Випадкові процеси в статичній динаміці

Предмет:
«Статистична динаміка систем автоматичного керування"
Тема:
«Випадкові процеси в статичній динаміці»

1. Випадкові процеси в системах автоматичного управління
Реальні системи і процеси управління можуть бути представлені двома моделями: детермінованою і статистичної (імовірнісною).
У детермінованих моделях структура та параметри системи є фіксованими або детермінованими, а сигнали та процеси управління описуються детермінованими функціями і є повністю визначеними.
У статистичних моделях сигнали та процеси управління, а також структура та параметри системи є випадковими величинами і описуються випадковими функціями часу.
Статистична модель є більш загальною і повніше описує реальні процеси, ніж детерміновані.
Статистичної динамікою систем управління називається розділ теорії управління, який займається вивченням динаміки процесу управління в статичній схемі, тобто при випадкових сигнали та динамічні властивості системи.
Статистична динаміка вивчає наступні завдання:
- Статистичний опис випадкових процесів і динамічних властивостей системи;
- Статистичний аналіз систем управління - визначення статистичних характеристик вихідних сигналів при заданих статистичних характеристиках вхідних сигналів та статистичних властивостях системи.
- Статистичний синтез оптимальних систем управління - пошук і реалізація оптимальних у певному сенсі властивостей системи за заданими статистичними властивостями вхідних сигналів.
Статистична динаміка є розділом теорії управління і базується на теорії ймовірності та, зокрема, на її розділі теорії випадкових процесів.

1.1 Основні поняття теорії ймовірності
Розглянемо випадкові величини та їх характеристики.
Випадкова подія - це подія, яка в результаті досвіду може відбутися або не відбутися (тобто будь-який результат досвіду).
Достовірне подія - це подія, яка в результаті досвіду станеться неодмінно.
Неможливе подія - це подія, яка не може відбутися в результаті досвіду.
Ймовірність події - можливість появи, якої-небудь події, з n-можливих подій.
Випадкова величина - це чисельне значення випадкової події.
Випадкова функція - це функція, значення якої при кожному даному значенні аргументу є випадковою величиною.
Випадковий процес - випадкова функція, аргументом якої є час.
Статистичні властивості випадкової величини X і випадкового процесу X (t) повністю характеризуються функцією розподілу імовірності F (x) (інтегральним законом) або щільністю ймовірності f (x) (диференціальним законом).
1.2 Функція розподілу
Функція розподілу - ймовірність події, яка полягає в тому, що випадкова величина Х прийме значення менше деякої поточної змінної х, тобто
F (x) = P (X <x). (1.1)

Графік функції розподілу представлений на рис. 1.1.


Рис. 1.1
Властивості функції розподілу:
Функція розподілу - зростаюча функція від 0 до 1
(1.2)
Функція розподілу - неспадними функція
якщо (1.3)
Для будь-яких якщо , Виконується співвідношення
(1.4)
1.3 Щільність ймовірності
Щільність ймовірності - ймовірність попадання випадкової величини в область x, x + Dx при Dx ® 0.
(1.5)

Графік щільності ймовірності зображений на рис. 1.2.
Рис. 1.2
Властивості щільності ймовірності:
Щільність ймовірності невід'ємна функцiя
(1.6)
2. Площа під кривою щільності ймовірності дорівнює одиниці
. (1.7)
3. Зв'язок функції розподілу з густиною ймовірності
. (1.8)
4. Вірогідність попадання в область

(1.9)
1.4 Закони розподілу
Різні класи випадкових подій підпорядковані різним законам розподілу. На практиці при дослідженні випадкових подій широко використовуються такі закони розподілу: нормальний, рівномірний, показовий, біноміальний, Ерланга, Пуассона, Релея, та ін
Розглянемо закони, найбільш часто використовувані у статистичній динаміці систем управління.
Нормальний закон розподілу (закон Гаусса). Нормальний закон розподілу це закон, найбільш часто зустрічається на практиці при дослідженні систем управління.
. (1.10)
Щільність ймовірності та функція розподілу для нормального
закону наведено на рис. 1.3а, б.
Рис.1.3. а) б)
Як видно з графіка (рис. 1.3) та формули (1.10), нормальний закон розподілу випадкової величини X залежить від двох параметрів: математичного очікування mx і середнього квадратичного відхилення цієї величини sx.
Закон рівномірної щільності. Щільність ймовірності та функція розподілу для закону рівномірної щільності наведені на малюнку 1.4.
(1.11)

