ж пряму, необхідно і достатньо, щоб їх коефіцієнти були пропорційні:

A ₁ / A ₂ = B ₁ / B ₂ = C ₁ / C _2.

Рівняння (2.7), (2.8) задають дві різні паралельні прямі, якщо A ₁ / A ₂ = B ₁ / B ₂ і B ₁ / B ₂ ¹ C ₁ / C _2; прямі перетинаються, якщо A ₁ / A ₂ ¹ B ₁ / B _2.

Відстань d від точки M _о (x _о, y _о) до прямої є довжина перпендикуляра, проведеного з точки M _о к прямій. Якщо пряма задана нормальним рівнянням, то d = ê r _про n ^о - р ê, де r _о - радіус-вектор точки M _о або, в координатній формі, d = ê x _про cos a + y _про sin a - р ê.

Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд:

a ₁₁ x ² + 2a ₁₂ xy + a ₂₂ y ² + 2a ₁ x +2 a ₊₂ y + a = 0.

Передбачається, що серед коефіцієнтів a _11, a _12, a ₂₂ є відмінні від нуля.

Рівняння кола з центром в точці С (a, b) і радіусом, рівним R:

(X - a) ² + (y - b) ² = R ^2. (2.9)

Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних точок F ₁ і F ₂ (фокусів) є величина постійна, рівна 2a.

Канонічне (найпростіше) рівняння еліпса:

x ² / a ² + y ² / a ² = 1. (2.10)

Еліпс, заданий рівнянням (2.10), симетричний щодо осей координат. Параметри a і b називаються півосями еліпса.

Нехай a> b, тоді фокуси F ₁ і F ₂ знаходяться на осі Оx на відстані c = від початку координат. Ставлення c / a = e <1 називається ексцентриситетом еліпса. Відстані від точки M (x, y) еліпса до його фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r ₁ = a - e x, r ₂ = a + e x.

Якщо ж a <b, то фокуси знаходяться на осі Оy, c = , E = c / b, r ₁ = b + e x, r ₂ = b - e x.

Якщо a = b, то еліпс є колом з центром на початку координат радіуса a.

Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких від двох даних точок F ₁ і F ₂ (фокусів) дорівнює по абсолютній величині даному числу 2a.

Канонічне рівняння гіперболи:

x ² / a ² - y ² / b ² = 1. (2.11)

Гіпербола, задана рівнянням (2.11), симетрична щодо осей координат. Вона перетинає вісь Оx в точках A (a, 0) і A (-a, 0) - вершинах гіперболи і не перетинає вісь Оy. Параметр a називається речовинної полуосью, b - мнимої полуосью. Параметр c = є відстань від фокуса до початку координат. Ставлення c / a = e> 1 називається ексцентриситетом гіперболи. Прямі y = ± b / ax називаються асимптотами гіперболи. Відстані від точки M (x, y) гіперболи до її фокусів (фокальні радіуси-вектори) визначаються формулами:

r ₁ = êe x - a ê, r ₂ = êe x + a ê.

Гіпербола, у якої a = b, називається равносторонней, її рівняння x ² - y ² = a ^2, а рівняння асимптот y = ± x. Гіперболи x ² / a ² - y ² / b ² = 1 і y ² / b ² - x ² / a ² = 1 називаються сполученими.

Параболою називається геометричне місце точок, однаково віддалених від даної точки (фокуса) і даної прямої (директриси).

Канонічне рівняння параболи має два види:

1) y ² = 2рx - парабола симетрична відносно осі Оx.

2) x ² = 2рy - парабола симетрична відносно осі Оy.

В обох випадках р> 0 і вершина параболи, тобто точка, що лежить на осі симетрії, знаходиться на початку координат.

Парабола y ² = 2рx має фокус F (р / 2,0) і директрису x = - р / 2, фокальний радіус-вектор точки M (x, y) на ній r = x + р / 2.

Парабола x ² = 2рy має фокус F (0, р / 2) і директрису y = - р / 2; фокальний радіус-вектор точки M (x, y) параболи дорівнює r = y + р / 2.

Рівняння F (x, y) = 0 задає лінію, розбиває площину на дві або декілька частин. В одних з цих частин виконується нерівність F (x, y) <0, а в інших - нерівність F (x, y)> 0. Іншими словами, лінія F (x, y) = 0 відокремлює частина площині, де F (x, y)> 0, від частини площини, де F (x, y) <0.

Пряма Ax + By + C = 0 розбиває площину на дві півплощини. На практиці для з'ясування того, в якій напівплощини ми маємо Ax + By + C <0, а в якій Ax + By + C> 0, застосовують метод контрольних точок. Для цього беруть контрольну точку (зрозуміло, не лежить на прямій Ax + By + C = 0) і перевіряють, який знак має в цій точці вираз Ax + By + C. Той же знак має вказане вираз і у всій півплощині, де лежить контрольна крапка. У другій напівплощини Ax + By + C має протилежний знак.

Точно так само вирішуються і нелінійні нерівності з двома невідомими.

Наприклад, вирішимо нерівність x ^2-4x + y ² +6 y-12> 0. Його можна переписати у вигляді (x-2) ² + (y +3) ² - 25> 0.

Рівняння (x-2) ² + (y +3) ² - 25 = 0 задає коло з центром в точці C (2, -3) і радіусом 5. Окружність розбиває площину на дві частини - внутрішню і зовнішню. Щоб дізнатися, в який з них має місце дане нерівність, візьмемо контрольну точку у внутрішній області, наприклад, центр C (2, -3) нашої окружності. Підставляючи координати точки C в ліву частину нерівності, отримуємо негативне число -25. Значить, і у всіх точках, що лежать всередині окружності, виконується нерівність x ^2-4x + y ² +6 y-12 <0. Звідси випливає, що дане нерівність має місце у зовнішній для окружності області.

Приклад 1.5. Складіть рівняння прямих, що проходять через точку A (3,1) і нахилених до прямої 2x +3 y-1 = 0 під кутом 45 ^o.

Рішення. Будемо шукати рівняння прямої у вигляді y = kx + b. Оскільки пряма проходить через точку A, то її координати задовольняють рівнянню прямої, тобто 1 = 3k + b, Þ b = 1-3k. Величина кута між прямими y = k ₁ x + b ₁ і y = kx + b визначається формулою tg j = . Так як кутовий коефіцієнт k _{1 вихідний} прямий 2x +3 y-1 = 0 дорівнює - 2 / 3, а кут j = 45 ^o, то маємо рівняння для визначення k:

(2 / 3 + ​​k) / (1 ​​- 2/3k) = 1 або (2 / 3 + ​​k) / (1 ​​- 2/3k) = -1.

Маємо два значення k: k ₁ = 1 / 5, k ₂ = -5. Знаходячи відповідні значення b за формулою b = 1-3k, отримаємо дві шукані прямі: x - 5y + 2 = 0 і 5x + y - 16 = 0.

Приклад 1.6. При якому значенні параметра t прямі, задані рівняннями 3tx-8y +1 = 0 і (1 + t) x-2ty = 0, паралельні?

Рішення. Прямі, задані загальними рівняннями, паралельні, якщо коефіцієнти при x і y пропорційні, тобто 3t / (1 ​​+ t) = -8 / (-2t). Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо t: t ₁ = 2, t ₂ = -2 / 3.

Приклад 1.7. Знайти рівняння загальної хорди двох кіл: x ² + y ² = 10 і x ² + y ^2-10x-10y +30 = 0.

Рішення. Знайдемо точки перетину кіл, для цього вирішимо систему рівнянь:

Вирішуючи перше рівняння, знаходимо значення x ₁ = 3, x ₂ = 1. З другого рівняння - відповідні значення y: y ₁ = 1, y ₂ = 3. Тепер отримаємо рівняння загальної хорди, знаючи дві точки А (3,1) і B (1,3), що належать цій прямій: (y-1) / (3-1) = (x-3) / (1-3) , або y + x - 4 = 0.

Приклад 1.8. Як розташовані на площині точки, координати яких задовольняють умовам (x-3) ² + (y-3) ² <8, x> y?

Рішення. Перше нерівність системи визначає внутрішність круга, не включаючи кордон, тобто коло з центром в точці (3,3) і радіусу . Друге нерівність задає полуплоскость, обумовлену прямий x = y, причому, так як нерівність суворе, точки самої прямої не належать півплощини, а всі крапки нижче цієї прямої належать півплощини. Оскільки ми шукаємо точки, що задовольняють обом нерівностям, то шукана область - внутрішність півкола.

Приклад 1.9. Обчислити довжину сторони квадрата, вписаного в еліпс x ² / a ² + y ² / b ² = 1.

Рішення. Нехай М (с, с) - вершина квадрата, що лежить в першій чверті. Тоді сторона квадрата дорівнює 2 с. Т.к. точка М належить еліпсу, її координати задовольняють рівняння еліпса c ² / a ² + c ² / b ² = 1, звідки c = ab / ; Значить, сторона квадрата - 2ab / .

Приклад 1.10. Знаючи рівняння асимптот гіперболи y = ± 0,5 x і одну з її точок М (12, 3 ), Скласти рівняння гіперболи.

Рішення. Запишемо канонічне рівняння гіперболи: x ² / a ² - y ² / b ² = 1. Асимптоти гіперболи задаються рівняннями y = ± 0,5 x, значить, b / a = 1 / 2, звідки a = 2b. Оскільки М - точка гіперболи, то її координати задовольняють рівнянню гіперболи, тобто 144 / a ² - 27 / b ² = 1. Враховуючи, що a = 2b, знайдемо b: b ² = 9 Þ b = 3 і a = 6. Тоді рівняння гіперболи - x ² / 36 - y ² / 9 = 1.

Приклад 1.11. Обчислити довжину сторони правильного трикутника ABC, вписаного в параболу з параметром р, припускаючи, що точка А збігається з вершиною параболи.

Рішення. Канонічне рівняння параболи з параметром р має вигляд y ² = 2рx, вершина її збігається з початком координат, і парабола симетрична відносно осі абсцис. Так як пряма AB утворює з віссю Ox кут в 30 ^o, то рівняння прямої має вигляд: y = x.

Отже, ми можемо знайти координати точки B, вирішуючи систему рівнянь y ² = 2рx, y = x, звідки x = 6р, y = 2 р. Значить, відстань між точками A (0,0) і B (6р, 2 р) дорівнює 4 р.

Приклад 1.12. Зі станції щодня можна відправляти пасажирські та швидкі поїзди. Дані наведені в таблиці.

Записати в математичній формі умови, що не дозволяють перевищити готівковий парк вагонів при формуванні пасажирських та швидких поїздів, щоденно відправляються зі станції. Побудувати на площині Oxy область допустимих варіантів формування поїздів.

Рішення. Позначимо через x кількість пасажирських поїздів, а через y - кількість швидких. Отримаємо систему лінійних нерівностей: 5x + 8y £ 80, 6x + 4y £ 72, 3x + y £ 21, x ³ 0, y ³ 0.

Побудуємо відповідні прямі:

5x + 8y = 80, 6x +4 y = 72, 3x + y = 21, x = 0, y = 0,

записавши їх рівняння у вигляді рівнянь прямих у відрізках: x/16 + y/10 = 1, x/12 + y/18 = 1, x / 7 + y/21 = 1, x = 0, y = 0.

Заштріхуем напівплощини, що задовольняють даними нерівностям, і отримаємо область допустимих значень:

y

21

18

10

0 7 16 грудня x

Рис. 2

Отже, кількість швидких поїздів не перевищує 10, а пасажирських повинно бути не більше 7.

Приклад 1.13. Є два пункти виробництва (A і B) деякого виду продукції і три пункти (I, II, III) його споживання. У пункті А виробляється 250 одиниць продукції, а в пункті В - 350 одиниць. У пункті I потрібно 150 одиниць, в пункті II -240 одиниць і в пункті III - 210 одиниць. Вартість перевезення однієї одиниці продукції з пункту виробництва в пункт споживання дається наступною таблицею.

Таблиця 1

Потрібно скласти план перевезення продукції, при якому сума витрат на перевезення буде найменшою.

Рішення. Позначимо кількість продукції, що перевозиться з пункту А в пункт I через x, а з пункту А в пункт II - через y. Так як повна потреба в пункті I дорівнює 150 одиницям, то з пункту В треба завезти (150 - x) одиниць. Точно так само з пункту В в пункт II треба завезти (240 - y) одиниць. Далі: продуктивність пункту А дорівнює 250 одиницям, а ми вже розподілили (x + y) одиниць. Значить, в пункт III йде з пункту А (250 - x-y) одиниць. Щоб повністю забезпечити потребу пункту III, залишилося завезти 210 - (250 - x-y) = x + y - 40 одиниць з пункту В. Отже, план перевезень задається наступною таблицею.

Таблиця 2

Щоб знайти повну вартість перевезення, треба помножити кожен елемент цієї таблиці на відповідний елемент попередньої таблиці і скласти отримані твори. Отримаємо вираз:

S (x, y) = 4x + 3y + 5 (250 - x - y) + 5 (150 - x) + + 6 (240-y) + 4 (x + y - 40) = - 2x - 4y +3280 .

За умовою задачі потрібно знайти мінімум цього виразу. Але величини x і y не можуть приймати довільних значень. Адже кількість перевезеної продукції не може бути негативним. Тому всі числа таблиці 2 ненегативні:

x ³ 0, y ³ 0, 250 - x - y ³ 0, 150-x ³ 0, 240 - y ³ 0, x + y - 40 ³ 0. (2.12)

Отже, нам треба знайти мінімум функції S (x, y) в області, що задається системою нерівностей (2.12). Ця область зображена на рис.3 - вона є багатокутником, обмеженим прямими:

x = 0, y = 0, 250 - x - y = 0, 150 - x = 0, 240 - y = 0, x + y - 40 = 0.

y

F (0,240) E (10,240)

D (150,100)

(0,40)

Про B (40,0) C (150,0) x

Рис. 3.

Знаходимо координати вершин багатокутника: A (0,40), B (40,0), C (150,0), D (150,100), E (10,240), F (0,240). Очевидно, що функція S (x, y) приймає найменше значення в одній з вершин багатокутника CDEFKL.

