Білоруський державний університет
ІНФОРМАТИКИ ІРАДІОЕЛЕКТРОНІКІ
Кафедра метрології та стандартизації
РЕФЕРАТ
На тему:
«Вимірювання характеристик випадкових сигналів»
МІНСЬК, 2008
Статистичні виміру - це методи і засоби вимірювання параметрів і характеристик випадкових сигналів. Вони базуються на загальних принципах вимірювань параметрів сигналів, але мають свою специфіку та особливості, що випливають з теорії випадкових процесів.
Імовірнісні характеристики випадкових сигналів
Випадковим називається сигнал, миттєві значення якого змінюються в часі випадковим чином. Він описується випадковою функцією часу Х (t). Цю функцію можна розглядати як нескінченну сукупність функцій x i (t), кожна з яких представляє собою одну з можливих реалізацій X (t). Графічно це можна представити таким чином (малюнок 1):
Повний опис випадкових сигналів може бути зроблено за допомогою системи імовірнісних характеристик. Будь-яка з цих характеристик може бути визначена або розподілених на сукупності реалізації x i (t), або розподілених на часі однієї нескінченно довгою реалізації.
Залежність чи незалежність результатів таких усереднень визначає наступні фундаментальні властивості випадкових сигналів - стаціонарність та ергодичність.
Стаціонарним називається сигнал, імовірнісні характеристики якої не залежать від часу.
Ергодіческіе називається сигнал, імовірнісні характеристики якої не залежать від номера реалізації.
Для стаціонарних ергодичної сигналів усереднення будь ймовірнісної характеристики по безлічі реалізацій еквівалентно усереднення за часом одній теоретично нескінченно довгою реалізації.
Для практичних цілей найбільш важливими є наступні імовірнісні характеристики стаціонарних ергодичної сигналів, що мають тривалість реалізації Т:
- Середнє значення (математичне очікування). Воно характеризує постійну складову сигналу
- Середня потужність. Вона характеризує середній рівень сигналу
- Дисперсія, що характеризує середню потужність змінної складової сигналу:
- Середньоквадратичне відхилення (СКО)
- Функція розподілу, яка визначається як інтегральна ймовірність того, що значення xi (tj) в j-й момент часу будуть нижчими деяких значень X:
Для заданих стаціонарних ергодичність сигналів F x характеризується відносним часом перебування реалізації нижче рівня Х (τ i -, i-й інтервал перебування, n - кількість інтервалів, рисунок 2)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
- Одномірна щільність ймовірності, звана диференціальним законом розподілу:
де
- Кореляційна функція. Вона характеризує стохастичну (випадкову) зв'язок між двома миттєвими значеннями випадкового сигналу, розділеного заданим інтервалом часу τ
- Взаємна кореляційна функція. Вона характеризує стохастичну зв'язок миттєвими значеннями випадкових сигналів x (t) і y (t), розділеними інтервалом часу τ
З виразів (1) - (8) видно, що всі імовірнісні характеристики являють собою невипадкові числа чи функції і визначається по одній реалізації нескінченної тривалості. Практично ж тривалість Т, звана тривалістю аналізу, завжди обмежена, тому на практиці ми можемо визначити не самі характеристики, а тільки їх оцінки. Ці оцінки, отримані експериментальним шляхом, називаються статичними характеристиками. А якраз оцінка, значить наближення, яке характеризується похибками, званими статистичними похибками.
Вимірювання середнього значення середньої потужності та дисперсії
Відповідно до формули (1) вимір m x зводиться до інтегрування випадкового сигналу під час Т. Інтегрування можна виконати за допомогою анало-
гових або цифрових інтегруючих пристроїв, застосовуваних у вольтметрах.
При практичному виборі часу інтегрування Т треба мінімізувати статистичні похибки. Це умова дотримується при Т
Вимірювання P x характерне тим, що згідно з формулою (2) усереднюється квадрат сигналу, тому вимірювач P x містить у своєму складі пристрій з квадратичною характеристикою. Завдання вимірювання P x вирішується за допомогою вольтметра середньоквадратичного значення, що має відкритий вхід. Показання такого вольтметра одно
Для вимірювання D x теж може бути використаний вольтметр середньоквадратичного значення, тільки відповідно до формули (3) він повинен мати закритий вхід. Показання такого вольтметра згідно (4) будуть відповідати значенням σ х.
Аналіз розподілу ймовірностей
Метод вимірювання за відносним часу перебування
При вимірі цим методом зручніше вимірювати не значення τ i, яке фігурує у формулі (7), а значення τ i ', характеризує час перебування функції х (t) вище за рівень х, тому при експериментальному аналізі визначається функція
Для визначення
Δt ¢ i = Δt 1i + Δt 2i = τ ¢ i - τ ² i. (10)
Аналізатори, що реалізують даний метод, можуть бути як аналоговими, так і цифровими. Структурна схема аналогового аналізатора надана на малюнку 3.
