3. Пояснення нового матеріалу - 20 хвилин.
4. Обговорення з учнями минулого уроку - 5 хвилин.
5. Видача домашнього завдання - 5 хвилин.
Хід уроку:
1. Організаційний момент. Домогтися уваги учнів, перевірити готовність до уроку.
2. Актуалізація знань.
а) властивості рівнобедреного трикутника;
б) подобу трикутників.
3. Пояснення нового матеріалу.
Існують різні способи вимірювання висоти дерев [6]. Розглянемо деякі з них.
1.Самий простий спосіб полягає в тому, що в сонячний день можна користуватися будь тінню, якої б довжини вона не була. Вимірявши свою тінь або тінь якогось жердини, обчислюють шукану висоту з пропорції (рис. 15)
AB: ab = BC: bc
тобто висота дерева у стільки разів більше вашої власної висоти (або висоти жердини), у скільки разів тінь дерева довше тіні людини (або тіні жердини). Це випливає з геометричної подоби трикутників ABC і abc (за двома кутах).


Рис. 15
Цілком можливо обійтися при вимірюванні висоти і без допомоги тіней. Таких способів багато.
2. Можна скористатися властивостями рівнобедреного прямокутного трикутника, звернувшись до вельми простому приладу, який легко виготовити з дощечки і трьох шпильок. На дощечці будь-якої форми, навіть на шматку кори, якщо у нього є плоска сторона, намічають три точки - вершини рівнобедреного прямокутного трикутника - і в них встромляють сторчма по шпильці (рис. 16).
Рис. 16
Якщо немає під рукою креслярського трикутника для побудови прямого кута, немає і циркуля для відкладення рівних сторін, то можна перегнути будь клапоть паперу один раз, а потім поперек першого згину ще раз так, щоб обидві частини першого згину збіглися, - і отримаємо прямий кут. Та ж папір стати в нагоді і замість циркуля, щоб відміряти рівні відстані.
Відійшовши від вимірюваного дерева, потрібно тримати прилад так, щоб один з катетів трикутника був спрямований прямовисно, для чого можна користуватися ниточкою з грузиком, прив'язаним до верхньої шпильці. Наближаючись до дерева або віддаляючись від нього, завжди можна знайти таке місце А (рис.17), з якого, дивлячись на шпильки а і с, можна побачити, що вони покривають верхівку З дерева: це означає, що продовження гіпотенузи ас проходить через точку З. Тоді, очевидно, відстань аВ одно СВ, так як кут а = .
Рис. 17
Отже, вимірявши відстань аВ (або на рівному місці, однакову з ним відстань А D) і додавши BD, тобто піднесення АА очі над землею, отримаєте шукану висоту дерева.
3. Можна обійтися навіть і без булавочного приладу. Тут потрібен жердину, який доведеться увіткнути вертикально в землю так, щоб виступає частина якраз дорівнювала зростанню людини. Місце для жердини треба вибирати так, щоб, лежачи, як показано на рис. 18, було видно верхівку дерева на одній прямій лінії з верхньою точкою жердини. Так як трикутник Abc - рівнобедрений і прямокутний, то кут А = і, отже, АС дорівнює ЗС, тобто шуканої висоті дерева.

Рис. 18
4. В якості приладу для приблизної оцінки недоступною висоти можна використовувати кишенькову записну книжку і олівець. Вона допоможе побудувати в просторі ті два подібних трикутника, з яких виходить шукана висота.

Рис. 19
Книжку треба тримати біля очей так, як показано на спрощений рис. 19. Вона повинна перебувати в прямовисній площині, а олівець висуватися над верхньому обрізом книжки настільки, щоб, дивлячись з точки а бачити вершину У дерева покритої кінчиком b олівця. Тоді внаслідок подібності трикутників abc і АВС висота ПС визначається з пропорції
BC: bc = aC: ac
Відстань bc, ac і АС вимірюються безпосередньо. До отриманої величині НД треба додати ще довжину CD, тобто - На рівному місці - висоту очі над грунтом. Так як ширина ас книжки незмінна, то якщо завжди ставати на одному і тому ж відстані від вимірюваного дерева, висота дерева буде залежати тільки від висунутої частини bc олівця.. Тому можна заздалегідь обчислити, яка висота відповідає тому чи іншому висунення, і нанести ці числа не олівець. Записна книжка перетворитися тоді у спрощений висотомір.
5.Своеобразний спосіб визначення висоти дерева за допомогою дзеркала. На деякій відстані (рис. 20) від вимірюваного дерева, на рівній землі в точці С кладуть горизонтально дзеркальце і відходять від нього назад в таку точку D, стоячи в якій спостерігач бачить у дзеркальце верхівку А дерева. Тоді дерево (АВ) у стільки разів вище зростання спостерігача (Е D), у скільки разів відстань ВС від дзеркала до дерева більше відстані З D від дзеркала до спостерігача. Чому?