Справді, з'ясуємо, де розташовуються точки, в яких значення цієї функції однакові (так звані лінії рівня функції S (x, y) =-2x - 4y + 3280). Якщо значення функції S (x, y) дорівнює c, де с - речова константа, то - 2x - 4y + 3280 = c. Але це рівняння прямої лінії. Значить, для функції S лініями рівня є прямі лінії, які паралельні один одному при різних значеннях c. Якщо лінія рівня перетинає багатокутник, то відповідне значення c не є ні найбільшим, ні найменшим. Адже трохи змінивши c, ми отримаємо пряму, яка також перетинає багатокутник. Якщо ж лінія рівня проходить через одну з вершин, причому весь багатокутник залишається по один бік від цієї лінії, то відповідне значення c є найбільшим або найменшим.

Отже, функція S (x, y) =-2x - 4y + 3280 приймає найменше значення на многоугольнике в одній з його вершин. Оскільки ми вже знаємо ці вершини, то підставимо відповідні значення координат і знайдемо, що

S (0,40) = 3120, S (40,0) = 3200, S (1,500) = 2980,

S (150,100) = 2580, S (10,240) = 2300, S (0,240) = 2320.

Найменшим з цих значень є 2300. Це значення функція приймає в точці E (10, 240). Значить, x = 10, y = 240. Підставляючи ці значення в план перевезень (див. таблицю 2), отримуємо:

Таблиця 3

Таким чином, з пункту А в пункт I треба перевезти 10 одиниць продукції, з пункту А в пункт II - 240 одиниць і т. д. Вартість наміченого плану дорівнює 2300.

Розглянута задача відноситься до великого класу задач, що виникають не тільки в економіці, а й в інших областях людської діяльності. Завдання такого типу називаються завданнями лінійного програмування.

Приклад 1.14.

Розглянемо формулу простих відсотків: S = P + I = P (1 + ni).

У цій формулі I - це відсотки за весь термін, P - первинна сума, S - сума, утворена до кінця терміну позики, i - ставка відсотків у вигляді десяткового дробу. Нараховані відсотки за один період (місяць, квартал, рік) складуть величину, рівну Pi, за n періодів - Pni. Процес зростання суми боргу по формулі простих відсотків легко уявити графічно. Перепишемо S у вигляді S = P + Pni, звідки легко побачити лінійну залежність між S і n, тобто це рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Оскільки n - це незалежна змінна, то, поєднавши вісь On з горизонтальною віссю, як це зазвичай і робиться, а вісь OS - c вертикальною віссю, побудуємо графік функції S.

3. Площина і пряма у просторі

Будь-яке рівняння першого ступеня щодо координат x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0 (3.1)

задає площину, і навпаки: всяка площину може бути представлена ​​рівнянням (3.1), яке називається рівнянням площини.

Вектор n (A, B, C), ортогональний площині, називається нормальним вектором площини. У рівнянні (3.1) коефіцієнти A, B, C одночасно не рівні 0.

Особливі випадки рівняння (3.1):

1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - площину проходить через початок координат.

2. C = 0, Ax + By + D = 0 - площина паралельна осі Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - площина проходить через вісь Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - площина паралельна площині Oyz.

Рівняння координатних площин: x = 0, y = 0, z = 0.

Пряма у просторі може бути задана:

1) як лінія перетину двох площин, тобто системою рівнянь:

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0, A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0; (3.2)

2) двома своїми точками M ₁ (x _1, y _1, z ₁₎ і M ₂ (x _2, y _2, z _2), тоді пряма, через них проходить, задається рівняннями:

= ; (3.3)

3) точкою M ₁ (x _1, y _1, z _1), їй належить, і вектором a (m, n, р), їй колінеарні. Тоді пряма визначається рівняннями:

. (3.4)

Рівняння (3.4) називаються канонічними рівняннями прямої.

Вектор a називається направляючим вектором прямої.

Параметричні рівняння прямої отримаємо, прирівнявши кожне з відносин (3.4) параметру t:

x = x ₁ + mt, y = y ₁ + nt, z = z ₁ + рt. (3.5)

Вирішуючи систему (3.2) як систему лінійних рівнянь щодо невідомих x і y, приходимо до рівнянь прямої в проекціях або до наведених рівнянням прямої:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Від рівнянь (3.6) можна перейти до канонічним рівнянням, знаходячи z з кожного рівняння і прирівнюючи отримані значення:

.

Від загальних рівнянь (3.2) можна переходити до канонічним та іншим способом, якщо знайти будь-яку точку цієї прямої та її напрямний вектор n = [n _1, n _2], де n ₁ (A _1, B _1, C ₁₎ і n ₂ (A _2, B _2, C ₂₎ - нормальні вектори заданих площин. Якщо один з знаменників m, n або р в рівняннях (3.4) виявиться рівним нулю, то чисельник дробу відповідної треба покласти рівним нулю, тобто система

рівносильна системі x = x _1, ; Така пряма перпендикулярна до осі Ох.

Система рівносильна системі x = x _1, y = y _1; пряма паралельна осі Oz.

Приклад 1.15. Cоставьте рівняння площини, знаючи, що точка А (1, -1,3) є підставою перпендикуляра, проведеного з початку координат до цієї площини.

Рішення. За умовою завдання вектор ОА (1, -1,3) є нормальним вектором площини, тоді її рівняння можна записати у вигляді x-y +3 z + D = 0. Підставивши координати точки А (1, -1,3), що належить площині, знайдемо D: 1 - (-1) +3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. Отже, x-y +3 z-11 = 0.

Приклад 1.16. Складіть рівняння площини, що проходить через вісь Оz і утворює з площиною 2x + y- z-7 = 0 кут 60 ^о.

Рішення. Площина, що проходить через вісь Oz, задається рівнянням Ax + By = 0, де А і В одночасно не звертаються в нуль. Нехай В не дорівнює 0, A / Bx + y = 0. За формулою косинуса кута між двома площинами

= Cos 60 ^о, де m = A / B.

Вирішуючи квадратне рівняння 3m ² + 8m - 3 = 0, знаходимо його корені m ₁ = 1 / 3, m ₂ = -3, звідки отримуємо дві площини 1/3x + y = 0 і-3x + y = 0.

Приклад 1.17. Складіть канонічні рівняння прямої: 5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Рішення. Канонічні рівняння прямої мають вигляд:

де m, n, р - координати направляючого вектора прямої, x _1, y _1, z ₁ - координати будь-якої точки, що належить прямій. Пряма задана як лінія перетину двох площин. Щоб знайти точку, що належить прямій, фіксують одну з координат (найпростіше покласти, наприклад, x = 0) і отриману систему вирішують як систему лінійних рівнянь з двома невідомими. Отже, нехай x = 0, тоді y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, звідки y =- 1, z = 1. Координати точки М (x _1, y _1, z _1), що належить даній прямій, ми знайшли: M (0, -1,1). Спрямовує вектор прямої легко знайти, знаючи нормальні вектори вихідних площин n ₁ (5,1,1) і n ₂ (2,3, -2). Тоді n = [n _1, n _2] = = (-2-3) I - (-10-2) j + (15-2) k = -5 i +12 j +13 k.

Канонічні рівняння прямої мають вигляд: x / (-5) = (y + 1) / 12 = = (z - 1) / 13.

Приклад 1.18. У пучку, визначеному площинами 2х-у +5 z-3 = 0 і х + у +2 z +1 = 0, знайти дві перпендикулярні площині, одна з яких проходить через точку М (1,0,1).

Рішення. Рівняння пучка, що визначається даними площинами, має вигляд u (2х-у +5 z-3) + v (х + у +2 z +1) = 0, де u і v не звертаються в нуль одночасно. Перепишемо рівняння пучка таким чином:

(2u + v) x + (- u + v) y + (5u +2 v) z - 3u + v = 0.

Для того, щоб з пучка виділити площину, що проходить через точку М, підставимо координати точки М в рівняння пучка. Отримаємо:

(2u + v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1-3u + v = 0, або v = - u.

Тоді рівняння площини, яка містить M, знайдемо, підставивши v = - u в рівняння пучка:

u (2x-y +5 z - 3) - u (x + y +2 z +1) = 0.

Т.к. u ¹ 0 (інакше v = 0, а це суперечить визначенню пучка), то маємо рівняння площини x-2y +3 z-4 = 0. Друга площина, що належить пучку, повинна бути їй перпендикулярна. Запишемо умову ортогональності площин:

(2u + v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u +2 v) × 3 = 0, або v = - 19/5u.

Значить, рівняння другій площині має вигляд:

u (2x-y +5 z - 3) - 19 / 5 u (x + y +2 z +1) = 0 або 9x +24 y + 13z + 34 = 0.

II. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

4. Матриці і визначники

4.1 Матриці. Операції над матрицями

Прямокутною матрицею розміру m 'n називається сукупність mn чисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці, яка містить m рядків і n стовпців. Ми будемо записувати матрицю у вигляді

A = (4.1)

або скорочено у вигляді A = (a _ij) (i = ; J = ). Числа a _ij, складові цю матрицю, називаються її елементами; перший індекс вказує на номер рядка, другий - на номер стовпця. Дві матриці A = (a _ij) та B = (b _ij) однакового розміру називаються рівними, якщо попарно рівні їх елементи, які стоять на однакових місцях, тобто A = B, якщо a _ij = b _ij.

Матриця, що складається з одного рядка або одного стовпця, називається відповідно вектор-рядком або вектор-стовпцем. Вектор-стовпці і вектор-рядки називають просто векторами.

Матриця, що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом. Матриця розміру m 'n, всі елементи якої рівні нулю, називаються нульової матрицею і позначається через 0. Елементи матриці з однаковими індексами називають елементами головної діагоналі. Якщо число рядків матриці дорівнює числу стовпців, тобто m = n, то матрицю називають квадратної порядку n. Квадратні матриці, у яких відмінні від нуля лише елементи головної діагоналі, називаються діагональними матрицями і записуються так:

.

Якщо всі елементи a _ii діагональної матриці рівні 1, то матриця називається одиничною і позначається буквою Е:

E = .

Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, які стоять вище (або нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю. Транспонированием називається таке перетворення матриці, при якому рядки та стовпці міняються місцями з збереженням їх номерів. Позначається транспонування значком Т нагорі.

Нехай дана матриця (4.1). Переставимо рядки зі стовпчиками. Отримаємо матрицю

A ^T = ,

яка буде транспонованої стосовно матриці А. Зокрема, при транспонировании вектора-стовпця виходить вектор-рядок і навпаки.

Твором матриці А на число l називається матриця, елементи якої виходять з відповідних елементів матриці А множенням на число l: l A = (l a _ij).

Сумою двох матриць А = (a _ij) та B = (b _ij) одного розміру називається матриця C = (c _ij) того ж розміру, елементи якої визначаються за формулою c _ij = a _ij + b _ij.

Твір АВ матриці А на матрицю В визначається в припущенні, що число стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Твором двох матриць А = (a _ij) та B = (b _jk), де i = , J = , K = , Заданих в певному порядку АВ, називається матриця С = (c _ik), елементи якої визначаються за наступним правилом:

c _ik = a _{i 1} b _{1 k} + a _{i 2} b _{2 k} + ... + A _im b _mk = a _is b _sk. (4.2)

Інакше кажучи, елементи матриці-твори визначаються наступним чином: елемент i-го рядка і k-го стовпця матриці З дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи k-го стовпця матриці В.

Приклад 2.1. Знайти добуток матриць А = і В = .

Рішення. Маємо: матриця А розміру 2 '3, матриця В розміру 3' 3, тоді твір АВ = С існує і елементи матриці С рівні з ₁₁ = 1 × 1 +2 × 2 + 1 × 3 = 8, з ₂₁ = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, з ₁₂ = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7,

з ₂₂ = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, с ₁₃ = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, з ₂₃ = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

AB = , А твір BA не існує.

Приклад 2.2. У таблиці вказана кількість одиниць продукції, що відвантажується щодня на молокозаводах 1 і 2 в магазини М _1, М ₂ і М _3, причому доставка одиниці продукції з кожного молокозаводу в магазин М ₁ коштує 50 гр. од., в магазин М ₂ - 70, а в М ₃ - 130 ден. од. Підрахувати щоденні транспортні витрати кожного заводу.

Рішення. Позначимо через А матрицю, дану нам в умові, а через В - матрицю, що характеризує вартість доставки одиниці продукції в магазини, тобто,

А = , В = (50, 70, 130).

Тоді матриця витрат на перевезення буде мати вигляд:

АВ ^T = .

Отже, перший завод щодня витрачає на перевезення 4750 ден. од., другий - 3680 ден.ед.

Приклад 2.3. Швейне підприємство виробляє зимові пальта, демісезонні пальта і плащі. Плановий випуск за декаду характеризується вектором X = (10, 15, 23). Використовуються тканини чотирьох типів Т _1, Т _2, Т _3, Т _4. У таблиці наведені норми витрат тканини (в метрах) на кожен виріб. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задає вартість метра тканини кожного типу, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - вартість перевезення метра тканини кожного виду.

1. Скільки метрів тканини кожного типу потрібно для виконання плану?

2. Знайти вартість тканини, що витрачається на пошиття виробу кожного виду.

3. Визначити вартість всієї тканини, необхідної для виконання плану.

4. Підрахувати вартість всієї тканини з урахуванням її транспортування.

Рішення. Позначимо через А матрицю, дану нам в умові, тобто,

A = ,

тоді для знаходження кількості метрів тканини, необхідної для виконання плану, потрібно вектор X помножити на матрицю А:

X А = (10,15, 23) = = = (95, 40, 92, 129).

Вартість тканини, що витрачається на пошиття виробу кожного виду, знайдемо, перемноживши матрицю А і вектор C ^T:

А C ^T = = .

Вартість всієї тканини, необхідної для виконання плану, визначиться за формулою:

X А C ^T = (10,15,23) = .

Нарешті, з урахуванням транспортних витрат вся сума буде дорівнює вартості тканини, тобто 9472 ден. од., плюс величина

X А P ^T = (95, 40, 92, 129) .

Отже, X А C ^T + X А P ^T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. од).

4.2 Визначники

Перестановкою чисел 1, 2 ,..., n називається будь-яке розташування цих чисел у певному порядку. В елементарній алгебрі доводиться, що число всіх перестановок, які можна утворити з n чисел, одно 12 ... n = n!. Наприклад, із трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3! = 6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Кажуть, що в даній перестановці числа i і j становлять інверсію (безладдя), якщо i> j, але i стоїть у цій перестановці раніше j, тобто якщо більше стоїть лівіше меншого.