За допомогою ВУ забезпечується рівень сигналу, необхідний для нормальної роботи інших функціональних вузлів вимірника. Компаратори К1 і К2 виконують функції амплітудних селекторів і мають рівні спрацьовування х і х + Δх відповідно. Ці рівні задаються регулятором рівня (РУ) і можуть змінюватись при одночасному забезпеченні сталості ширини диференціального коридору Δх. Таким чином сигнали на виході К1 і К2 мають вигляд імпульсів U1 і U2 (малюнок 3), тривалості яких відповідно рівні τ i 'і τ i''. Формують пристрої ФУ1 і ФУ2 стандартизують ці імпульси за формою і амплітудою. Напруження U1 і U2 дозволяють виміряти
При вимірі
Вимірювання кореляційних функцій
Метод дискретних вибірок
Для вимірювання кореляційних функцій найбільш часто використовується метод множення. Алгоритм роботи аналогового коррелометра, що реалізує метод дискретних вибірок, випливає з формул (8) і (9). Цей метод передбачає виконання наступних операцій:
- Затримку досліджуваного сигналу або одного із сигналів на час τ;
- Перемножування затриманого і незатриманих сигналів;
- Усереднення результатів перемножування.
Якщо коррелометр цифровий, то перерахованим вище операцій повинна передувати дискретизація за часом і квантування по рівню. Тому алгоритм роботи цифрового коррелометра буде визначатися таким співвідношеннями
де
N - кількість вибірок.
Коррелометри бувають двох модифікацій: послідовного та паралельного дії.
У цифрових коррелометрах послідовної дії спочатку за формулою (1.16) обчислюється значення кореляційної функції при р = 0, тобто значення реалізації множиться саме на себе, потім вводиться затримка τ 0, (р = 1) і визначається значення функції
Цифровий коррелометр паралельного дії дозволяє одночасно обчислити всі р-значень кореляційної функції, але стає при цьому багатоканальним приладом. Тому на практиці частіше за все реалізуються коррелометри послідовної дії (малюнок 5).
Робота всіх вузлів коррелометра синхронізується пристроєм управління (УУ). Схема затримки складається з р регістрів зсуву, керованих тактовими імпульсами УУ. Замість перемножителя і усреднітель може бути використаний мікропроцесор. Накопичення результатів перемноження здійснюється протягом усього циклу вимірювання, і в кінці циклу ми маємо повну інформацію про кореляційної функції. Ця інформація відтворюється на ІУ у вигляді коррелограмми. Ця схема працює в діапазоні до сотень кілогерц.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Аналіз розподілу вірогідності методом дискретних вибірок
Якщо за допомогою рівнів квантування сформувати диференціальний коридор, а тактові імпульси УУ використовувати як імпульсів опитування, то прилад, структурна схема якого наведена на рисунку 5, буде працювати як вимірювач розподілу ймовірностей, що реалізує метод дискретних вибірок.
Суть цього методу та ж, що і розглянутого вище методу вимірювання за відносним часом перебування. Однак тепер це порівняння відбувається в дискретних точках, які задаються стробирующий імпульсами опитування з періодом проходження Т 0. Ці імпульси задаються УУ. Значення Т 0 визначає крок дискретизації при перетворенні аналогової величини х (t) в дискретну.
Якщо порахувати кількість вибірок n за час перебування реалізації x (t) вище за рівень х (при вимірюванні
Кількість імпульсів, відповідне числу вибірок n, накопичується в усреднітель під час Т. Позначивши
Після обробки значення
Основна похибка роботи приладу у всіх режимах не перевищує значення ± 5%.
ЛІТЕРАТУРА
1Метрологія і Електровимірювання в телекомунікаційних системах: Підручник для вузів / А.С. Сігов, Ю.Д. Бєлік. та ін / За ред. В.І. Нефедова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 2005.
2Бакланов І.Г. Технології вимірювань у сучасних телекомунікації. - М.: ЕКО-Трендз, 2007.
3Метрологія, стандартизація і вимірювання в техніці зв'язку: Учеб. посібник для вузів / Під ред. Б.П. Кульгавого. - М.: Радіо і зв'язок, 2006.
ІНФОРМАТИКИ ІРАДІОЕЛЕКТРОНІКІ
Кафедра метрології та стандартизації
РЕФЕРАТ
На тему:
«Вимірювання характеристик випадкових сигналів»
МІНСЬК, 2008
Статистичні виміру - це методи і засоби вимірювання параметрів і характеристик випадкових сигналів. Вони базуються на загальних принципах вимірювань параметрів сигналів, але мають свою специфіку та особливості, що випливають з теорії випадкових процесів.