Рис. 20
Рішення:
Спосіб заснований на законі відображення світла. Вершина А (рис. 21) відображається в точці А 'так що АВ = А'В. З подоби ж трикутників ВСА' і CED випливає, що
A 'B: ED = BC: CD.
У цій пропорції залишається лише замінити А'В рівним йому АВ, щоб обгрунтувати зазначене співвідношення.

Рис. 21
Цей зручний і нехлопотлівий спосіб можна застосовувати у будь-яку погоду, але не в густому насадженні, а до самотньо стоїть дереву.
4. Підсумки уроку.
На уроці були розглянуті різні способи вимірювання висоти дерев. Вивчені різні прилади для вимірювання висоти дерев. Отримані знання досить легко застосовуються на практиці.
5. Домашнє завдання.
№ 1. Як за допомогою дзеркала можна виміряти висоту дерева, якщо до нього неможливо підійти впритул?
№ 2. У 40 метрах одна від одної ростуть дві сосни. Висота однієї 31 м, інший - 6 м. Як обчислити відстань між їх верхівками?
§ 6. Педагогічний експеримент
З проблеми дослідження було проведено природно - педагогічний експеримент.
Експеримент проходив у три етапи:
1 етап - констатуючий експеримент. При його проведенні були виявлені знання учнів з теми «Використання та вимірювань і рішення задач на місцевості при вивченні деяких тем шкільного курсу геометрії», при цьому використовувалися різні форми і методи виявлення знань, такі як: анкетування, бесіди з учнями і вчителями, спостереження за учнями.
2 етап - пошуковий. На цьому етапі проводився відбір завдань для проведення факультативу. У результаті був підібраний комплекс завдань, при роботі з яким учні знайомляться з завданнями, які розв'язуються на місцевості, здійснюється повторення та систематизація знань шкільного курсу геометрії, пропедевтика ряду геометричних понять, підвищується інтерес школярів до математики, виробляється усвідомлений підхід до застосування знань на практиці.
3 етап - навчальний (формуючий), коли була проведена експериментальна перевірка знань, отриманих в ході проведення факультативних занять, у вигляді опитування.
На третьому етапі експерименту проводилась перевірка гіпотези.
Висновки: факультативні заняття сприяють поглибленню і розширенню знань, розвитку інтересу учнів до предмета, розвитку математичних здібностей, прищеплення школярам інтересу й смаку до самостійних занять, виховання і розвитку ініціативи і творчості, розвитку певних сторін мислення і рис характеру учнів. Також заняття сприяють професійної орієнтації учнів. На факультативах здійснюється підготовка до випускних іспитів за рахунок повторення теорії та вирішення різних завдань. У які у процесі вивчення теми підвищився інтерес до геометрії, чого не спостерігається в класах, де факультативні заняття не проводилися.
Таким чином, експеримент підтвердив висунуту гіпотезу: якщо систематично і цілеспрямовано включати в шкільний курс геометрії різноманітний матеріал, то це підвищить інтерес учнів до геометрії і розвине їх творчі здібності.