Перестановка називається парною (або непарної), якщо в ній відповідно четно (непарній) загальне число інверсій. Операція, за допомогою якої від однієї перестановки переходять до іншої, складеної з тих же n чисел, називається підстановкою n-го ступеня.

Підстановка, переводить одну перестановку в іншу, записується двома рядками у загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця в розглянутих перестановках, називаються відповідними і пишуться одне під іншим. Наприклад, символ позначає підстановку, у якої 3 переходить в 4, 1 ® 2, 2 ® 1, 4 ® 3. Підстановка називається четной (чи нечетной), якщо загальна кількість інверсій в обох рядках підстановки четно (непарній). Будь-яка підстановка n-го ступеня може бути записана у вигляді , Тобто з натуральним розташуванням чисел у верхній частині.

Нехай нам дана квадратна матриця порядку n

. (4.3)

Розглянемо всі можливі твори по n елементів цієї матриці, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка і кожного стовпця, тобто творів виду:

, (4.4)

де індекси q _1, q ₂ ,..., q _n становлять деяку перестановку з чисел 1, 2 ,..., n. Число таких творів одно числу різних перестановок з n символів, тобто одно n!. Знак твори (4.4) дорівнює (- 1) ^q, де q - число інверсій в перестановці другий індекс елементів.

Визначником n-го порядку, відповідним матриці (4.3), називається алгебраїчна сума n! членів виду (4.4). Для запису визначника вживається символ ê A ê = або det A = (Детермінант, або визначник, матриці А).

Властивості визначників

1. Визначник не змінюється при транспонировании.

2. Якщо один з рядків визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

3. Якщо у визначнику переставити два рядки, визначник змінить знак.

4. Визначник, що містить дві однакові рядки, дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякою рядки визначника помножити на деяке число k, то сам визначник примножиться на k.

6. Визначник, що містить дві пропорційні рядки, дорівнює нулю.

7. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків a _ij = b _j + c _j (j = ), То визначник дорівнює сумі визначників, у яких всі рядки, крім i-ой, - такі ж, як в заданому визначнику, а i-й рядок в одному з доданків складається з елементів b _j, в іншому - з елементів c _j.

8. Визначник не змінюється, якщо до елементів однієї з його рядків додаються відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число.

Зауваження. Всі властивості залишаються справедливими, якщо замість рядків взяти стовпчики.

Мінором M _ij елемента a _ij визначника d n-го порядку називається визначник порядку n-1, який виходить з d викреслюванням рядки і стовпці, що містять даний елемент.

Алгебраїчним доповненням елемента a _ij визначника d називається його мінор M _ij, узятий зі знаком (-1) ^{i + j.} Алгебраїчне доповнення елемента a _ij будемо позначати A _ij. Таким чином, A _ij = (-1) ^{i + j} M _ij.

Способи практичного обчислення визначників, засновані на тому, що визначник порядку n може бути виражений через визначники нижчих порядків, дає наступна теорема.

Теорема (розкладання визначника за рядком або стовпчиком).

Визначник дорівнює сумі добутків всіх елементів довільної його рядки (чи шпальти) на їх алгебраїчні доповнення. Інакше кажучи, має місце розкладання d по елементам i-го рядка

d = a _{i 1} A _{i 1} + a _{i 2} A _{i 2} + ... + A _in A _in (i = )

або j-го стовпця

d = a _{1 j} A _{1 j} + a _{2 j} A _{2 j} + ... + a _nj A _nj (j = ).

Зокрема, якщо всі елементи рядка (або стовпця), крім одного, дорівнюють нулю, то визначник дорівнює цьому елементу, помноженому на його алгебраїчне доповнення.

Приклад 2.4. Не вважаючи визначника , Показати, що він дорівнює нулю.

Рішення. Віднімемо з другого рядка першу, отримаємо визначник , Рівний вихідному. Якщо з третього рядка також відняти першу, то вийде визначник , В якому два рядки пропорційні. Такий визначник дорівнює нулю.

Приклад 2.5. Обчислити визначник D = , Розклавши його за елементами другого стовпця.

Рішення. Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:

D = a ₁₂ A ₁₂ + a ₂₂ A ₂₂ + a ₃₂ A ₃₂ =

= .

Приклад 2.6. Обчислити визначник

A = ,

в якому всі елементи по один бік від головної діагоналі рівні

нулю.

Рішення. Розкладемо визначник А по першому рядку:

A = a ₁₁ A ₁₁ = .

Визначник, що стоїть праворуч, можна знову розкласти по першому рядку, тоді отримаємо:

A = .

І так далі. Після n кроків прийдемо до рівності A = а ₁₁ а _22. .. a _nn.

Приклад 2.7. Обчислити визначник .

Рішення. Якщо до кожного рядка визначника, починаючи з другої, додати перший рядок, то вийде визначник, в якому всі елементи, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюватимуть нулю. А саме, одержимо визначник: , Рівний вихідному.

Розмірковуючи, як у попередньому прикладі знайдемо, що він дорівнює добутку елементів головної діагоналі, тобто n!. Спосіб, за допомогою якого обчислений даний визначник, називається способом приведення до трикутного виду.

4.3 Ранг матриці

Розглянемо прямокутну матрицю (4.1). Якщо в цій матриці виділити довільно k рядків і k стовпців, то елементи, які стоять на перетині виділених рядків і стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k-го порядку матриці А. Очевидно, що матриця А має минорами будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться принаймні один мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший з порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангом матриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого ніж r, дорівнює нулю. Ранг матриці А позначається через r (A). Очевидно, що виконується співвідношення

0 £ r (A) £ min (m, n).

Ранг матриці перебуває або методом облямівки мінорів, або методом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом варто переходити від мінорів нижчих порядків до мінору більш високого порядку. Якщо вже знайдений мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k +1)-го порядку, оздоблюють мінор D, тобто містять його як мінору. Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k.

Елементарними називаються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпчиків),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпцю) інший рядки (чи шпальти), помноженої на деяке число.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна з них виходить з іншої з допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці не є, взагалі кажучи, рівними, але їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, це записується так: A ~ B.

Канонічної матрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад, .

За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головної діагоналі.

Приклад 2.8. Знайти методом облямівки миноров ранг матриці .

Рішення. Починаємо з мінорів 1-го порядку, тобто з елементів матриці А. Оберемо, наприклад, мінор (елемент) М ₁ = _1, розташований в першому рядку і першому стовпці. Облямовуючи за допомогою другого рядка і третього стовпця, отримуємо мінор M ₂ = , Відмінний від нуля. Переходимо тепер до мінору 3-го порядку, оздоблюють М _2. Їх усього два (можна додати другий стовпець або четвертий). Обчислюємо їх: = 0. Таким чином, всі оздоблюють мінори третього порядку виявилися рівними нулю. Ранг матриці А дорівнює двом.

Приклад 2.9. Знайти ранг матриці А = і привести її до канонічного виду.

Рішення. З другого рядка віднімемо першу і переставимо ці рядки: . Тепер з другої і третьої рядків віднімемо першу, помножену відповідно на 2 і 5: ; З третього рядка віднімемо першу; отримаємо матрицю В = , Яка еквівалентна матриці А, так як отримана з неї за допомогою кінцевого безлічі елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці В дорівнює 2, а отже, і r (A) = 2. Матрицю У легко призвести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю: .

4.4 Зворотний матриця

Розглянемо квадратну матрицю

A = .

Позначимо D = det A.

Квадратна матриця А називається невиродженої, або неособенно, якщо її визначник відмінний від нуля, і виродженою, або особливою, якщо D = 0.

Квадратна матриця В називається зворотної для квадратної матриці А такого ж порядку, якщо їх твір А В = В А = Е, де Е - одинична матриця такого ж порядку, що і матриці А і В.

Теорема. Для того, щоб матриця А мала зворотний, необхідно і достатньо, щоб її визначник був відмінний від нуля.

Матриця, зворотна матриці А, позначається через А ^{- 1,} так що В = А ^{- 1.} Зворотній матриця обчислюється за формулою

А ^{- 1} = ¹ / D , (4.5)

де А _ij - алгебраїчні доповнення елементів a _ij.

Обчислення оберненої матриці за формулою (4.5) для матриць високого порядку дуже трудомістке, тому на практиці буває зручно знаходити зворотний матрицю з допомогою методу елементарних перетворень (ЕП). Будь-яку неособенно матрицю А шляхом ЕП тільки стовпців (або тільки рядків) можна привести до одиничної матриці Є. Якщо скоєні над матрицею А ЕП в тому ж порядку застосувати до одиничної матриці Е, то в результаті вийде зворотна матриця. Зручно здійснювати ЕП над матрицями А і Е одночасно, записуючи обидві матриці поруч через риску. Відзначимо ще раз, що при знаходженні канонічного виду матриці з метою знаходження її рангу можна користуватися перетвореннями рядків і стовпців. Якщо потрібно знайти зворотну матрицю, в процесі перетворень слід використовувати лише рядки або лише стовпці.

Приклад 2.10. Для матриці А = знайти зворотну.

Рішення. Знаходимо спочатку детермінант матриці А D = det А = = 27 ¹ 0, значить, зворотна матриця існує і ми її можемо знайти за формулою: А ^{- 1} = ¹ / D , Де А _ij (i, j = 1,2,3) - алгебраїчні доповнення елементів а _ij вихідної матриці. Маємо:

звідки А ^{- 1} = .

Приклад 2.11. Методом елементарних перетворень знайти зворотну матрицю для матриці: А = .

Рішення. Приписує до вихідної матриці справа одиничну матрицю того ж порядку: . За допомогою елементарних перетворень стовпців наведемо ліву "половину" до одиничної, здійснюючи одночасно точно такі перетворення над правою матрицею. Для цього поміняємо місцями перший і другий стовпці: ~ . До третього колонку додамо перший, а до другого - перший, помножений на -2: . З першого стовпця віднімемо подвоєний другий, а з третього - помножений на 6 другий; . Додамо третій стовпець до першого і другого: . Помножимо останній рядок на -1: . Отримана праворуч від вертикальної риси квадратна матриця є оберненою до даної матриці А. Отже, А ^{- 1} = .

5. Системи лінійних рівнянь

5.1 Критерій спільності

Система лінійних рівнянь має вигляд:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + A _1n x _n = b _1,

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + A _2n x _n = b _2, (5.1)

... ... ... ...

a _m1 x ₁ + a _m1 x ₂ + ... + a _mn x _n = b _m.

Тут а _ij і b _i (i = ; J = ) - Задані, а x _j - невідомі дійсні числа. Використовуючи поняття твори матриць, можна переписати систему (5.1) у вигляді:

AX = B, (5.2)

де A = (а _ij) - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих системи (5.1), яка називається матрицею системи, X = (x _1, x ₂ ,..., x _n) ^T, B = (b _1, b ₂ ,..., b _m) ^T - вектори-стовпчики, складені відповідно з невідомих x _j і з вільних членів b _i.

Упорядкована сукупність n дійсних чисел (c _1, c ₂ ,..., c _n) називається розв'язком системи (5.1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість відповідних змінних x _1, x ₂ ,..., x _n кожне рівняння системи звернеться в арифметичне тотожність; іншими словами, якщо існує вектор C = (c _1, c ₂ ,..., c _n) ^T такий, що AC º B.

Система (5.1) називається спільної, чи можливо розв'язати, якщо вона має принаймні одне рішення. Система називається несумісною, або нерозв'язною, якщо вона не має рішень.

Матриця

`A = ,

утворена шляхом приписування справа до матриці A шпальти вільних членів, називається розширеною матрицею системи.

Питання про спільності системи (5.1) вирішується наступній теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранги матриць A і `A збігаються, тобто r (A) = r (`A) = r.

Для безлічі М рішень системи (5.1) є три можливості:

1) M = Æ (в цьому випадку система несовместна);

2) M складається з одного елемента, тобто система має єдине рішення (у цьому випадку система називається певної);

3) M складається більш ніж з одного елемента (тоді система називається невизначеною). У третьому випадку система (5.1) має незліченну безліч рішень.

Система має єдине рішення тільки в тому випадку, коли r (A) = n. При цьому число рівнянь - не менше числа невідомих (m ³ n); якщо m> n, то mn рівнянь є наслідками інших. Якщо 0 <r <n, то система є невизначеною.

Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти розв'язувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамеровского типу:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + A _1n x _n = b _1,

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + A _{2 n} x _n = B _2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a _{n 1} x ₁ + a _{n 1} x ₂ + ... + A _nn x _n = b _n.

Системи (5.3) вирішуються одним з таких способів: 1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих, 2) за формулами Крамера; 3) матричним методом.

Приклад 2.12. Дослідити систему рівнянь і вирішити її, якщо вона сумісна:

5x ₁ - x ₂ + 2x ₃ + x ₄ = 7,

2x ₁ + x ₂ + 4x ₃ - 2x ₄ = 1,

x ₁ - 3x ₂ - 6x ₃ + 5x ₄ = 0.

Рішення. Виписуємо розширену матрицю системи:

`A = .

Обчислимо ранг основної матриці системи. Очевидно, що, наприклад, мінор другого порядку в лівому верхньому кутку = 7 ¹ 0; містять його мінори третього порядку дорівнюють нулю:

M ¢ ₃ = = 0, M ² ₃ = = 0.

Отже, ранг основної матриці системи дорівнює 2, тобто r (A) = 2. Для обчислення рангу розширеної матриці `A розглянемо окаймляющий мінор

= = -35 ¹ 0,

значить, ранг розширеної матриці r (`A) = 3. Оскільки r (A) ¹ r (`A), то система несумісна.

5.2 Метод Гаусса

Історично першим, найбільш поширеним методом вирішення систем лінійних рівнянь є метод Гаусса, або метод послідовного виключення невідомих. Сутність цього методу полягає в тому, що за допомогою послідовних винятків невідомих дана система перетворюється на ступінчасту (зокрема, трикутну) систему, рівносильну даної. При практичному вирішенні системи лінійних рівнянь методом Гаусса зручніше приводити до східчастого увазі не саму систему рівнянь, а розширену матрицю цієї системи, виконуючи елементарні перетворення над її рядками. Послідовно виходять в ході перетворення матриці зазвичай з'єднують знаком еквівалентності.