Імовірнісні характеристики випадкових сигналів
Випадковим називається сигнал, миттєві значення якого змінюються в часі випадковим чином. Він описується випадковою функцією часу Х (t). Цю функцію можна розглядати як нескінченну сукупність функцій x i (t), кожна з яких представляє собою одну з можливих реалізацій X (t). Графічно це можна представити таким чином (малюнок 1):
х |
t |
t j |
x i (t j) овиливолвол))) 0)) |
Малюнок 1 |
Повний опис випадкових сигналів може бути зроблено за допомогою системи імовірнісних характеристик. Будь-яка з цих характеристик може бути визначена або розподілених на сукупності реалізації x i (t), або розподілених на часі однієї нескінченно довгою реалізації.
Залежність чи незалежність результатів таких усереднень визначає наступні фундаментальні властивості випадкових сигналів - стаціонарність та ергодичність.
Стаціонарним називається сигнал, імовірнісні характеристики якої не залежать від часу.
Ергодіческіе називається сигнал, імовірнісні характеристики якої не залежать від номера реалізації.
Для стаціонарних ергодичної сигналів усереднення будь ймовірнісної характеристики по безлічі реалізацій еквівалентно усереднення за часом одній теоретично нескінченно довгою реалізації.
Для практичних цілей найбільш важливими є наступні імовірнісні характеристики стаціонарних ергодичної сигналів, що мають тривалість реалізації Т:
- Середнє значення (математичне очікування). Воно характеризує постійну складову сигналу
- Середня потужність. Вона характеризує середній рівень сигналу
- Дисперсія, що характеризує середню потужність змінної складової сигналу:
- Середньоквадратичне відхилення (СКО)
- Функція розподілу, яка визначається як інтегральна ймовірність того, що значення xi (tj) в j-й момент часу будуть нижчими деяких значень X:
Для заданих стаціонарних ергодичність сигналів F x характеризується відносним часом перебування реалізації нижче рівня Х (τ i -, i-й інтервал перебування, n - кількість інтервалів, рисунок 2)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
t |
x |
τ i |
Δt i |
Малюнок 2 |
x |
х + D х |
Dх |
- Одномірна щільність ймовірності, звана диференціальним законом розподілу:
де
- Кореляційна функція. Вона характеризує стохастичну (випадкову) зв'язок між двома миттєвими значеннями випадкового сигналу, розділеного заданим інтервалом часу τ
- Взаємна кореляційна функція. Вона характеризує стохастичну зв'язок миттєвими значеннями випадкових сигналів x (t) і y (t), розділеними інтервалом часу τ
З виразів (1) - (8) видно, що всі імовірнісні характеристики являють собою невипадкові числа чи функції і визначається по одній реалізації нескінченної тривалості. Практично ж тривалість Т, звана тривалістю аналізу, завжди обмежена, тому на практиці ми можемо визначити не самі характеристики, а тільки їх оцінки. Ці оцінки, отримані експериментальним шляхом, називаються статичними характеристиками. А якраз оцінка, значить наближення, яке характеризується похибками, званими статистичними похибками.
Вимірювання середнього значення середньої потужності та дисперсії
Відповідно до формули (1) вимір m x зводиться до інтегрування випадкового сигналу під час Т. Інтегрування можна виконати за допомогою анало-
гових або цифрових інтегруючих пристроїв, застосовуваних у вольтметрах.
При практичному виборі часу інтегрування Т треба мінімізувати статистичні похибки. Це умова дотримується при Т
Вимірювання P x характерне тим, що згідно з формулою (2) усереднюється квадрат сигналу, тому вимірювач P x містить у своєму складі пристрій з квадратичною характеристикою. Завдання вимірювання P x вирішується за допомогою вольтметра середньоквадратичного значення, що має відкритий вхід. Показання такого вольтметра одно
Для вимірювання D x теж може бути використаний вольтметр середньоквадратичного значення, тільки відповідно до формули (3) він повинен мати закритий вхід. Показання такого вольтметра згідно (4) будуть відповідати значенням σ х.
Аналіз розподілу ймовірностей
Метод вимірювання за відносним часу перебування
При вимірі цим методом зручніше вимірювати не значення τ i, яке фігурує у формулі (7), а значення τ i ', характеризує час перебування функції х (t) вище за рівень х, тому при експериментальному аналізі визначається функція
Для визначення
Δt ¢ i = Δt 1i + Δt 2i = τ ¢ i - τ ² i. (10)
Аналізатори, що реалізують даний метод, можуть бути як аналоговими, так і цифровими. Структурна схема аналогового аналізатора надана на малюнку 3.
