Використання розрахункових формул в задачах

Завдання 1.

Визначити центр ваги перерізу.

Рішення

Зазначимо осі координат X і Y з початком у нижньому лівому кутку перетину.

Перетин розіб'ємо на два простих перетину - прямокутник 1 з центром тяжіння З ₁ і квадрат 2 з центром ваги С _2.

Координати центра ваги З перерізу знаходимо за формулами:

і , Де

x ₁ = 15 мм - координата центра ваги З ₁ прямокутника по осі Х;

y ₁ = 30 мм - координата центра ваги З ₁ прямокутника по осі Y;

x ₂ = 45 мм - координата центра ваги З ₂ квадрата по осі Х;

y ₂ = 15 мм - координата центра ваги З ₂ квадрата по осі Y;

F ₁ = = 1800 мм2 - площа прямокутника;

F ₂ = = 900 мм2 - площа квадрата.

Тоді

мм, мм.

Завдання 2.

До сталевому валу включені три відомих моменту М _1, М _2, М _3. Потрібно: 1) встановити, при якому значенні моменту Х кут повороту правого кінцевого перерізу вала дорівнює нулю, 2) для знайденого значення Х побудувати епюру крутних моментів; 3) при заданому значенні [τ] визначити діаметр валу з розрахунку на міцність і округлити його значення до найближчого, рівного 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм, 4) побудувати епюру кутів закручування; 5) знайти найбільший відносний кут закручування (на 1 м).

Для стали прийняти G = МПа. Полярний момент інерції м ⁴

a = 1,9 м, b = 1,2 м, c = 1,4 м,

М ₁ = 1900 Нм, М ₂ = 1200 Нм,

М ₃ = 1700 Нм, [τ] = 75 МПа.

Рішення.

1) Кут повороту правого кінцевого перерізу визначається як алгебраїчна сума взаємних кутів повороту перерізів на ділянках АВ, BC, CD, DE

Звідси визначимо момент X

Х = 1178,125 Нм

2) Будуємо епюру крутних моментів M _К (див. рис а)

Визначаємо опорні реакції. Відкинувши опору (в даному випадку защемлення), замінимо її можливими реакціями. Т. к. всі активні сили представляють собою крутний момент, то в опорі виникає тільки одне вплив крутний момент М _Е, який визначимо з рівняння рівноваги:

; М _Е - 1900 + 1200 - 1700 + 1178,125 = 0

М _Е = 1900 - 1200 + 1700 - 1178,125 = 1221,875 Нм

При побудові епюри крутних моментів М _К застосовуємо метод перерізів дл кожного з чотирьох ділянок.

Для ділянки DE:

; Нм

Для ділянки CD:

; Нм

Для ділянки ВС:

; Нм

Для ділянки АВ:

; Нм

3) Визначаємо діаметр вала

З епюри максимальний М _К = 1221,875 Нм на ділянці DE. На цій ділянці виникає максимальне дотичне напруження , Де W _P - момент опору перерізу

Прирівнюючи τ [τ], визначимо діаметр вала

0,043 м або 43 мм,

Згідно з умовами завдання приймаємо d = 45 мм.

4) Будуємо епюру кутів закручування (див. рис. В) для всіх ділянок за формулою

Вибираємо початок координат в точці Е.

Ділянка DE:

Кут повороту перерізу, взятого на відстані z від нерухомого перетину Е, буде

, Де ;

при z = 0 φ = 0;

при z = a = 1,9 м

= - 0,071 рад.

Ділянка CD:

, Де

при z = а = 1,9 м φ = - 0,071 рад;

при z = (a + b) = 3,1 м = - 0,046 рад.

Ділянка BC:

, Де

при z = (а + b) = 3,1 м φ = - 0,046 рад;

при z = (a + b + c) = 4,5 м = - 0,068 рад.

Ділянка AB:

, Де

при z = (а + b + c) = 4,5 м φ = - 0,068 рад;

при z = (2 a + b + c) = 6,4 м = 0 радий.

5) Найбільший відносний кут закручування буде на ділянці DE

= = 0,037 рад / м

Завдання 3.

Для поперечного перерізу, складеного зі стандартних прокатних профілів, потрібно:

визначити положення центру тяжіння;
знайти значення осьових і відцентрових моментів інерції відносно горизонтальної і вертикальної осей, що проходять через центр ваги перерізу;
визначити напрямки головних центральних осей інерції;
знайти значення моментів інерції відносно головних центральних осей;
викреслити переріз у масштабі 1:2 і вказати на ньому всі осі і розміри.

Схема перетину складається з двох прокатних профілів:

профілю I - швелера № 30,

профілю II - двутавра № 33.

Рішення.

Геометричні характеристики швелера беремо по ГОСТ 8240-72:

h ^I = 300 мм, b ^I = 100 мм, d ^I = 6,5 мм, t ^I = 11 мм,

см ^4, см ^4, А ₁ = 40,5 см ^2, z ₀ = 2,52 см.

Геометричні характеристики двутавра беремо по ГОСТ 8239-72:

h ^II = 330 мм, b ^II = 140 мм, d ^II = 7 мм, t ^II = 11,2 мм,

см ^4, см ^4, А ₂ = 53,8 см ^2.

Вибираємо допоміжні осі V, Z і визначаємо щодо їх координати центру ваги складеного перерізу

19,7 см;

13,4 см.

Допоміжні центральні осі X _C і Y _C паралельні осям V і Z.

Обчислюємо осьові і відцентрові моменти інерції щодо цих осей. Центральні допоміжні осі X _C і Y _C паралельні осям центральним осях швелера і двутавра, щодо яких моменти інерції відомі.

Тоді

Осьові моменти інерції

см ⁴ = м ⁴

Відцентровий момент інерції

Для швелера осі X _1, Y ₁ є головними, тому . Для двутавра осі X _2, Y ₂ є головними, тому .

Тоді

см ⁴ = м ⁴

Визначаємо положення головних осей інерції складеного перетину (кут нахилу) до вихідної осі X _C

- 1,165 .

Визначаємо головні моменти інерції складеного перетину за формулами

м ^4;

м ^4.

Перевіримо правильність розрахунків з виконання співвідношень

м ⁴

, Тобто розрахунок зроблений точно.

Задача 4.

Визначити діаметр сталевого вала постійного перерізу з умови міцності, прийнявши [τ] = 30 Н / мм ^2. Потужності P ₁ = 52 кВт, Р ₂ = 100 кВт, Р ₃ = 60 кВт. Кутова швидкість ω = 32 рад / с.

Рішення

Розбиваємо вал на три ділянки - по перетинах, в яких додані обертаючі моменти. Знаходимо обертаючі моменти

= 1625 нм, = 3125 Нм, = 1875 Нм.