Приклад 2. 13. Вирішити систему рівнянь методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Рішення. Випишемо розширену матрицю цієї системи

і проведемо наступні елементарні перетворення над її рядками:

а) з її другої і третьої рядків віднімемо першу, помножену відповідно на 3 і 2:

~ ;

б) третій рядок помножимо на (-5) і додамо до неї другу:

.

У результаті всіх цих перетворень дана система приводиться до трикутного вигляду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

З останнього рівняння знаходимо z = -1,3. Підставляючи це значення на друге рівняння, маємо y = -1,2. Далі з першого рівняння отримаємо x = - 0,7.

5.3 Формули Крамера

Метод Крамера полягає в тому, що ми послідовно знаходимо головний визначник системи (5.3), тобто визначник матриці А

D = det (a _ij)

і n допоміжних визначників D _i (i = ), Які виходять з визначника D заміною i-го стовпця стовпцем вільних членів.

Формули Крамера мають вигляд:

D × x _i = D _i (i = ). (5.4)

З (5.4) слід правило Крамера, яке дає вичерпну відповідь на питання про спільності системи (5.3): якщо головний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами:

x _i = D _i / D.

Якщо головний визначник системи D і всі допоміжні визначники D _i = 0 (i = ), То система має незліченну безліч рішень. Якщо головний визначник системи D = 0, а хоча б один допоміжний визначник відмінний від нуля, то система несумісна.

Приклад 2.14. Вирішити методом Крамера систему рівнянь:

x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ = 5,

x ₁ + 2x ₂ - x ₃ + 4x ₄ = -2,

2x ₁ - 3x ₂ - x ₃ - 5x ₄ = -2,

3x ₁ + x ₂ +2 x ₃ + 11 x ₄ = 0.

Рішення. Головний визначник цієї системи

D = = -142 ¹ 0,

отже, система має єдине рішення. Обчислимо допоміжні визначники D _i (i = ), Що виходять з визначника D шляхом заміни в ньому стовпця, що складається з коефіцієнтів при x _i, стовпцем з вільних членів:

D ₁ = = - 142, D ₂ = = - 284,

D ₃ = = - 426, D ₄ = = 142.

Звідси x ₁ = D ₁ / D = 1, x ₂ = D ₂ / D = 2, x ₃ = D ₃ / D = 3, x ₄ = D ₄ / D = -1, рішення системи - вектор С = (1 , 2, 3, -1) ^T.

5.4 Матричний метод

Якщо матриця А системи лінійних рівнянь невироджених, тобто det A ¹ 0, то матриця А має зворотну, і рішення системи (5.3) збігається з вектором C = A ^{- 1} B. Інакше кажучи, дана система має єдине рішення. Відшукування рішення системи за формулою X = C, C = A ^{- 1} B називають матричним способом вирішення системи, або рішенням за методом зворотної матриці.

Приклад 2.15. Вирішити матричним способом систему рівнянь

x ₁ - x ₂ + x ₃ = 6,

2x ₁ + x ₂ + x ₃ = 3,

x ₁ + x ₂ +2 x ₃ = 5.

Рішення. Позначимо

A = , X = (x _1, x _2, x ₃₎ ^T, B = (6, 3, 5) ^T.

Тоді ця система рівнянь запишеться матричним рівнянням AX = B. Оскільки D = det = 5 ¹ 0, то матриця A невирождена і тому має зворотну:

А ^{- 1} = ¹ / D .

Для отримання рішення X ми повинні помножити вектор-стовпець B зліва на матрицю A: X = A ^{- 1} B. В даному випадку

A ^{- 1} =

і, отже,

= .

Виконуючи дії над матрицями, отримаємо:

x ₁ = 1 / 5 (1 × 6 +3 × 3-2 × 5) = 1 / 5 (6 +9-10) = 1,

x ₂ = 1 / 5 (-3 × 6 +1 × 3 - 1 × 5) = 1 / 5 (- 18 + 3 + 5) = -2,

x ₃ = 1 / 5 (1 × 6 - 2 × 3 + 3 × 5) = 1 / 5 (6 -6 + 15) = 3.

Отже, С = (1, -2, 3) ^T.

5.5 Системи лінійних рівнянь загального вигляду

Якщо система (5.1) виявилася спільною, тобто матриці A і `A мають один і той же ранг, то можуть представитися дві можливості - a) r = n; б) r <n:

а) якщо r = n, то маємо n незалежних рівнянь з n невідомими, причому визначник D цієї системи відмінний від нуля. Така система має єдине рішення, що отримується за формулами Крамера;

б) якщо r <n, то число незалежних рівнянь менше числа невідомих.

Перенесемо зайві невідомі x _{r +1,} x _{r +2} ,..., x _n, які прийнято називати вільними, у праві частини; наша система лінійних рівнянь прийме вигляд:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + A _1r x _r = b ₁ - a _{1, r +1} x _{r +1} -... - A _1n x _n,

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + A _2r x _r = b ₂ - a _{2, r +1} x _{r +1} -... - A _2n x _n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a _r1 x ₁ + a _r2 x ₂ + ... + A _rr x _r = b _r - a _{r, r +1} x _{r +1} -... - A _rn x _n.

Її можна вирішити відносно x _1, x ₂ ,..., x _r, так як визначник цієї системи (r-го порядку) відмінний від нуля. Надаючи вільним невідомим довільні числові значення, отримаємо за формулами Крамера відповідні числові значення для x _1, x ₂ ,..., x _r. Таким чином, при r <n маємо безліч рішень.

Система (5.1) називається однорідною, якщо всі b _i = 0, тобто вона має вигляд:

a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + A _1n x _n = 0,

a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ + ... + A _2n x _n = 0, (5.5)

... ... ... ... ... ...

a _m1 x ₁ + a _m1 x ₂ + ... + a _mn x _n = 0.

З теореми Кронекера-Капеллі випливає, що вона завжди сумісна, оскільки додавання стовпця з нулів не може підвищити рангу матриці. Це, втім, видно і безпосередньо - система (5.5) завідомо володіє нульовим, або тривіальним, рішенням x ₁ = x ₂ =... = X _n = 0. Нехай матриця А системи (5.5) має ранг r.

Якщо r = n, то нульовий розв'язок буде єдиним рішенням системи (5.5); при r <n система має рішеннями, відмінними від нульового, і для їх розвідки застосовують той же прийом, як і у випадку довільної системи рівнянь.

Всякий ненульовий вектор - стовпець X = (X _1, x ₂ ,..., x _n) ^T називається власним вектором лінійного перетворення (квадратної матриці A), якщо знайдеться таке число l, що буде виконуватися рівність

AX = l X.

Число l називається власним значенням лінійного перетворення (матриці A), відповідним вектору X. Матриця A має порядок n.

У математичній економіці велику роль відіграють так звані продуктивні матриці. Доведено, що матриця A є продуктивною тоді і тільки тоді, коли всі власні значення матриці A по модулю менше одиниці.

Для знаходження власних значень матриці A перепишемо рівність AX = l X у вигляді (A - l E) X = 0, де E-одинична матриця n-го порядку або в координатній формі:

(A ₁₁ - l) x ₁ + a ₁₂ x ₂ + ... + A _1n x _n = 0,

a ₂₁ x ₁ + (a ₂₂ - l) x ₂ + ... + A _2n x _n = 0,

... ... ... ... ... ... ... ... (5.6)

a _n1 x ₁ + a _n2 x ₂ + ... + (A _nn - l) x _n = 0.

Отримали систему лінійних однорідних рівнянь, яка має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли визначник цієї системи дорівнює нулю, тобто

= .

Отримали рівняння n-го ступеня щодо невідомої l, яке називається характеристичним рівнянням матриці A, многочлен називається характеристичним многочленом матриці A, а його коріння - характеристичними числами, або власними значеннями, матриці A.

Для знаходження власних векторів матриці A в векторне рівняння (A - l E) X = 0 або в відповідну систему однорідних рівнянь (5.6) потрібно підставити знайдені значення l і вирішувати звичайним чином.

Приклад 2.16. Дослідити систему рівнянь і вирішити її, якщо вона сумісна.

x ₁ + x ₂ - 2x ₃ - x ₄ + x ₅ = 1,

3x ₁ - x ₂ + x ₃ + 4x ₄ + 3x ₅ = 4,

x ₁ + 5x ₂ - 9x ₃ - 8x ₄ + x ₅ = 0.

Рішення. Будемо знаходити ранги матриць A і `A методом елементарних перетворень, наводячи одночасно систему до східчастого увазі:

~ ~ .

Очевидно, що r (A) = r (`A) = 2. Вихідна система рівносильна наступній, приведеної до ступінчастому увазі:

x ₁ + x ₂ - 2x ₃ - x ₄ + x ₅ = 1,

- 4x ₂ + 7x ₃ + 7x ₄ = 1.

Оскільки визначник при невідомих x ₁ і x ₂ відмінний від нуля, то їх можна прийняти в якості головних і переписати систему у вигляді:

x ₁ + x ₂ = 2x ₃ + x ₄ - x ₅ + 1,

- 4x ₂ = - 7x ₃ - 7x ₄ + 1,

звідки x ₂ = 7 / 4 x ₃ + 7 / 4 x ₄ -1 / 4, x ₁ = ₁ / 4 x ₃ -3 / 4 x ₄ - x ₅ + 5 / 4 - спільне рішення системи, що має незліченну безліч рішень . Надаючи вільним невідомим x _3, x _4, x ₅ конкретні числові значення, будемо отримувати приватні рішення. Наприклад, при x ₃ = x ₄ = x ₅ = 0 x ₁ = 5 / 4, x ₂ = - 1 / 4. Вектор C (5 / 4, - 1 / 4, 0, 0, 0) є приватним рішенням даної системи.

Приклад 2.17. Дослідити систему рівнянь і знайти спільне рішення залежно від значення параметра а.

2x ₁ - x ₂ + x ₃ + x ₄ = 1,

x ₁ + 2x ₂ - x ₃ + 4x ₄ = 2,

x ₁ + 7x ₂ - 4x ₃ + 11x ₄ = a.

Рішення.

Даній системі відповідає матриця `А = . Маємо `А ~ ~ , Отже, вихідна система рівносильна такий:

x ₁ + 2x ₂ - x ₃ + 4x ₄ = 2,

5x ₂ - 3x ₃ + 7x ₄ = a-2,

0 = a-5.

Звідси видно, що система сумісна тільки при a = 5. Загальне рішення в цьому випадку має вигляд:

x ₂ = 3 / 5 + 3/5x ₃ - 7/5x _4, x ₁ = 4 / 5 - 1/5x ₃ - 6/5x _4.

Приклад 2.18. З'ясувати, чи буде лінійно залежною система векторів:

a ₁ = _(1, 1, 4, 2),

a ₂ = (1, -1, -2, 4),

a ₃ = (0, 2, 6, -2),

a ₄ = (-3, -1, 3, 4),

a ₅ = (-1, 0, - 4, -7).

Рішення. Система векторів є лінійно залежною, якщо знайдуться такі числа x _1, x _2, x _3, x _4, x _5, з яких хоча б одне відмінно від нуля (див. п. 1. Розд. I), що виконується векторное рівність:

x ₁ a ₁ + x ₂ a ₂ + x ₃ a ₃ + x ₄ a ₄ + x ₅ a ₅ = 0.

У координатній запису воно рівносильне системі рівнянь:

x ₁ + x ₂ - 3x ₄ - x ₅ = 0,

x ₁ - x ₂ + 2x ₃ - x ₄ = 0,

4x ₁ - 2x ₂ + 6x ₃ +3 x ₄ - 4x ₅ = 0,

2x ₁ + 4x ₂ - 2x ₃ + 4x ₄ - 7x ₅ = 0.

Отже, отримали систему лінійних однорідних рівнянь. Вирішуємо її методом виключення невідомих:

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Система приведена до східчастого увазі, ранг матриці дорівнює 3, значить, однорідна система рівнянь має рішення, відмінні від нульового (r <n). Визначник при невідомих x _1, x _2, x ₄ відмінний від нуля, тому їх можна вибрати в якості головних і переписати систему у вигляді:

x ₁ + x ₂ - 3x ₄ = x _5,

-2x ₂ + 2x ₄ =-2x ₃ - x _5,

- 3x ₄ = - x _5.

Маємо: x ₄ = 1 / 3 x _5, x ₂ = 5/6x ₅ + x _3, x ₁ = 7 / 6 x _{5-x 3.}

Система має незліченну безліч рішень; якщо вільні невідомі x ₃ і x ₅ не рівні нулю одночасно, то і головні невідомі відмінні від нуля. Отже, векторне рівняння

x ₁ a ₁ + x ₂ a ₂ + x ₃ a ₃ + x ₄ a ₄ + x ₅ a ₅ = 0

має коефіцієнти, не рівні нулю одночасно; нехай наприклад, x ₅ = 6, x ₃ = 1. Тоді x ₄ = 2, x ₂ = 6, x ₁ = 6 і ми отримаємо співвідношення

6 a ₁ + 6 a ₂ + a ₃ + 2 a ₄ + 6 a ₅ = 0,

тобто дана система векторів лінійно незалежна.

Приклад 2.19. Знайти власні значення та власні вектори матриці

A = .

Рішення. Обчислимо визначник матриці A - l E:

= Det = Det

.

Отже, = (L - ²⁾ 2 × (l +2) ^2. Коріння характеристичного рівняння = 0 - це числа l ₁ = 2 і l ₂ = -2. Іншими словами, ми знайшли власні значення матриці A. Для знаходження власних векторів матриці A підставимо знайдені значення l в систему (5.6): при l = 2 маємо систему лінійних однорідних рівнянь

x ₁ - x ₂ = 0, x ₁ - x ₂ = 0,

x ₁ - x ₂ = 0, Þ 3x _{2-7x 3} - 3x ₄ = 0,

3x ₁ - 7x ₃ - 3x ₄ = 0, 5x ₃ + x ₄ = 0.

4x ₁ - x ₂ + 3x ₃ - x ₄ = 0,

Отже, власному значенню l = 2 відповідають власні вектори виду a (8, 8, -3, 15), де a - будь-яке відмінне від нуля дійсне число. При l = -2 маємо:

A - l E = A +2 E = ~ ,

і тому координати власних векторів повинні задовольняти системі рівнянь

x ₁ +3 x ₂ = 0,

x ₂ = 0,

x ₃ + x ₄ = 0.

Тому власному значенню l = -2 відповідають власні вектори виду b (0, 0, -1, 1), де b - будь-яке відмінне від нуля дійсне число.