РОЗДІЛ 2
Існує безліч різних способів проводити вимірювання за допомогою нехитрих приладів і навіть без будь-яких пристроїв.
Найлегший і самий древній спосіб - без сумніву, той, який грецький мудрець Фалес за шість століть до нашої ери визначив у Єгипті висоту піраміди [10]. Він скористався її тінню. Фалес, - говорить переказ, - обрав день і годину, коли довжина власної його тіні дорівнювала його зростання; в цей момент висота піраміди повинна також дорівнювати довжині відкидаємо нею тіні. Звичайно, довжину тіні треба було рахувати від середньої точки квадратного підніжжя піраміди; ширину цього підстави Фалес міг виміряти безпосередньо.
Фалес жив задовго до Евкліда, автора чудової книги, за якою навчалися геометрії протягом двох тисячоліть після його смерті. Ув'язнені в ній істини не були відкриті в епоху Фалеса. А щоб скористатися тінню для вирішення задачі про висоту піраміди, треба було знати вже деякі геометричні властивості трикутника, - саме такі два:
1) що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, і назад - що сторони, що лежать проти рівних кутів трикутника, рівні між собою;
2) що сума кутів будь-якого трикутника (або принаймні прямокутного) дорівнює двом прямим кутам.
Тільки озброєний цим знанням Фалес вправі був дійти висновку, що, коли його власна тінь дорівнює його росту, сонячні промені зустрічають рівну грунт під кутом в половину прямого, і, отже, вершина піраміди, середина її заснування і кінець її тіні повинні позначати рівнобедрений трикутник. Однак спосіб Фалеса в зазначеному вигляді можна застосувати не завжди.
§ 1. Завдання з вимірами при різних обмеженнях
При вирішенні завдань, пов'язаних з вимірюваннями на місцевості не завжди застосовні безпосередні геометричні вимірювання. Існують труднощі, пов'язані з такими вимірами. При вирішенні завдань необхідно, аби способи були здійсненні на практиці і застосовувався мінімум необхідних коштів для побудов, вимірювань і обчислень.
1.1. З'ясуємо як по довжині тіні, що падає від дерева в сонячний день, визначити висоту цього дерева?
Так як промені сонця можна вважати практично паралельними, то тінь від дерева у стільки ж разів довше тіні від будь-якого жердини, у скільки разів дерево вище жердини. Тому, встановивши вертикально жердину відомої висоти а й вимірявши ставлення k довжини тіні від дерева до довжини тіні від жердини, можна обчислити шукану висоту дерева ka.
Зауважимо, що зазначений спосіб не дуже надійний, тому що відкидається при світлі сонця тінь не має виразної кордону через властивою їй неясно окресленої облямівки півтіні.
1.2. У місті встановлено великий пам'ятник. Є поштова картка з фотографією цього пам'ятника, зробленої з шанобливого відстані від нього можна скористатися цим знімком для визначення висоти пам'ятника?
Для приблизного знаходження висоти пам'ятника по знімку можна вибрати дві точки, розташовані біля фундаменту цього пам'ятника, і виміряти відстань між ними на фотографії і на місцевості (друге відстань нас цікавить швидше не в чистому вигляді, а як проекція на пряму, перпендикулярну напрямку, в якому був сфотографований пам'ятник). Знайшовши ставлення k першого з відстаней до другого, ми дізнаємося масштаб знімка, після чого залишиться заміряти на ньому висоту пам'ятника і поділити її на k ..
1.3. Необхідно виміряти на місцевості відстань між двома об'єктами, розділеними будівлею або іншим перешкодою, що не дозволяє безпосередньо прокласти пряму між цими об'єктами. Як усе-таки можна зробити зазначений вимір?

Рис. 22.
Нехай А і В - дані точки на місцевості, між якими визначається відстань. Виберемо точку С, з якої видно обидві точки А і В (рис. 22). На продовженні відрізка АС за точку З відзначимо точку D на відстані АС від точки С. Аналогічно на продовженні відрізка ЗС за точку З відзначимо точку Е, для якої РЄ = ВС. Тоді відрізки ED і АВ рівні, оскільки вони симетричні відносно точки С.
Якщо ж через брак місця точки Е і D вийдуть за межі досяжності, то їх можна в певне число разів наблизити до точки С. Тоді відрізок ED буде в те ж число разів коротше відрізка АВ, так як трикутники ABC і DEC будуть подібні.
1.4. Чи можна скористатися для вимірювання глибини озера стирчить з води очеретом, не вириваючи його?
Злегка відхиливши очерет і тримаючи його в натягнутому стані, заміряти відстань а між точками А і В, у яких очерет перетинає поверхню води відповідно у вертикальному і нахиленому положенні (рис. 23). Повернемо очерет в початковий стан і визначимо висоту b над водою, на яку підніметься при цьому точка В нахиленого очерету, зайнявши вихідне положення С. Тоді, позначивши через D підставу очерету, а через х - шукану глибину AD, з прямокутного трикутника ABD знаходимо

звідки і .