За допомогою ВУ забезпечується рівень сигналу, необхідний для нормальної роботи інших функціональних вузлів вимірника. Компаратори К1 і К2 виконують функції амплітудних селекторів і мають рівні спрацьовування х і х + Δх відповідно. Ці рівні задаються регулятором рівня (РУ) і можуть змінюватись при одночасному забезпеченні сталості ширини диференціального коридору Δх. Таким чином сигнали на виході К1 і К2 мають вигляд імпульсів U1 і U2 (малюнок 3), тривалості яких відповідно рівні τ i 'і τ i''. Формують пристрої ФУ1 і ФУ2 стандартизують ці імпульси за формою і амплітудою. Напруження U1 і U2 дозволяють виміряти
При вимірі
Δt 1i |
Δt 2i |
t |
t |
t |
t |
U 3 |
U 2 |
U 1 |
x + Δx |
x |
x |
ВУ |
РУ |
До 1 |
До 2 |
ФУ 2 |
ФУ 2 |
Схема віднімати |
ІУ |
х |
х + Δх |
U 2 |
U 1 |
U 3 |
1 П 2 |
Малюнок 4 |
| |||||
Вимірювання кореляційних функцій
Метод дискретних вибірок
Для вимірювання кореляційних функцій найбільш часто використовується метод множення. Алгоритм роботи аналогового коррелометра, що реалізує метод дискретних вибірок, випливає з формул (8) і (9). Цей метод передбачає виконання наступних операцій:
- Затримку досліджуваного сигналу або одного із сигналів на час τ;
- Перемножування затриманого і незатриманих сигналів;
- Усереднення результатів перемножування.
Якщо коррелометр цифровий, то перерахованим вище операцій повинна передувати дискретизація за часом і квантування по рівню. Тому алгоритм роботи цифрового коррелометра буде визначатися таким співвідношеннями
де
N - кількість вибірок.
Коррелометри бувають двох модифікацій: послідовного та паралельного дії.
У цифрових коррелометрах послідовної дії спочатку за формулою (1.16) обчислюється значення кореляційної функції при р = 0, тобто значення реалізації множиться саме на себе, потім вводиться затримка τ 0, (р = 1) і визначається значення функції
Цифровий коррелометр паралельного дії дозволяє одночасно обчислити всі р-значень кореляційної функції, але стає при цьому багатоканальним приладом. Тому на практиці частіше за все реалізуються коррелометри послідовної дії (малюнок 5).
Робота всіх вузлів коррелометра синхронізується пристроєм управління (УУ). Схема затримки складається з р регістрів зсуву, керованих тактовими імпульсами УУ. Замість перемножителя і усреднітель може бути використаний мікропроцесор. Накопичення результатів перемноження здійснюється протягом усього циклу вимірювання, і в кінці циклу ми маємо повну інформацію про кореляційної функції. Ця інформація відтворюється на ІУ у вигляді коррелограмми. Ця схема працює в діапазоні до сотень кілогерц.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Малюнок 5 |
ВУ 1 |
АЦП 1 |
Перемножителя |
ІУ |
ВУ 2 |
АЦП 2 |
УУ |
x (t) |
x (t) |
y (t) |
Схема затримки |
Усреднітель |
Аналіз розподілу вірогідності методом дискретних вибірок
Якщо за допомогою рівнів квантування сформувати диференціальний коридор, а тактові імпульси УУ використовувати як імпульсів опитування, то прилад, структурна схема якого наведена на рисунку 5, буде працювати як вимірювач розподілу ймовірностей, що реалізує метод дискретних вибірок.
Суть цього методу та ж, що і розглянутого вище методу вимірювання за відносним часом перебування. Однак тепер це порівняння відбувається в дискретних точках, які задаються стробирующий імпульсами опитування з періодом проходження Т 0. Ці імпульси задаються УУ. Значення Т 0 визначає крок дискретизації при перетворенні аналогової величини х (t) в дискретну.
Якщо порахувати кількість вибірок n за час перебування реалізації x (t) вище за рівень х (при вимірюванні
Кількість імпульсів, відповідне числу вибірок n, накопичується в усреднітель під час Т. Позначивши
Після обробки значення
Основна похибка роботи приладу у всіх режимах не перевищує значення ± 5%.
ЛІТЕРАТУРА
1Метрологія і Електровимірювання в телекомунікаційних системах: Підручник для вузів / А.С. Сігов, Ю.Д. Бєлік. та ін / За ред. В.І. Нефедова. - 2-е вид., Перераб. і доп. - М.: Вищ. шк., 2005.
2Бакланов І.Г. Технології вимірювань у сучасних телекомунікації. - М.: ЕКО-Трендз, 2007.
3Метрологія, стандартизація і вимірювання в техніці зв'язку: Учеб. посібник для вузів / Під ред. Б.П. Кульгавого. - М.: Радіо і зв'язок, 2006.