5.6 Використання систем лінійних рівнянь при вирішенні економічних завдань

Приклад 2.20. З деякого листового матеріалу необхідно викроїти 360 заготовок типу А, 300 заготовок типу Б і 675 заготовок типу В. При цьому можна застосовувати три способи розкрою. Кількість заготовок, що отримуються з кожного аркуша при кожному способі розкрою, зазначено в таблиці:

Записати в математичній формі умови виконання завдання.

Рішення. Позначимо через x, y, z кількість аркушів матеріалу, розкроюємо відповідно першим, другим і третім способами. Тоді при першому способі розкрою x листів буде отримано 3x заготовок типу А, при другому - 2y, при третьому - z.

Для повного виконання завдання по заготівлях типу А сума 3x +2 y + z повинна дорівнювати 360, тобто

3x +2 y + z = 360.

Аналогічно отримуємо рівняння

x + 6y +2 z = 300

4x + y + 5z = 675,

яким повинні задовольняти невідомі x, y, z для того, щоб виконати завдання по заготівлях Б і В. Отримана система лінійних рівнянь і висловлює в математичній формі умови виконання всього завдання по заготівлях А, Б та В. Вирішимо систему методом виключення невідомих. Запишемо розширену матрицю системи і наведемо її за допомогою елементарних перетворень до трикутного виду.

~ ~ ~ ~ ~ ~ .

Отже, вихідна система рівносильна наступною:

x + 6y +2 z = 300,

2y +9 z = 570,

-67z = - 4020.

З останнього рівняння знаходимо z = 60; підставляючи знайдене значення z на друге рівняння, отримаємо y = 15 і, нарешті, з першого маємо x = 90. Отже, вектор C (90, 15, 60) є рішення системи.

Приклад 2.21. Три судна доставили в порт 6000 т чавуну, 4000 т залізної руди і 3000 т апатитів. Розвантаження можна робити як безпосередньо в залізничні вагони для подальшої доставки споживачам, так і на портові склади. У вагони можна розвантажити 8000 т, а залишок вантажу доведеться направити на склади. Необхідно врахувати, що подані в порт вагони не пристосовані для перевезення апатитів. Вартість вивантаження 1 т у вагони становить відповідно 4,30, 5,25 і 2,20 ден. од.

Записати в математичній формі умови повного розвантаження судів, якщо витрати на неї повинні скласти 58 850 ден. од.

Рішення. За умовою задачі, доставлені в порт чавун, залізну руду і апатити можна розвантажити двома способами: або в залізничні вагони, або у портові склади. Позначимо через x _ij кількість вантажу (у тоннах) i-го виду (i = 1,2,3), яке передбачається розвантажити j-м способом (j = 1, 2). Таким чином, завдання містить шість невідомих. Умова повного розвантаження чавуну можна записати у вигляді

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000, (5.7)

де x _11, x ₁₂ - частини чавуну, розвантажує відповідно у вагони та на склади. Аналогічне умова повинна виконуватися і для залізної руди:

x _{2 1} + x ₂₂ = 4000. (5.8)

Що ж до апатитів, то їх можна розвантажувати тільки на склади, а тому невідоме x ₃₁ = 0, і умова повного розвантаження апатитів приймає вид

x ₃₂ = 3000. (5.9)

Умова повного завантаження всіх поданих в порт вагонів запишеться так:

x ₁₁ + x ₂₁ = 8000. (5.10)

Витрати на розвантаження, за умовою, визначені в 58850 ден. од., що можна висловити записом:

4,3 x ₁₁ + 7,8 x ₁₂ + 5,25 x ₂₁ + 6,4 x ₂₂ + 3,25 x ₃₂ = 58850. (5.11)

Отже, з урахуванням сформованої в порту ситуації умови повного розвантаження судів виражаються в математичній формі системою лінійних рівнянь (5.7) - (5.11). З урахуванням (5.9) рівняння (5.11) перепишеться у вигляді:

4,3 x ₁₁ + 7,8 x ₁₂ x ₂₁ +5,25 +6,4 x ₂₂ = 49100,

і тепер ми маємо систему з чотирьох рівнянь з чотирма невідомими x _11, x _12, x _21, x _22, розширена матриця якої має вигляд:

`A = .

Перетворимо її до трикутного вигляду:

`A ~ ~ ~ ~ ~ .

Наша система рівносильна наступною:

x ₁₁ + x ₁₂ = 6000,

- X ₁₂ + x ₂₁ = 2000,

x ₂₁ + x ₂₂ = 4000,

-2,35 X ₂₂ = - 4700,

звідки x ₂₂ = 2000, x ₂₁ = 2000, x ₁₂ = 0, x ₁₁ = 6000.

Приклад 2.22. На підприємстві є чотири технологічних способу виготовлення виробів А і Б з деякого сировини. У таблиці вказано кількість виробів, що може бути зроблено з одиниці сировини кожним з технологічних способів.

Записати в математичній формі умови вибору технологій при виробництві з 94 од. сировини 574 виробів А і 328 виробів Б.

Рішення. Позначимо через x _1, x _2, x _3, x ₄ кількість сировини, яку слід переробити по кожній технології, щоб виконати планове завдання. Отримаємо систему трьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими:

x ₁ + x ₂ + x ₃ + x ₄ = 94,

2x ₁ + x ₂ + 7x ₃ + 4x ₄ = 574,

6x ₁ +12 x ₂ +2 x ₃ + 3x ₄ = 328.

Вирішуємо її методом Гауса:

~ ~ .

Маємо: r (А) = r (А) = 3, отже, число головних невідомих дорівнює трьом, одне невідоме x ₄ - вільне. Вихідна система рівносильна наступною:

x ₁ + x ₂ + x ₃ = 94 - x _4,

- X ₂ + 5x ₃ = 386 - 2x _4,

26x ₃ = 2080 - 9x _4.

З останнього рівняння знаходимо x ₃ = 80 - 9 / 26 x _4, підставляючи x ₃ у друге рівняння, будемо мати: x ₂ = 14 + 7/26x ₄ і, нарешті, з першого рівняння отримаємо: x ₁ = - 12/13 x _4. З математичної точки зору система має незліченну безліч рішень, тобто невизначена. З урахуванням реального економічного змісту величини x ₁ та x ₄ не можуть бути негативними, тоді зі співвідношення x ₁ = - 12/13 x _{4 отримали:} x ₁ = x ₄ = 0. Тоді вектор (0, 14, 80, 0) є вирішенням даної системи.

Приклад 2.23. Математична модель міжгалузевого балансу.

Модель міжгалузевого балансу, розроблена професором В. Леонтьєвим (Гарвардський університет, США), має вигляд:

, (5.12)

або, в матричній формі,

AX + Y = X, (5.13)

де А = (a _ij) - матриця коефіцієнтів прямих витрат, Х - вектор валових випусків, Y - вектор кінцевого продукту.

Перепишемо систему (5.13) у вигляді

(E - A) X = Y, (5.14)

де E - одинична матриця n-го порядку, тоді рішення системи (5.14) відносно невідомих значень обсягів виробництва продукції при заданому векторі кінцевого продукту знаходиться за формулою

X = (E - A) ^{- 1} Y. (5.15)

Тут (E - A) ^{- 1} - матриця коефіцієнтів повних витрат. Елемент b _ij матриці (E - A) ^{- 1} характеризує потребу у валовому випуску галузі i, який необхідний для отримання в процесі матеріального виробництва одиниці кінцевого продукту галузі j. Завдяки цьому є можливість розглядати валові випуски x _i у вигляді функцій планованих значень y _j кінцевих продуктів галузей:

.

Приклад 2.24. Нехай дана Леонтійовському балансова модель "витрати - випуск" X = AX + Y. Знайти вектор кінцевої продукції Y при заданому X, де

A = ;

Рішення. Маємо: Y = (E - A) X, де E - одинична матриця третього порядку.

E - A = ,

значить,

Y = .

Приклад 2.25. Нехай дана Леонтійовському балансова модель "витрати-випуск". Визначити, чи буде продуктивною матриця технологічних коефіцієнтів A. Знайти вектор валової продукції X при заданому Y, де

A = .

Рішення. Для вирішення питання про продуктивність матриці A слід знайти власні значення цієї матриці. Складемо характеристичне рівняння:

,

або

(0,125 - l) ² - 0,140625 = 0 Þ 0,125 - l = ± 0,375.

Отже, l ₁ = 0,5; l ₂ = - 0,25. Обидва кореня по модулю менше одиниці, виходить, матриця технологічних коефіцієнтів A продуктивна. Для визначення вектора валової продукції X маємо формулу X = (E - A) ^{- 1} Y. Знайдемо обернену матрицю для матриці

E - A = .

Позначимо B = EA, тоді .

Отже,

X = .

III. МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

6. Межа функції

6.1 Межа послідовності і функції. Теореми про межі

Постійне число а називається межею послідовності {x _n}, якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа e існує номер N, що всі значення x _n, у яких n> N, задовольняють нерівності

ê x _n - a ê <e. (6.1)

Записують це таким чином: або x _n ® a.

Нерівність (6.1) рівносильно подвійному нерівності

a-e <x _n <a + e, (6.2)

яке означає, що точки x _n, починаючи з деякого номера n> N, лежать всередині інтервалу (a-e, a + e), тобто потрапляють в яку завгодно малу e-околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається сходящейся, в іншому випадку - розходиться.

Поняття границі функції є узагальненням поняття границі послідовності, так як межа послідовності можна розглядати як межа функції x _n = f (n) цілочисельного аргументу n.

Нехай дана функція f (x) і нехай a - гранична точка області визначення цієї функції D (f), тобто така точка, будь околиця якої містить точки безлічі D (f), відмінні від a. Точка a може належати безлічі D (f), а може і не належати йому.

Визначення 1. Постійне число А називається границею функції f (x) при x ® a, якщо для будь-якої послідовності {x _n} значень аргументу, що прямує до а, відповідні їм послідовності {f (x _n)} мають один і той же межа А .

Це визначення називають визначенням меж функції з Гейне, або "мовою послідовностей".

Визначення 2. Постійне число А називається границею функції f (x) при x ® a, якщо, задавши довільне як завгодно мале додатне число e, можна знайти таке d> 0 (залежне від e), що для всіх x, що лежать в d-окрестности числа а , тобто для x, що задовольняють нерівності 0 <½ xa ½ <d, значення функції f (x) будуть лежати в e-окрестности числа А, тобто ê f (x)-A ê <e.

Це визначення називають визначенням границі функції за Коші, або "мовою e - d".

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f (x) при x ® a має межу, що дорівнює А, це записується у вигляді

f (x) = A. (6.3)

У тому випадку, якщо послідовність {f (x _n)} необмежено зростає (або спадає) при будь-якому способі наближення x до своєї межі а, то будемо говорити, що функція f (x) має нескінченну границю, і записувати це у вигляді:

f (x) = ¥ ( f (x) = - ¥).

Змінна величина (тобто послідовність або функція), що має своїм межею нуль, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, що має нескінченну границю, називається нескінченно великою величиною.

Для знаходження меж на практиці користуються наступними теоремами.

Теорема 1. Якщо існують межі f (x) = A, g (x) = B, то

(F (x) + (g (x)) = A + B, (6.4)

f (x) g (x) = AB, (6.5)

f (x) / g (x) = A / B (B ¹ 0). (6.6)

Зауваження. Вирази виду 0 / 0, ¥ / ¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знаходження меж такого виду носить назву "розкриття невизначеностей".

Теорема 2.

(F (x)) ^a = ( f (x)) ^a, де a = const, (6.7)

тобто можна переходити до межі в основі ступеня при постійному показнику, зокрема, ;

b ^{f (x)} = b ^A, де b = const, f (x) = A; (6.8)

log _c f (x) = log _c f (x), де c = const. (6.9)

Теорема 3. = 1, = 1, a = const, a> 0,

= 1, (6.10)

(1 + a) ^{1 / a} = e, (6.11)

де e »2.7 - основа натурального логарифма. Формули (6.10) і (6.11) носять назву першого і другого чудового меж.

Використовуються на практиці і слідства формули (6.11):

= Log _c e, (6.12)

^(A a - 1) / a = ln a, (6.13)

((1 + a) ^m - 1) / a = m, (6.14)

зокрема,

= 1.

Eсли x ® a і при цьому x> a, то пишуть x ® a +0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0 +0 пишуть +0. Аналогічно якщо x ® a і при цьому x <a, то пишуть x ® a-0. Числа і називаються відповідно межею праворуч і ліворуч межею функції f (x) в точці а. Для існування границі функції f (x) при x ® a необхідно і достатньо, щоб = .

Функція f (x) називається безперервної в точці x _0, якщо

. (6.15)

Умова (6.15) можна переписати у вигляді:

,

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона неперервна в даній точці.

Якщо рівність (6.15) порушено, то говорять, що при x = x _o функція f (x) має розрив. Розглянемо функцію y = 1 / x. Областю визначення цієї функції є безліч R, крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D (f), оскільки в будь-якій її околиці, тобто в будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D (f), але вона сама не належить цій безлічі. Значення f (x _o) = f (0) не визначено, тому в точці x _o = 0 функція має розрив.

Функція f (x) називається безперервної справа в точці x _o, якщо

,

і безперервного зліва в точці x _o, якщо

.

Неперервність функції в точці x _o рівносильна її безперервності в цій точці одночасно і праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була неперервна в точці x _o, наприклад, праворуч, необхідно, по-перше, щоб існував кінцевий межа , А по-друге, щоб ця межа дорівнював f (x _o). Отже, якщо хоча б одне з цих двох умов не виконується, то функція буде мати розрив.

1. Якщо існує і не дорівнює f (x _o), то говорять, що функція f (x) в точці x _o має розрив першого роду, або стрибок.

2. Якщо дорівнює ¥ або не існує, то говорять, що в точці x _o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x при x ® +0 має межу, що дорівнює + ¥, значить, в точці x = 0 вона має розрив другого роду. Функція y = E (x) (ціла частина від x) в точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або скачки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку [a, b], називається безперервної в [a, b]. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другого чудовому межі призводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, відносяться: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій і т.п.