Рис. 23 Рис. 24
1.5. Яким способом можна виміряти висоту дерева, не піднімаючись на нього і не вдаючись до допомоги тіней?
Встановивши вертикальний шест на деякій відстані від дерева, потрібно стати в таку точку, з якої верхній кінець жердини загороджує в точності верхівку дерева (рис. 24). Тоді, якщо висота частини жердини над рівнем очей дорівнює а, а відстані від очей по горизонталі до жердини і до дерева рівні b і у відповідно, то з подібності трикутників можна знайти висоту х дерева над рівнем очей. Нарешті, знаючи своє зростання h до рівня очей, отримуємо повну висоту дерева
.
Зауважимо, що обчислення і вимірювання можна спростити, якщо домогтися рівності b = a, яке досягається вибором місця встановлення жердини. Крім того, можна лягти на землю, що дозволить вважати h = 0, а в результаті висота дерева виявиться рівною x = y.
1.6. Існує величезний став круглої форми, обійти який по колу не можна через наявних на його березі різних перешкод в декількох місцях. Крім того, представляється скрутним вимірювати відстань між будь-якими точками, якщо тільки з'єднує їх відрізок проходить над водою. Чи можна за таких обмежень вимірювати діаметр ставка?
Рис. 25
Ставши в точку А на деякій відстані від ставка (рис. 25), можна розташувати перед собою горизонтальну палицю довжини а так, щоб відстані від обох її кінців до одного ока (друге око при цьому краще закрити) були дорівнюють одному і тому ж значенню b , а самі кінці палиці зорово поєдналися з крайніми точками ставка, видимими з точки А. Тоді, вимірявши відстань у від А до найближчої точки ставка по прямій, що проходить через середину палиці, можна обчислити радіус х ставка, а значить, і його діаметр 2х. Дійсно, з подібності відповідних прямокутних трикутників знаходимо
,
звідки 2 bx = ax + ay, тобто x = y .
Зауважимо, що якщо домогтися рівності b = а (що досягається вибором точки А), то коефіцієнт при у в останній формулі буде дорівнює 1, а шуканий діаметр ставка виявиться рівним 2х = 2у.
1.7. Як дізнатися, на якій висоті знаходиться шпиль, розташований на будівлі, всередині і поблизу якого вимірювання скрутні?
Необхідно встановити вертикальний шест на деякій відстані від будівлі і станемо в таку точку, з якої

Рис. 26
верхівка шпиля зорово поєднується з верхнім кінцем жердини (рис. 26). Потім, пройшовши деяку відстань у напрямку від будинку на прямій, на якій лежить перша точка і проекція А шпиля на горизонтальну площину, ще раз виконайте таку ж операцію. Нехай висота жердини над рівнем очей дорівнює а, відстань від очей до жердини в першому положенні виявилося рівним b, а в другому с. Тоді, вимірявши відстань у між точками В і С, в яких ми стояли в першому і в другому випадках, можна порахувати висоту х шпиля над рівнем очей. У самому справі, позначимо через z відстань між точками А і В. З подоби відповідних трикутників маємо
,
звідки і , Тобто

Коефіцієнт при у в останньому рівність можна зробити рівним 1, якщо в першому положенні жердини домогтися рівності b-а, а в другому - рівності з = 2а.
1.8. Як перебуваючи на березі річки виміряти її ширину, не маючи можливості перебратися на інший берег. Для цього необхідно відшукати очима на протилежному березі річки близько до води будь-якої помітний орієнтир А - камінь, деревце і т. п. - і відзначити на своєму березі точку В, відстань від якої до точки А являє собою, по-вашому, ширину річки. Як виміряти довжину відрізка АВ?
Виберемо точку С на продовженні прямої АВ за точку В, а також точку D, що не лежить на прямій АВ (рис. 27). Потім виберемо точки Е і F на продовженнях прямих BD та CD відповідно за точку D так, щоб виконувалися рівності BD = DE, CD = DF. Нарешті, знайдемо точку G перетину прямих EF і AD. Тоді шукане відстань між точками А і В дорівнюватиме довжині відрізка EG. Дійсно, з рівності трикутників BDC та EDF (По двох сторонах і куту між ними) маємо рівність кутів CBD і FED. Тому трикутники BAD і EGD рівні (по стороні і двом прилеглих до неї кутах), а значить, рівні і їх відповідні сторони АВ і GE.