Рис.1.4
1.5 Числові характеристики випадкових величин
Закони розподілу повністю характеризують випадкові величини, але їх не завжди можна отримати. Випадкові величини досить повно можна охарактеризувати, знаючи їх числові характеристики, які визначаються за допомогою так званих моментів (початкових, центральних і змішаних).
Початкові моменти
Початкові моменти характеризують відхилення випадкової величини відносно початку відліку

, (1.12)
де f (x)-щільність ймовірності випадкової величини X.
При до = 1
. (1.13)
Математичним очікуванням випадкової величини mx називається початковий момент першого порядку a1, який характеризує середнє значення випадкової величини.
Для дискретних, випадкових величин
, (1.14)
де xi і pi - можливі значення випадкових величин і їх вірогідність.
Для будь-якої функції випадкового аргументу математичне сподівання одно
. (1.15)
Для функції двох випадкових аргументів математичне сподівання одно

. (1.16)
При до = 2
. (1.17)
Середнім квадратом випадкової величини називається початковий момент другого порядку-a2, який характеризує середню потужність випадкової величини.
Центральні моменти
Центральні моменти характеризують відхилення випадкової величини відносно середнього значення.
. (1.18)
називається центрованої величиною.
При до = 1
. (1.19)
При до = 2

. (1.20)
Дисперсією випадкової величини Dx називається центральний момент другого порядку-m1, який характеризує ступінь розсіювання випадкової величини відносно середнього значення.
Величина називається середнім квадратичним відхиленням.
Між моментами існує наступна зв'язок:
. (1.21)
Змішані центральні моменти
Кореляційний момент - kxy характеризують статистичну залежність між випадковими величинами X і Y.
(1.22)
На практиці часто використовується безрозмірна величина, яка називається коефіцієнтом кореляції
. (1.23)
Випадкові величини X і Y називають корельованими, якщо kxy ¹ 0, і некоррелірованнимі, якщо kxy = 0.
Приклад 1.1. Визначити функцію розподілу та числові характеристики для випадкової величини з рівномірною щільністю ймовірності, графік якої наведено на рис. 1.5.
Рішення: Функцію розподілу можна визначити з співвідношення

При цьому функція розподілу має вигляд (рис. 1.6).


Рис. 1.5 Рис. 1.6
Визначимо числові характеристики.
Математичне сподівання
.
Середній квадрат


Дисперсія
.

2. Випадкові процеси та їх статистичні характеристики
Випадковим (стохастичним) процесом називають випадкову функцію, аргументом якої є час.
Реалізацією називається невипадкова функція часу xi (t), яка є можливим значенням випадкового процесу X (t).

0 t 1 t 2 t x n (t)       Рис. 2.1

X (t)

x 1 (t)

x 2 (t)

Група можливих реалізацій складає безліч, сімейство або ансамбль (рис 2.1).
Перетином випадкового процесу в момент часу t1 називаються можливі значення випадкового процесу X (t1) в момент часу t1.
Статистичні методи вивчають не кожну з реалізацій xi (t1), утворюють множину X (t), а властивість всього множини за допомогою усереднення властивостей його реалізацій. Усереднення може виконуватися по безлічі і за часом.
Усереднення по безлічі виконується над безліччю реалізацій у фіксований момент часу.
Усереднення за часом виконується над однією реалізацій впродовж досить довгого проміжку часу-Т.
Для випадкових процесів функція розподілу і щільність ймовірності повністю визначає статистичні властивості процесів і залежить як від рівня-х, так і часу-t.
(2.1)
Ці функції характеризують випадковий процес у фіксований момент часу-t1.
Для повної характеристики випадкового процесу в довільні моменти часу необхідно знати багатовимірні закони.
(2.2)
Ці закони громіздкі, і оперувати ними складно, тому на практиці часто досить знання одновимірних або двовимірних законів. Це справедливо для широкого класу так званих Гаусcовскіх процесів, або процесів з нормальним законом розподілу. Наприклад, перешкоди в САУ, дія яких обумовлено багатьма випадковими факторами підлеглим різними законами розподілу, і чим більше безліч таких факторів, тим в значно більшій мірі процес буде наближатися до нормального закону (відповідно до центральної граничної теореми).
2.1 Класифікація випадкових процесів
Випадкові процеси можна класифікувати: стаціонарні; нестаціонарні (стохастичні);
Стаціонарні процеси можна класифікувати: Ергодіческіе; неергодіческіе.
Стохастичні процеси - це процеси, для визначення статистичних властивостей якого необхідно усереднення, як по безлічі, так і за часом.
Стаціонарні процеси - це процеси, для визначення статистичних властивостей якого необхідно усереднення тільки по безлічі, тому що його числові характеристики не залежать від часу.
Ергодіческіе процеси - процеси, в яких статистичні характеристики, визначені усередненням за часом, рівні характеристиках, отриманих розподілених на безлічі. Для визначення статистичних властивостей такого процесу використовують одну, досить довгу реалізацію x (t) на інтервалі [-T, T]. При цьому
(2.3)
2.2 Числові характеристики випадкових процесів
Математичним очікуванням (середнім значенням) випадкового процесу X (t) називають невипадкову функцію часу mx (t), значення якої в кожен момент часу дорівнює математичному очікуванню відповідного перерізу випадкового процесу
. (2.4)
При цьому mx (t) представляє як би вісь симетрії окремих реалізацій, тобто ступінь розкиданості щодо середньої осі.