Розглянемо приклад Я.І. Перельмана, який дає інтерпретацію числа e в задачі про складні відсотках. Число e є межа e = . В ощадбанках процентні гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, так як в освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо чисто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай в банк покласти 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо процентні гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться в 200 ден.ед. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо процентні гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після закінчення півріччя 100 ден. од. виростуть в 100 × 1,5 = 150, а ще через півроку - в 150 × 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1 / 3 роки, то після закінчення року 100 ден. од. перетворяться в 100 × (1 +1 / 3) ³ »237 (ден. од.). Будемо учащати терміни приєднання процентних грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді з 100 ден. од. через рік вийде:

100 × (1 +1 / 10) ¹⁰ »259 (ден. од.),

100 × (1 +1 / 100) ¹⁰⁰ »270 (ден. од.),

100 × (1 +1 / 1000) ¹⁰⁰⁰ »271 (ден. од.).

При безмежному скорочення термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до деякого межі, рівному приблизно 271. Більш ніж у 2,71 разів капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби наросли відсотки приєднувалися до капіталу кожну секунду, тому що

= E.

Приклад 3.1. Користуючись визначенням меж числової послідовності, довести, що послідовність x _n = (n-1) / n має межу, що дорівнює 1.

Рішення. Нам треба довести, що, яке б e> 0 ми не взяли, для нього знайдеться натуральне число N, таке, що для всіх n> N має місце нерівність ½ x _n -1 ½ <e.

Візьмемо будь e> 0. Так як ½ x _n -1 ½ = ½ (n +1) / n - 1 ½ = 1 / n, то для відшукання N досить розв'язати нерівність 1 / n <e. Звідси n> 1 / e і, отже, за N можна взяти цілу частину від 1 / e, N = E (1 / e). Ми тим самим довели, що x _n = 1.

Приклад 3. 2. Знайти межа послідовності, заданої загальним членом x _n = .

Рішення. Застосуємо теорему про межу суми і знайдемо межа кожного доданка. При n ® ¥ чисельник і знаменник кожного доданка прямує до нескінченності, і ми не можемо безпосередньо застосувати теорему про межу приватного. Тому спочатку перетворимо x _n, розділивши чисельник і знаменник перший доданок на n ^2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему про межу приватного і про межу суми, знайдемо:

x _n = .

Приклад 3.3. x _n = . Знайти x _n.

Рішення. = .

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеня від межі підстави.

Приклад 3. 4. Знайти ( ).

Рішення. Застосовувати теорему про межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ¥ - ¥. Перетворимо формулу загального члена:

= .

Приклад 3. 5. Дана функція f (x) = 2 ^{1 / x.} Довести, що не існує.

Рішення. Скористаємося визначенням 1 границі функції через послідовність. Візьмемо послідовність {x _n}, сходяться до 0, тобто x _n = 0. Покажемо, що величина f (x _n) = для різних послідовностей веде себе по-різному. Нехай x _n = 1 / n. Очевидно, що 1 / n = 0, тоді = 2 ⁿ = + ¥. Виберемо тепер як x _n послідовність із загальним членом x _n = -1 / n, також прагне до нуля. = 2 ^{- n} = 1 / 2 ⁿ = 0. Тому 2 ^{1 / x} не існує.

Приклад 3. 6. Довести, що sin x не існує.

Рішення. Нехай x _1, x ₂ ,..., x _n, ... - Послідовність, для якої x _n = ¥. Як веде себе послідовність {f (x _n)} = {sin x _n} при різних x _n ® ¥?

Якщо x _n = p n, то sin x _n = sin p n = 0 при всіх n і sin x _n = 0. Якщо ж x _n = 2 p n + p / 2, то sin x _n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 для всіх n і отже sin x _n = 1. Таким чином, sin x не існує.

Приклад 3. 7. Знайти .

Рішення. Маємо: = 5 . Позначимо t = 5x. При x ® 0 маємо: t ® 0. Застосовуючи формулу (3.10), отримав 5 .

Приклад 3. 8. Обчислити .

Рішення. Позначимо y = p-x. Тоді при x ® p, y ® 0.Імеем:

sin 3x = sin 3 (p-y) = sin (3 p-3y) = sin 3y.

sin 4x = sin 4 (p-y) = sin (4 p-4y) = - sin 4y.

=- .

Приклад 3. 9. Знайти .

Рішення. Позначимо arcsin x = t. Тоді x = sin t і при x ® 0 t ® 0. = .

Приклад 3. 10. Знайти 1) , 2) , 3) .

Рішення.

1. Застосовуючи теорему 1 про межі різниці і твори, знаходимо межа знаменника: .

Межа знаменника не дорівнює нулю, тому, за теоремою 1 про межу приватного, отримуємо: = .

2. Тут чисельник і знаменник прямують до нуля, тобто має місце невизначеність виду 0 / 0. Теорема про межу приватного безпосередньо непридатна. Для "розкриття невизначеності" перетворимо цю функцію. Розділивши чисельник і знаменник на x-2, отримаємо при x ¹ 2 рівність:

= .

Так як (X +1) ¹ 0, то, по теоремі про межу приватного, знайдемо

= = .

3. Чисельник і знаменник при x ® ¥ є нескінченно великими функціями. Тому теорема про межу приватного безпосередньо не застосовна. Розділимо чисельник і знаменник на x ² і до отриманої функції застосуємо теорему про межу приватного:

= .

Приклад 3. 11. Знайти .

Рішення. Тут чисельник і знаменник прямують до нуля: , X-9 ® 0, тобто маємо невизначеність виду .

Перетворимо цю функцію, помноживши чисельник і знаменник на неповний квадрат суми вираження , Одержимо

.

Приклад 3. 12. Знайти .

Рішення. = .

6.2 Застосування меж в економічних розрахунках

Складні відсотки

У практичних розрахунках в основному застосовують дискретні відсотки, тобто відсотки, що нараховуються за фіксовані однакові інтервали часу (рік, півріччя, квартал і т. д.). Час - дискретна змінна. В деяких випадках - у доказах і розрахунки, пов'язані з безперервними процесами, виникає необхідність у застосуванні безперервних відсотків. Розглянемо формулу складних відсотків:

S = P (1 + i) ^n. (6.16)

Тут P - первинна сума, i - ставка відсотків (у вигляді десяткового дробу), S - сума, що утворилася до кінця терміну позики в кінці n-го року. Зростання по складним відсоткам являє собою процес, що розвивається по геометричній прогресії. Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка служила базою для їх визначення, часто називають капіталізацією відсотків. У фінансовій практиці часто стикаються із завданням, зворотної визначення нарощеної суми: за заданою сумі S, яку слід сплатити через деякий час n, необхідно визначити суму отриманої позики P . У цьому випадку говорять, що сума S дисконтується, а відсотки у вигляді різниці S - P називаються дисконтом. Величину P, знайдену дисконтуванням S, називають сучасною, або наведеної, величиною S. Маємо:

P = Þ P = = 0.

Таким чином, при дуже великих термінах платежу сучасна величина останнього буде вкрай незначна.

У практичних фінансово-кредитних операціях безперервні процеси нарощення грошових сум, тобто нарощення за нескінченно малі проміжки часу, застосовуються рідко. Істотно більше значення безперервне нарощення має у кількісному фінансово-економічному аналізі складних виробничих та господарських об'єктів і явищ, наприклад, при виборі і обгрунтуванні інвестиційних рішень. Необхідність в застосуванні безперервних нарощення (або безперервних відсотків) визначається насамперед тим, що багато економічних явища за своєю природою неперервні, тому аналітичне опис у вигляді безперервних процесів більш адекватно, ніж на основі дискретних. Узагальнимо формулу складних відсотків для випадку, коли відсотки нараховуються m разів на рік:

S = P (1 + i / m) ^mn.

Нарощена сума при дискретних процесах знаходиться за цією формулою, тут m - число періодів нарахування на рік, i - річна або номінальна ставка. Чим більше m, тим менше проміжки часу між моментами нарахування відсотків. У межі при m ® ¥ маємо:

`S = P (1 + i / m) ^mn = P ((1 + i / m) ^{m) n.}

Оскільки (1 + i / m) ^m = e ^i, то `S = P e ^in.

При безперервному нарощуванні відсотків застосовують особливий вид відсоткової ставки - силу зростання, яка характеризує відносний приріст нарощеної суми в нескінченно малому проміжку часу. При безперервній капіталізації відсотків нарощена сума дорівнює кінцевої величиною, яка залежить від початкової суми, терміну нарощення і номінальної ставки відсотків. Для того, щоб відрізнити ставки безперервних відсотків від ставки дискретних відсотків, позначимо перший через d, тоді `S = Pe .

Сила росту d являє собою номінальну ставку відсотків при m ® ¥. Множник нарощення розраховується за допомогою ЕОМ або за таблицями функції.

Потоки платежів. Фінансова рента

Контракти, угоди, комерційні і виробничо-господарські операції часто передбачають не окремі разові платежі, а безліч розподілених у часі виплат і надходжень. Окремі елементи такого ряду, а іноді і сам ряд платежів в цілому, називається потоком платежів. Члени потоку платежів можуть бути як позитивними (надходження), так і негативними (виплати) величинами. Потік платежів, всі члени якого позитивні величини, а тимчасові інтервали між двома послідовними платежами постійні, називають фінансовою рентою. Ренти діляться на річні та р-строкові, де р характеризує число виплат протягом року. Це дискретні ренти. У фінансово-економічній практиці зустрічаються і з послідовностями платежів, які виробляються так часто, що практично їх можна розглядати як безперервні. Такі платежі описуються безперервними рентами.

Приклад 3.13. Нехай в кінці кожного року протягом чотирьох років в банк вноситься по 1 млн. рублів, відсотки нараховуються в кінці року, ставка - 5% річних. У цьому випадку перший внесок звернеться до кінця терміну ренти в величину 10 ⁶ '1,05 ³ так як відповідна сума була на рахунку протягом 3 років, другий внесок збільшиться до 10 ^6' 1,05 ^2, так як був на рахунку 2 роки . Останній внесок відсотків не приносить. Таким чином, в кінці строку ренти внески з нарахованими на них відсотками представляють ряд чисел: 10 ⁶ '1,05 ^3, 10 ^6' 1,05 ^2, 10 ⁶ '1,05; 10 ^6. Нарощена до кінця терміну ренти величина буде дорівнює сумі членів цього ряду. Узагальнимо сказане, виведемо відповідну формулу для нарощеної суми річної ренти. Позначимо: S - нарощена сума ренти, R - розмір члена ренти, i - ставка відсотків (десяткова дріб), n - термін ренти (число років). Члени ренти будуть приносити відсотки протягом n - 1, n - 2 ,..., 2, 1 і 0 років, а нарощена величина членів ренти складе

R (1 + i) ^{n - 1,} R (1 + i) ^{n - 2} ,..., R (1 + i), R.

Перепишемо цей ряд у зворотному порядку. Він являє собою геометричну прогресію зі знаменником (1 + i) і першим членом R. Знайдемо суму членів прогресії. Отримаємо: S = R '((1 + i) ⁿ - 1) / ((1 + i) - 1) = = R' ((1 + i) ⁿ - 1) / i. Позначимо S _{n; i} = ((1 + i) ⁿ - 1) / i і будемо називати його коефіцієнтом нарощення ренти. Якщо ж відсотки нараховуються m раз на рік, то S = R '((1 + i / m) ^mn - 1) / ((1 + i / m) ^m - 1), де i - номінальна ставка відсотків.

Величина a _{n; i} = (1 - (1 + i) ^{- n)} / i називається коефіцієнтом приведення ренти. Коефіцієнт приведення ренти при n ® ¥ показує, у скільки разів сучасна величина ренти більше її члена:

a _{n; i} = (1 - (1 + i) ^{- n)} / i = 1 / i.

Приклад 3.14. Під вічної рентою розуміється послідовність платежів, число членів якої не обмежена - вона виплачується протягом нескінченного числа років. Вічна рента не є чистою абстракцією - на практиці це деякі види облігаційних позик, оцінка здатності пенсійних фондів відповідати за своїми зобов'язаннями. Виходячи із сутності вічної ренти можна вважати, що її нарощена сума дорівнює нескінченно великій величині, що легко довести за формулою: R '((1 + i) ⁿ - 1) / i ® ¥ при n ® ¥.

Коефіцієнт приведення для вічної ренти a _{n; i} ® 1 / i, звідки A = R / i, тобто сучасна величина залежить тільки від величини члена ренти і прийнятої ставки відсотків.

7. Похідна

7.1 Похідна, правила і формули диференціювання

Нехай функція y = f (x) визначена в проміжку X. Похідною функції y = f (x) в точці х _o називається межа

= .

Якщо ця межа кінцевий, то функція f (x) називається дифференцируемой в точці x _o; при цьому вона виявляється обов'язково і безперервного в цій точці.

Якщо ж розглянутий межа дорівнює ¥ (або - ¥), то за умови, що функція в точці х _o безупинна, будемо говорити, що функція f (x) має в точці х _o нескінченну похідну.

Похідна позначається символами

y ¢, f ¢ (x _o), , .

Знаходження похідної називається диференціюванням функції. Геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої y = f (x) в даній точці х _o; фізичний сенс - в тому, що похідна від шляху за часом є миттєва швидкість рухомої точки при прямолінійному русі s = s (t) в момент t _o.

Якщо з - постійне число, і u = u (x), v = v (x) - деякі диференціюються функції, то справедливі наступні правила диференціювання:

1) (с) '= 0, (cu) '= Cu';

2) (u + v) '= u' + v ';

3) (uv) '= u'v + v'u;

4) (u / v) '= (u'v-v'u) / v ^2;

5) якщо y = f (u), u = j (x), тобто y = f (j (x)) - складна функція, або суперпозиція, складена з диференційовних функцій j і f, то , Або

;

6) якщо для функції y = f (x) існує зворотна дифференцируемая функція x = g (y), причому ¹ 0, то .

На основі визначення похідної та правил диференціювання можна скласти список табличних похідних основних елементарних функцій.

1. (U ^m) '= ^m u ^m-1 u' (m Î R).

2. (A ^u) '= a ^u lna × ^u'.

3. (E ^u) '= e ^{u u'.}

4. (Log _a u) '= u' / (u ln a).

5. (Ln u) '= u' / u.

6. (Sin u) '= cos u × u'.

7. (Cos u) '= - sin u × u'.

8. (Tg u) '= 1 / cos ² u × u'.

9. (Ctg u) '= - u' / sin ² u.

10. (Arcsin u) '= u' / .

11. (Arccos u) '= - u' / .