Рис. 27 Рис. 28
1.9. Необхідно дізнатися відстань до найвищої будівлі, яке можна побачити прямо з двору будинку Природно, у міських умовах безпосередньо пройти до будівлі по прямій лінії вам не вдасться. Більше того, геометричні побудови можна здійснювати лише на порівняно невеликій площадці перед будинком. Зазначимо спосіб для визначення шуканого відстані.
Для знаходження відстані від даної точки В до недоступної точки А можна використовувати побудови, аналогічні наведеним у вирішенні завдання 1.8. з тією лише різницею, то точки Е і F на рис. 27 слід вибрати ближче до точки D, т. е. на відстані, в однакове число разів меншим довжин відрізків BD та CD відповідно. У стільки ж разів відрізок GE виявиться меншим відрізка АВ, що випливає з подібності трикутників BAD і EGD.
1.10. Людина знаходиться на одному березі річки, а на іншому, недоступному для нього березі розташовані два об'єкти. Як виміряти відстань між ними?
Нехай А і В - недоступні точки, між якими треба знайти відстань. Виберемо на деякій прямій три точки D, Е і F так, щоб виконувалося рівність DE = - EF (Рис. 28). При цьому заздалегідь потурбуємося про те, щоб точка С перетину прямих AF і BD виявилася доступною і лежала з тієї ж сторони від прямої DF, що і відрізок АВ: цього можна досягти зменшенням відрізка DF і переобозначеніем його кінців. На продовженні відрізка РЄ за точку Е відзначимо точку G на відстані РЄ від точки Е. Далі знайдемо точку Н перетину прямих DG і АЕ, а також точку К, перетину прямих FG і BE. Тоді шукане відстань дорівнюватиме КН. Дійсно, при перетворенні симетрії щодо центру Е точка С переходить в точку G, точка D - В точку F, пряма CD - В пряму GF, пряма BE - У себе, а точка У перетину прямих CD і BE - В точку До перетину GF і BE. Аналогічно точка А при цьому перетворенні переходить в точку Н, тому відрізок НК симетричний відрізку АВ відносно точки Е.
§ 2. На рівній відстані
У цьому параграфі розглядається кілька практичних завдань, в яких потрібно використовувати геометричний матеріал для знаходження точок або ліній на місцевості з міркувань рівності будь-яких відстаней. Побудови, які знадобляться для вирішення цих завдань, повинні бути по можливості більш простими. Якщо вони не вимагатимуть ніяких коштів, що виходять за рамки простої геометрії на місцевості, то такі побудови можна буде здійснити у звичайних умовах без використання скільки-небудь складних вимірювальних приладів [2]. В іншому випадку для реалізації побудов можна зобразити вихідну конфігурацію на плані і, вирішивши завдання на папері за допомогою циркуля і лінійки, перенести результат на місцевість.
Нижче передбачається, що всі населені пункти мають незначні розміри і можуть бути прийняті в задачах за точки, а магістралі, канали і залізниці є прямими і мають пренебрежимо малу ширину, тобто можуть бути представлені як прямі лінії.
Завдання
2.1. Неподалік від двох населених пунктів проходить шосе. В якому місці цього шосе потрібно побудувати автозаправну станцію, щоб відстані від неї до обох пунктів були однакові?
Позначимо через А і В дані в задачі населені пункти і проведемо на місцевості серединний перпендикуляр до відрізка АВ. Оскільки всі точки цього перпендикуляра рівновіддалені від пунктів А і В і ніякі інші точки цією властивістю не володіють, то автозаправну станцію потрібно побудувати в точці перетину перпендикуляра з шосе (якщо така точка знайдеться).
2.2. Мешканці трьох будинків вирішили спільними зусиллями побудувати колодязь. Яке місце для колодязя слід вибрати, щоб всі три відстані від нього до будинків були однакові?
Нехай А, В і С - точки розташування трьох даних будинків. Проведемо серединні перпендикуляри до відрізкам АВ і ВС. Тоді точка О їх перетину буде єдиною точкою, рівновіддаленою від точок А, В і С, оскільки для цієї точки виконані рівності АТ = ОВ і ВО = ОС, а якщо точку Про вибрати інакше, то для неї хоча б одне із зазначених рівностей буде несправедливо . Зауважимо, що проведені перпендикуляри можуть і не перетнутися, але тільки у випадку, коли точки А, В і С лежать на одній прямій. Таким чином, шукане місце для колодязя - точку О - можна знайти наведеним способом, але лише за умови, що будинки розташовані не на одній прямій.
2.3. Дві магістралі перетинаються під кутом, усередині якого протікає річка. Де побудувати міст через річку, щоб відстані від нього до обох магістралей були однакові?
Проведемо бісектрису кута, утвореного магістралями. Так як всі точки цієї бісектриси рівновіддалені від магістралей і ніякі інші точки всередині кута цим властивостями не володіють, то міст через річку потрібно побудувати в точці перетину бісектриси з річкою (якщо така точка знайдеться).
2.4. Дві магістралі перетинають канал в різних місцях. Де потрібно розмістити піонерський табір, щоб відстані від нього до каналу і до кожної магістралі виявилися однаковими? Вкажіть місце розташування піонерського табору, при якому ці відстані мінімальні?
Кожна магістраль, перетинаючись з каналом, утворює дві пари вертикальних кутів, а чотири їх бісектриси складають дві прямі (рис. 29). Так як всі крапки цих бісектрис рівновіддалені від каналу і відповідної магістралі, а ніякі інші точки цією властивістю не володіють, то всі можливі місця розташування піонерського табору, лежать на перетинах бісектрис кутів при різних вершинах А і В.