Для стаціонарних процесів
. (2.5)
Для ергодичної процесів
(2.6)
Середній квадрат випадкового процесу X (t) характеризує середню потужність процесу і визначається за формулою:
. (2.7)
Для стаціонарних процесів
. (2.8)
Для ергодичної процесів
(2.9)
Дисперсією випадкового процесу X (t) називають невипадкову функцію часу Dx (t), значення якої в кожен момент часу дорівнює дисперсії відповідного перерізу випадкового процесу

. (2.10)
Для стаціонарних процесів
. (2.11)
Для ергодичної процесів
(2.12)
Математичне сподівання і дисперсія характеризують процес в окремих перетинах, але не враховують їх взаємозв'язок, цей взаємозв'язок характеризується кореляційною функцією.
Кореляційної (автокорреляционной) функцією випадкового процесу X (t) називають невипадкову функцію двох аргументів Rxx (t1, t2), яка для кожної пари значень аргументів t1 і t2 дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів випадкового процесу
(2.13)
Кореляційна функція характеризує ступінь статистичного зв'язку між двома перерізами випадкового процесу.
Взаємно кореляційна функція дорівнює

(2.14)
Взаємно кореляційна функція характеризує ступінь статистичного зв'язку між перерізами для двох процесів.
Для Гаусcовскіх випадкових процесів визначальною характеристикою є двовимірна густина ймовірності, тому кореляційна функція повністю характеризують статистичні властивості випадкового процесу.
Для стаціонарних процесів кореляційна функція залежить від різниці аргументів t = t2-t1
(2.15)
При цьому дисперсія рівна
. (2.16)
Для ергодичної процесів
(2.17)

2.3 Основні властивості кореляційної функції
1. Початкове значення кореляційної функції одно дисперсії
. (2.18)
2. Значення Rx (t) при будь-якому t не може перевищувати її початкового значення
(2.19)
3. Кореляційна функція симетрична щодо своїх аргументів
(2.20)
.
Для взаємно кореляційних функцій це не справедливо
4. Кореляційна функція стаціонарних процесів є парною функцією, а взаємно кореляційна - непарної
(2.21)
5. Кореляційна функція суми Z (t) = X (t) + Y (t), де X (t) і Y (t) - випадкові процеси

(2.22)
6. Кореляційна функція твори Z (t) = X (t) Y (t), де X (t)-випадковий процес, а Y (t) - невипадкова перешкода
(2.23)
7. Кореляційна функція суми Z (t) = X (t) + Y (t), де X (t) - випадковий процес, а Y (t) - невипадкова функція
(2.24)
так як
8. Для автокореляційної функції можна записати вираз

Для взаємно кореляційної функції можна записати вираз

(2.26)

Література
1. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системи автоматичного управління на базі мікро-ЕОМ .- К.: Техніка, 1989. -182 С.
2. Імовірнісні методи в обчислювальній техніці. Під ред. О.М. Лебедєва і Є.А. Чернявського - М.: Вищ. Шк., 1986. -312 С.
3. Гальперін М. В. Автоматичне управління Видавництво: ИНФРА-М, ВИДАВНИЧИЙ ДІМ, 2004с. - 224с.
4. Іванов В.А., Медведєв В.С., Чемоданов Б.К., Ющенко А.С. Математичні основи теорії автоматичного управління. У 3 томах. Том 1 Видавництво: МГТУ ім. Н.Е. БАУМАНА, 2006.
5. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського-М.: Наука, 1987. -712 С.
6. Теорія автоматичного керування: Підручник для вузів. Ч1/Под ред. А.А. Воронова-М.: Вищ. Шк., 1986.-367 с.