12. (Arctg u) '= u' / (1 ​​+ u ^2).

13. (Arcctg u) '= - u' / (1 ​​+ u ^2).

Обчислимо похідну статечно-показового вираження y = u ^v, (u> 0), де u і v суть функції від х, що мають у даній точці похідні u ', v'.

Прологаріфміровав рівність y = u ^v, отримаємо ln y = v ln u.

Прирівнюючи похідні по х від обох частин отриманого рівності за допомогою правил 3, 5 і формули для похідної логарифмічної функції, будемо мати:

y '/ y = vu' / u + v 'ln u, звідки y' = y (vu '/ u + v' ln u).

Отже,

(U ^v) '= u ^v (vu' / u + v 'ln u), u> 0.

Наприклад, якщо y = ^{x sin} x, то y '= ^{x sin} x (sin x / x + cos x × ln x).

Якщо функція y = f (x) дифференцируема в точці x, тобто має в цій точці кінцеву похідну y ', то = Y '+ a, де a ® 0 при D х ® 0, звідси D y = ​​y' D х + a x.

Головна частина приросту функції, лінійна відносно D х, називається диференціалом функції і позначається dy: dy = y 'D х. Якщо покласти в цій формулі y = x, то отримаємо dx = x 'D х = 1 × D х = D х, тому dy = y'dx, тобто символ для позначення похідної можна розглядати як дріб.

Приріст функції D y є приріст ординати кривої, а диференціал d y є приріст ординати дотичної.

Нехай ми знайшли для функції y = f (x) її похідну y ¢ = f ¢ (x). Похідна від цієї похідної називається похідною другого порядку функції f (x), або другої похідної, і позначається .

Аналогічно визначаються і позначаються:

похідна третього порядку - ,

похідна четвертого порядку -

і взагалі похідна n-го порядку - .

Приклад 3. 15. Обчислити похідну функції y = (3x ^3-2x +1) × sin x.

Рішення. За правилом 3, y '= (3x ^3-2x +1)' × sin x + (3x ^3-2x +1) × (sin x) '= = (9x ² -2) sin x + (3x ³ -2x +1) cos x.

Приклад 3.16. Знайти y ', y = tg x + .

Рішення. Використовуючи правила диференціювання суми і приватного, отримаємо: y '= (tgx + ) '= (Tgx)' + ( ) '= + = .

Приклад 3. 17. Знайти похідну складної функції y = , U = x ⁴ +1.

Рішення. За правилом диференціювання складної функції, одержимо: y _'x = y _{'U u' x} = ( ) _'U (x ⁴ +1)' _x = (2u + . Так як u = x ⁴ +1, то (2 x ⁴ +2 + .

Приклад 3. 18. Знайти похідну функції y = .

Рішення. Уявімо функцію y = у вигляді суперпозиції двох функцій: y = e ^u і u = x ^2. Маємо: y _'x = y _{'U u' x} = (e ^u) _'u (x ^2)' _x = e ^u × 2x. Підставляючи x ² замість u, отримаємо y = 2x .

Приклад 3. 19. Знайти похідну функції y = ln sin x.

Рішення. Позначимо u = sin x, тоді похідна складної функції y = ln u обчислюється за формулою y '= (ln u)' _u (sin x) _'x = .

Приклад 3.20. Знайти похідну функції y = .

Рішення. Випадок складної функції, отриманої в результаті кількох суперпозицій, вичерпується послідовним застосуванням правила 5:

.

Приклад 3.21. Обчислити похідну y = ln .

Рішення. Логаріфміруя і використовуючи властивості логарифмів, отримаємо:

y = 5/3ln (x ² +4) +7 / 3ln (3x-1) -2/3ln (6x ³ +1) -1/3tg 5x.

Диференціюючи обидві частини останнього рівності, отримаємо:

.

7.2 Граничний аналіз в економіці. Еластичність функції

В економічних дослідженнях для позначення похідних часто користуються специфічною термінологією. Наприклад, якщо f (x) є виробнича функція, що виражає залежність випуску будь-якої продукції від витрат фактора x, то f '(x) називають граничним продуктом, якщо g (x) є функція витрат, тобто функція g (x ) висловлює залежність загальних витрат від обсягу продукції x, то g '(x) називають граничними витратами.

Граничний аналіз в економіці - сукупність прийомів дослідження змінюються величин витрат або результатів при зміні обсягів виробництва, споживання і т.п. на основі аналізу їх граничних значень. Здебільшого планові розрахунки, що грунтуються на звичайних статистичних даних, ведуться у формі сумарних показників. При цьому аналіз полягає головним чином в обчисленні середніх величин. Проте в деяких випадках виявляється необхідним більш детальне дослідження з урахуванням граничних значень. Наприклад, при з'ясуванні витрат виробництва зерна в районі на перспективу беруть до уваги, що витрати можуть бути різними в залежності, при інших рівних умовах, від передбачуваних обсягів збору зерна, так як на знову втягуються в обробку гірших землях витрати виробництва будуть вищими, ніж по району в середньому.

Якщо залежність між двома показниками v і x задана аналітично: v = f (x) - то середня величина являє собою відношення v / x, а гранична - похідну .

Знаходження продуктивності праці. Нехай відома функція u = u (t), що виражає кількість виробленої продукції u за час роботи t. Обчислимо кількість виробленої продукції за час D t = t ₁ - t _0: D u = u (t ₁₎ - u (t ₀₎ = u (t ₀ + D t) - u (t _0). Середньої продуктивністю праці називається відношення кількості виробленої продукції до витраченому часу, тобто z _ср .= D u / D t.

Продуктивністю праці робітника z (t ₀₎ в момент t ₀ називається межа, до якої прагне z _СР при D t ® 0: . Обчислення продуктивності праці, таким чином, зводиться до обчислення похідної: z (t ₀₎ = u '(t _0).

Витрати виробництва K однорідної продукції є функція кількості продукції x. Тому можна записати K = K (x). Припустимо, що кількість продукції збільшується на D х. Кількості продукції x + D х відповідають витрати виробництва K (x + D х). Отже, збільшенню кількості продукції D х відповідає приріст витрат виробництва продукції D K = K (x + D х) - K (x).

Середнє збільшення витрат виробництва є D K / D х. Це збільшення витрат виробництва на одиницю приросту кількості продукції.

Межа називається граничними витратами виробництва.

Якщо позначити через u (x) виручку від продажу x одиниць товару, то і називається граничною виручкою.

За допомогою похідної можна обчислити приріст функції, відповідне приросту аргументу. У багатьох задачах зручніше обчислювати відсоток приросту (відносне збільшення) залежною змінною, відповідний відсотку приросту незалежної змінної. Це приводить нас до поняття еластичності функції (іноді її називають відносною похідною). Отже, нехай дана функція y = f (x), для якої існує похідна y ¢ = f ¢ (x). Еластичність функції y = f (x) щодо змінної x називають межа

.

Його позначають E _x (y) = x / yf ¢ (x) = .

Еластичність щодо x є наближений процентний приріст функції (підвищення або зниження), відповідний збільшенню незалежної змінної на 1%. Економісти вимірюють ступінь чуйності, або чутливості, споживачів до зміни ціни продукції, використовуючи концепцію цінової еластичності. Для попиту на деякі продукти характерна відносна чуйність споживачів до змін цін, невеликі зміни в ціні призводять до значних змін у кількості продукції, що купується. Попит на такі продукти прийнято називати відносно еластичним або просто еластичним. Що стосується інших продуктів, споживачі відносно нечутки до зміни цін на них, тобто суттєва зміна в ціні веде лише до невеликої зміни в кількості покупок. У таких випадках попит відносно нееластичний або просто нееластичний. Термін абсолютно нееластичний попит означає крайній випадок, коли зміна ціни не призводить ні до якої зміни кількості продукції. Прикладом може служити попит хворих на гостру форму діабету на інсулін або попит наркоманів на героїн. І навпаки, коли при найменшому зниження ціни покупці збільшують покупки до межі своїх можливостей - тоді ми говоримо, що попит є зовсім еластичним.

7.3 Екстремум функції

Функція y = f (x) називається зростаючою (спадною) в деякому інтервалі, якщо при x ₁ <x ₂ виконується нерівність f (x ₁₎ <f (x ₂₎ (f (x _1)> f (x _2)).

Якщо дифференцируемая функція y = f (x) на відрізку [a, b] зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f ¢ (x)> 0 (f ¢ (x) <0).

Точка x _про називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x), якщо існує окіл точки x _о, для всіх точок якої вірно нерівність f (x) £ f (x _о) (f (x) ³ f (x _о)).

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках - її екстремумами.

Необхідні умови екстремуму. Якщо точка x _про є точкою екстремуму функції f (x), то або f ¢ (x _о) = 0, або f ¢ (x _о) не існує. Такі точки називають критичними, причому сама функція в критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перше достатня умова. Нехай x _о - критична точка. Якщо f ¢ (x) при переході через точку x _про змінює знак плюс на мінус, то в точці x _про функція має максимум, у противному випадку - мінімум. Якщо при переході через критичну точку похідна не змінює знак, то в точці x _про екстремуму немає.

Друге достатня умова. Нехай функція f (x) має похідну f ¢ (x) в околі точки x _про і другу похідну в самій точці x _о. Якщо f ¢ (x _о) = 0, > 0 ( <0), то точка x _про є точкою локального мінімуму (максимуму) функції f (x). Якщо ж = 0, то потрібно або користуватися першим достатньою умовою, або залучати вищі похідні.

На відрізку [a, b] функція y = f (x) може досягати найменшого чи найбільшого значення або у критичних точках, або на кінцях відрізка [a, b].

Приклад 3.22. Знайти екстремуми функції f (x) = 2x ³ - 15x ² + 36x - 14.

Рішення. Оскільки f ¢ (x) = 6x ² - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3), то критичні точки функції x ₁ = 2 і x ₂ = 3. Екстремуми можуть бути тільки в цих точках. Тому що при переході через точку x ₁ = 2 похідна змінює знак плюс на мінус, то в цій точці функція має максимум. При переході через точку x ₂ = 3 похідна змінює знак мінус на плюс, тому в точці x ₂ = 3 у функції мінімум. Обчисливши значення функції в точках x ₁ = 2 і x ₂ = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f (2) = 14 і мінімум f (3) = 13.

Приклад 3.23. Потрібно побудувати прямокутну майданчик біля кам'яної стіни так, щоб з трьох сторін вона була відгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною примикала до стіни. Для цього є a погонних метрів сітки. При якому співвідношенні сторін майданчик буде мати найбільшу площу?

Рішення. Позначимо сторони площадки через x і y. Площа майданчика дорівнює S = xy. Нехай y - це довжина сторони, що примикає до стіни. Тоді за умовою повинно виконуватися рівність 2x + y = a. Тому y = a - 2x і S = x (a - 2x), де 0 £ x £ a / 2 (довжина і ширина площадки не можуть бути негативними). ​​S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a / 4, звідки y = a - 2 × a / 4 = a / 2. Оскільки x = a / 4 - єдина критична точка, перевіримо, чи змінюється знак похідної при переході через цю точку. При x <a / 4 S ¢> 0, а при x> a / 4 S ¢ <0, отже, в точці x = a / 4 функція S має максимум. Значення функції S (a / 4) = a / 4 (a - a / 2) = a ² / 8 (кв. од).

Оскільки S безупинна на [0, a / 2] і її значення на кінцях S (0) і S (a / 2) дорівнюють нулю, то знайдене значення буде найбільшим значенням функції. Таким чином, найбільш вигідним співвідношенням сторін майданчика за даних умов задачі є y = 2x.

Приклад 3.24. Потрібен виготовити закритий циліндричний бак місткістю V = 16 p »50 м ^3. Якими мають бути розміри бака (радіус R і висота Н), щоб на його виготовлення пішло найменша кількість матеріалу?

Рішення. Площа повної поверхні циліндра дорівнює S = 2 p R (R + Н). Ми знаємо об'єм циліндра V = p R ² Н Þ Н = V / p R ² = 16 p / p R ² = 16 / R ^2. Значить, S (R) = 2 p (R ² +16 / R). Знаходимо похідну цієї функції: S ¢ (R) = 2 p (2R-16 / R ²⁾ = 4 p (R-8 / R ^2). S ¢ (R) = 0 при R ³ = 8, отже, R = 2, Н = 16 / 4 = 4.

7.4 Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя

1. Невизначеність виду 0 / 0. Перше правило Лопіталя.

Якщо = 0, то , Коли останній існує.

2. Невизначеність виду ¥ / ¥. Друге правило Лопіталя.

Якщо = ¥, то , Коли останній існує.

3. Невизначеності виду 0 × ¥, ¥ - ¥, 1 ^¥ і ⁰ 0 зводяться до невизначеностей 0 / 0 і ¥ / ¥ шляхом алгебраїчних перетворень.

Приклад 3.25. Знайти межа функції y = при x ® 0.

Рішення. Маємо невизначеність виду ¥ - ¥. Спочатку перетворимо її до невизначеності виду 0 / 0, для чого достатньо привести дроби до спільного знаменника. До отриманого виразу два рази застосуємо правило Лопіталя. Записуючи послідовно всі проміжні обчислення, будемо мати:

= = = = = = .

Приклад 3.26. Знайти .

Рішення. Розкриваючи невизначеність виду ¥ / ¥ за правилом Лопіталя, отримуємо:

= = = 0.

Приклад 3.27. Обчислити .

Рішення. Маємо невизначеність виду 1 ^¥. Позначимо шуканий межа через A. A = .

Тоді ln A = = = = 2, Þ A = e ^2.

7.5 Приватні похідні. Метод найменших квадратів

Нехай D (x, y) - деяке безліч точок площині Oxy. Якщо кожній впорядкованої парі чисел (x, y) з області D відповідає певне число z Î Z Ì R, то кажуть, що z є функція двох незалежних змінних x і y. Змінні x і y називаються незалежними змінними, або аргументами, D - областю визначення, або існування, функції, а безліч Z всіх значень функції - областю її значень. Функціональну залежність z від x і y записують у вигляді z = f (x, y) , z = z (x, y), z = F (x, y) і т.д. Наприклад, обсяг циліндра V = p R ² Н є функція від радіуса R його заснування і від висоти Н, тобто V = f (R, Н), яка дає можливість, знаючи значення незалежних змінних R і Н, встановити відповідне значення для V.