Рис. 29
Таких точок перетину може бути, взагалі кажучи, чотири, оскільки будь-яка з двох прямих, що проходять через вершину А, може перетнутися з будь-якою з двох прямих, що проходять через вершину В. Якщо магістралі не паралельні, то ніякі пари цих прямих не паралельні і всі чотири точки перетину реалізуються, а найменша відстань до каналу (а значить, і до магістралей) досягається в тій точці Про перетину бісектрис, яка лежить всередині трикутника, утвореного каналом і магістралями. Дійсно, з двох точок перетину бісектриси внутрішнього кута трикутника при вершині А з биссектрисами кутів при вершині У ближче до вершини А (а значить, і до каналу) лежить точка О. Аналогічно з двох точок перетину, що лежать на бісектрисі внутрішнього кута трикутника при вершині В , також вибираємо точку О. Нарешті, остання точка перетину бісектрис зовнішніх кутів трикутника при вершинах А і В лежить разом з точкою О на бісектрисі кута трикутника при вершині С, причому точка Про лежить ближче до вершини С, отже, ближче до магістралей і, отже, до каналу. Якщо ж магістралі паралельні, то чотири бісектриси кутів при вершинах А і В утворюють паралелограм (через симетрії всієї картини щодо середини відрізка АВ), тому обидві точки перетину цих прямих рівновіддалені від каналу.
2.5. У якому напрямі через місто повинна проходити магістраль, щоб два даних населених пункти лежали по різні сторони від неї на однаковій відстані?
Хай через місто А потрібно провести магістраль, рівновіддалену від пунктів В і С (рис. 30). Так як точки В і С повинні лежати по різні сторони від шуканої магістралі, то вона повинна перетнути відрізок ВС, причому точка перетину повинна збігатися з серединою цього відрізка (що випливає з рівності відповідних прямокутних трикутників). Таким чином, шукана магістраль визначена однозначно, якщо тільки сама точка А не збігається із серединою відрізка ВС (у разі їх збігу годиться будь-який напрямок).