В економічних дослідженнях часто використовується виробнича функція Кобба-Дугласа , Де z - величина суспільного продукту, x - витрати праці, y - обсяг виробничих фондів (зазвичай z і y вимірюються у вартісних одиницях, x - в людино-годинах); A, a, b - постійні. Функція Кобба-Дугласа є функцією двох незалежних змінних: z = f (x, y). Приватне значення функції z = f (x, y) при x = x _o, y = y _o позначається z _o = f (x _o, y _o). Геометрично область визначення функції D являє собою кінцеву або нескінченну частину площини, обмежену лініями, які можуть належати або не належати цій галузі. У першому випадку область D називається замкнутої і позначається D, у другому випадку - відкритою. Зразок того, як функція y = f (x) геометрично ілюструється своїм графіком, можна геометрично витлумачити і рівняння z = f (x, y). Візьмемо в просторі R ³ прямокутну систему координат і зобразимо на площині Oxy область D. У кожній точці M (x, y) Î D відновимо перпендикуляр до площини Oxy і відкладемо на ньому значення z = f (x, y). Геометричне місце отриманих таким чином точок і з'явиться свого роду просторовим графіком нашої функції. Це буде, взагалі кажучи, деяка поверхню, тому рівняння z = f (x, y) називається рівнянням поверхні. Пара значень x і y визначає на площині Oxy точку M (x, y), а z = f (x, y) - аплікат відповідної точки P (x, y, z) на поверхні. Тому кажуть, що z є функція точки M (x, y) і пишуть z = f (M).

Функція f (M) має межу A, , Якщо різниця f (M) - A є нескінченно мала, коли r = M _o M ® 0 при будь-якому способі наближення M до M _o ​​(наприклад, за будь-якої лінії).

Функція f (x, y) називається безперервної в точці M _o, якщо .

В економіці розглядаються функції не тільки від двох, але і більшої кількості незалежних змінних. Наприклад, рівень рентабельності R залежить від прибутку П на реалізовану продукцію, величин основних (a) і оборотних (b) фондів, R = П / (a + b), тобто R є функцією трьох незалежних змінних R = f (П, a, b). Областю визначення функції трьох змінних є безліч точок простору R ^3, але безпосередній геометричній інтерпретації для функцій з числом аргументів більше двох не існує, однак для них вводяться за аналогією всі визначення (приватні похідні, межа, безперервність і т.д.), сформулірованнние для f (x, y).

Аналогічно визначається функція n незалежних змінних z = f (x _1, x ₂ ,..., x _n).

Областю визначення такої функції буде безліч D Ì R ^n. Прикладом функцій багатьох змінних в економіці є виробничі функції. При розгляді будь-якого виробничого комплексу як відкритої системи (входами якої служать витрати ресурсів - людських і матеріальних, а виходами - продукція) виробнича функція виражає стійке кількісне співвідношення між входами і виходами. Виробнича функція зазвичай задається рівнянням z = f (x _1, x ₂ ,..., x _n), де всі компоненти випуску об'єднані (за вартістю або в натурі) в одну скалярну величину z, а різнорідні виробничі ресурси позначені як x _i.

Приватної похідною функції декількох змінних по одній із цих змінних називається похідна, взята з цієї змінної при умові, що всі інші змінні залишаються постійними. Для функції двох змінних z = f (x, y) приватної похідної по змінній x називається похідна цієї функції по x при постійному y. Позначається приватна похідна по x наступним чином: .

Аналогічно приватної похідною функції z = f (x, y) по аргументу y називається похідна цієї функції по y при постійному x. Позначення:

.

Приватними похідними другого порядку функції z = f (x, y) називаються приватні похідні від її частинних похідних першого порядку. Якщо перша похідна була взята, наприклад, по аргументу x, то другі похідні позначаються символами .

Нехай функція z = f (x, y) визначена в області D і точка M _o (x _o, y _o) буде внутрішньою точкою цієї області. Кажуть, що функція f (x, y) в точці M _o (x _o, y _o) має максимум (мінімум), якщо її можна оточити такою околицею

(X _o - d, x _o + d; y _o - e, y _o + e),

щоб для всіх точок цієї околиці виконувалася нерівність

f (x, y) £ f (x _o, y _o) (f (x, y) ³ f (x _o, y _o)).

Функція багатьох змінних може мати максимум або мінімум (екстремум) тільки в точках, що лежать всередині області визначення функції, в якій всі її приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю або не існує хоча б одна з них. Такі точки називаються критичними. Названі умови є необхідними умовами екстремуму, але ще не достатніми (вони можуть виконуватися і в точках, де немає екстремуму). Щоб критична точка була точкою екстремуму, повинні виконуватися достатні умови. Сформулюємо достатні умови екcтремума для функції двох змінних. Нехай точка M _o (x _o, y _o) - критична точка функції z = f (x, y), тобто , І функція z = f (x, y) має безперервну другу приватні похідні в деякій околиці точки M _o (x _o, y _o). Позначимо . Тоді:

1) якщо D> 0, то функція z має екстремум в точці M _o: максимум при A <0, мінімум при A> 0;

2) якщо D <0, то екстремуму в точці M _o немає;

3) якщо D = 0, то потрібне додаткове дослідження.

Приклад 3.28. Дослідити функцію z = y ⁴ - 2xy ² + x ² + 2y + y ² на екстремум.

Рішення. Знаходимо приватні похідні: = - 2y ² + 2x, = 4y ³ - 4xy +2 +2 y. Для відшукання критичних точок вирішимо систему рівнянь: .

Отже, M _o (1, -1)-єдина точка, "підозрілою на екстремум". Знаходимо другу приватні похідні: , Отже, A = 2, B = 4, С = 10, D = 4, тобто D> 0, функція має екстремум в точці M _o - мінімум (A> 0). Обчислимо z _min = (-1) ⁴ - 2 × 1 × (-1) ² +1 - 2 +1 = -1.

У природознавстві, техніці та економіці часто доводиться мати справу з емпіричними формулами, тобто формулами, складеними на основі обробки статистичних даних або результатів дослідів. Одним з поширених прийомів побудови таких формул є метод найменших квадратів. Викладемо ідею цього способу, обмежуючись випадками лінійної та квадратичної залежності. Нехай потрібно встановити залежність між двома величинами x і y, наприклад, між вартістю споживаного сировини і вартістю випущеної продукції. Зробимо обстеження n видів продукції і представимо результати дослідження у вигляді таблиці:

x	x 1	x 2	...	x n
y	y 1	y 2	...	y n

З аналізу таблиці нелегко виявити наявність і характер залежності між x і y. Тому звернемося до графіка. Припустимо, що точки, взяті з таблиці (дослідні точки) групуються біля деякої прямої лінії. Тоді можна припустити, що між x і y існує лінійна залежність `y = ax + b, де a і b - коефіцієнти, що підлягають визначенню,` y - теоретичне значення ординати. Провівши пряму "на око", можна графічно знайти b і a = tg a, однак це будуть дуже неточні результати. Для знаходження a, b застосовують метод найменших квадратів.

Перепишемо рівняння шуканої прямої у вигляді ax + b - `y = 0. Точки, побудовані на основі досвідчених даних, взагалі кажучи, не лежать на цій прямій. Тому якщо підставити в рівняння прямої замість x і `y задані величини x _i і y _i, то виявиться, що ліва частина рівняння дорівнює якийсь малій величині e _i = `y _{i-y i;} а саме: для першої точки ax ₁ + b - y ₁ = e _1, для другої - ax ₂ + b - y ₂ = e _2, для останньої - ax _n + b - y _n = e _n. Величини e _1, e ₂ ,..., e _n, не рівні нулю, називаються похибками. Геометрично це різниця між ординатою точки на прямій і ординатою дослідної точки з тією ж абсцисою. Похибки залежать від вибраного положення прямої, тобто від a і b. Потрібно підібрати a і b таким чином, щоб ці похибки були можливо меншими за абсолютною величиною. Спосіб найменших квадратів полягає в тому, що a і b вибираються з умови, щоб сума квадратів похибок u = була мінімальною. Якщо ця сума квадратів виявиться мінімальною, то й самі похибки будуть в середньому малими за абсолютною величиною. Підставимо у вираз для u замість e _i їх значення.

u = (ax ₁ + b - y ₁₎ ² + (ax ₂ + b - y _{²⁾ 2} + ... + ( ax _n + b - y _n) ^2, або u = u (a, b),

де x _i, y _i відомі величини, a і b - невідомі, які підлягають визначенню. Виберемо a і b так, щоб u (a, b) мало найменше значення. Необхідні умови екстремуму , . Маємо: = 2 (ax ₁ + b - y ₁₎ x ₁ + ... +2 (Ax ₁ + b - y ₁₎ x _n, = 2 (ax ₁ + b - y ₁₎ + ... + + 2 (Ax ₁ + b - y _1). Отримуємо систему:

.

Ця система називається нормальною системою методу найменших квадратів. З неї знаходимо a і b і потім підставляємо їх в емпіричну формулу `y = ax + b. Нехай тепер точки на графіку розташовуються поблизу деякої параболи так, що між x і y можна припустити квадратичну залежність: `y = ax ² + bx + c, тоді . Тоді u = = . Тут u = u (a, b, c) - функція трьох незалежних змінних a, b, c. Необхідні умови екстремуму , , в цьому разі приймуть наступний вигляд:

.

Отримали нормальні рівняння способу найменших квадратів для квадратичної залежності `y = ax ² + bx + c, коефіцієнти якої знаходимо, вирішуючи систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими.

Відшукання рівняння прямої за емпіричними даними називається вирівнюванням по прямій, а відшукання рівняння параболи - вирівнюванням по параболі. В економічних розрахунках можуть зустрітися також і інші функції. Досить часто зустрічаються емпіричні формули, що виражають назад пропорційну залежність, графічно зображує гіперболою. Тоді говорять про вирівнювання по гіперболі і т.д.

Метод найменших квадратів виявляється досить ефективним при дослідженні якості промислової продукції в залежності від визначальних його факторів на основі статистичних даних поточного контролю якості продукції, в задачах моделювання споживчого попиту.

Приклад 3.29. Темпи зростання продуктивності праці y по роках в промисловості республіки наведені в таблиці.

Припускаючи, що залежність y від x лінійна: y = ax + b, знайти a і b.

Рішення. Обчислимо коефіцієнти нормальної системи рівнянь: .

Отже, маємо систему , Вирішуючи яку, отримаємо: a »15,93; b» 110,57. Отже, маємо рівняння шуканої прямий: y = 15,93 x + 110,57.

8. Інтеграли

8.1 Основні методи інтегрування

Функція F (x), дифференцируемая в даному проміжку X, називається первісною для функції f (x), або інтегралом від f (x), якщо для всякого x Î X справедливо рівність:

F ¢ (x) = f (x). (8.1)

Знаходження всіх первісних для даної функції називається її інтеграцією. Невизначеним інтегралом функції f (x) на даному проміжку Х називається безліч всіх первісних функцій для функції f (x); позначення -

ò f (x) dx.

Якщо F (x) - будь-яка первобразная для функції f (x), то

ò f (x) dx = F (x) + C, (8.2)

де С - довільна стала.

Безпосередньо з визначення отримуємо основні властивості невизначеного інтеграла і список табличних інтегралів:

1) d ò f (x) = f (x) dx,

2) ò df (x) = f (x) + C,

3) ò af (x) dx = a ò f (x) dx (a = const),

4) ò (f (x) + g (x)) dx = ò f (x) dx + ò g (x) dx.

Список табличних інтегралів

1. Ò x ^m dx = x ^{m +1} / (m + 1) + C (m ¹ -1).

2. = Ln ê x ê + C.

3. Ò a ^x dx = a ^x / ln a + C (a> 0, a ¹ 1).

4. Ò e ^x dx = e ^x + C.

5. Ò sin x dx = cos x + C.

6. Ò cos x dx = - sin x + C.

7. = Arctg x + C.

8. = Arcsin x + C.

9. = Tg x + C.

10. = - Ctg x + C.

Для інтегрування багатьох функцій застосовують метод заміни змінної, або підстановки, що дозволяє приводити інтеграли до табличній формі.

Якщо функція f (z) неперервна на [a, b], функція z = g (x) має на [a, b] безперервну похідну і a £ g (x) £ b, то

ò f (g (x)) g ¢ (x) dx = ò f (z) dz, (8.3)

причому після інтегрування в правій частині слід зробити підстановку z = g (x).

Для доказу достатньо записати вихідний інтеграл у вигляді:

ò f (g (x)) g ¢ (x) dx = ò f (g (x)) dg (x).

Наприклад:

1) ;

2) .

Нехай u = f (x) і v = g (x) - функції, що мають безперервні похідні. Тоді, за правилом диференціювання твори,

d (uv) = udv + vdu або udv = d (uv)-vdu.

Для вираження d (uv) первообразной, очевидно, буде uv, тому має місце формула:

ò udv = uv - ò vdu. (8.4)

Ця формула виражає правило інтегрування по частинах. Воно призводить інтегрування виразу udv = uv'dx до інтегрування виразу vdu = vu'dx.

Нехай, наприклад, потрібно знайти ò x cosx dx. Покладемо u = x, dv = cos x dx, так що du = dx, v = sinx. Тоді

ò x cos x dx = ò xd (sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило інтегрування по частинах має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,

ò x ^k ln ^m x dx, ò x ^k sin bx dx, ò x ^k cos bx dx, ò x ^k e ^ax dx

та інші, які обчислюються саме за допомогою інтегрування по частинах.

Поняття визначеного інтеграла вводиться наступним чином. Нехай на відрізку [a, b] визначена функція f (x). Розіб'ємо відрізок [a, b] на n частин точками a = x ₀ <x ₁ <...< x _n = b. З кожного інтервалу (x _{i - 1,} x _i) візьмемо довільну точку x _i і складемо суму f (x _i) D x _i, де D x _i = x _i - x _{i - 1.} Сума виду f (x _i) D x _i називається інтегральною сумою, а її межа при l = max D x _i ® 0, якщо він існує і кінцевий, називається визначеним інтегралом функції f (x) від a до b та позначається:

f (x _i) D x _i. (8.5)

Функція f (x) в цьому випадку називається інтегрованою на відрізку [a, b], числа a і b носять назву нижнього і верхнього краю інтеграла.

Для певного інтеграла справедливі наступні властивості:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (K = const, k Î R);