Рис. 30
2.6. Як повинна проходити магістраль, щоб відстані від неї до трьох даних населених пунктів були однакові? Вкажіть розташування магістралі, при якому ці відстані мінімальні.
Позначимо через А, В і С три даних населених пункту. Якщо шукана магістраль може проходити так, щоб всі три точки лежали по одну сторону відносно магістралі (у тому числі і на ній самій) і до того ж на рівній відстані від неї, то точки А, В і С лежать на одній

Рис. 31
прямою, паралельною магістралі. У цьому випадку відстань мінімально, коли магістраль проходить через ці точки.
В іншому випадку дві з даних точок, скажімо А і В, повинні лежати по один бік від шуканої магістралі, а третя - по іншу (рис. 31). Так як магістраль рівновіддалена від точок А і С, то вона проходить через середину відрізка АС (див. рішення завдання 2.5), а так як вона рівновіддалена від точок В і С, то проходить і через середину відрізка ЗС. Таким чином, ми довели, що шукана магістраль проходить по одній з трьох середніх ліній трикутника ABC.
Серед можливих розташувань магістралі найменша відстань до точок А, В і С, рівну половині найменшою висоти трикутника ABC, досягається, коли магістраль паралельна найбільшою стороні цього трикутника (точніше, який-небудь з найбільших сторін, якщо їх декілька), оскільки найменша висота в трикутнику відповідає найбільшій стороні - адже їхній твір є константа, рівна подвоєної площі трикутника.
2.7. Магістраль перетинає канал під кутом, всередині якого розташований населений пункт. У якому напрямі слід провести через цей пункт пряму дорогу, щоб відстані по ній до магістралі і до каналу виявилися однаковими?
Проведемо пряму через точку А перетину магістралі з каналом і через даний населений пункт В. Розглянемо точку З па цій прямій, віддалену від точки В на відстань АВ (рис. 32). Тоді якщо шукана дорога перетинає магістраль і канал в точках D і Е відповідно, то точка В є центр симетрії чотирикутника ADCE, який, отже є параллелограммом. Тепер самі точки D і Е можна знайти, провівши через точку З прямі, паралельні каналу і магістралі, до перетину їх відповідно з магістраллю (в точці D) і з каналом (в точці Е).

Рис. 32
2.8. Залізниця перетинає канал під гострим кутом, всередині якого розташований населений пункт. В якому місці залізниці треба розташувати полустанок, щоб відстані від нього до цього пункту і до каналу виявилися однаковими? Вкажіть розташування полустанку, при якому ці відстані мінімальні.
З точки А перетину залізниці з каналом через даний населений пункт В проведемо промінь. Опустимо з будь-якої точки О залізниці перпендикуляр ОС до каналу і знайдемо на промені АВ точки, віддалені

Рис. 33
від точки О на відстань ОС. Таких точок виявиться дві - це буду точки D і Е, що лежать на колі з центром О і радіусом ОС. Для визначеності будемо вважати, що DA> EA (Рис. 33). Проведемо відрізки BF і BG, що з'єднують точку В з точками F і G на залізниці і паралельні відрізкам DO та ЕО відповідно. Тоді з подібності відповідних трикутників буде випливати, що точки F і G рівновіддалені від каналу і від точки В, т. е. вони вкажуть шукані місця розташування полустанку. Ніяких інших можливостей для розташування полустанка немає, оскільки для будь-якої шуканої точки існує перетворення гомотетии щодо точки А, що переводить шукану крапку в точку О, а крапку В в точку променя АВ, віддалену від точки О на відстань ОС, т. е. в одну з точок D або Е.
Мінімальна відстань до полустанку досягається в точці F, для якої маємо
,
бо і .
2.9. Дві магістралі перетинаються під кутом, всередині якого розташований населений пункт. Як вибрати місце для пристрою ставка круглої форми, щоб відстані від нього до цього пункту і до кожної магістралі виявилися однаковими?
Знайдемо точку О, в якій повинен знаходитися центр ставка. Оскільки точка О рівновіддалена від двох даних магістралей, то вона лежить на бісектрисі кута між ними. Таким чином, завдання зводиться до знаходження на даній прямій l - бісектрисі - точки О, рівновіддаленою від даної точки А - населеного пункту - і від іншої даної прямої - тієї з магістралей, яка утворює з прямою l кут, що містить точку А (цей кут буде обов'язково бути гострим, оскільки він дорівнює половині кута між магістралями). Така ситуація розібрана у вирішенні завдання 2.8.

Рис. 34
2.10. Як вибрати місце для пристрою ставка круглої форми, щоб відстані від нього до даної магістралі і до кожного з двох даних населених пунктів, розташованих з одного боку від магістралі, були однакові?
Знайдемо точку О, в якій повинен знаходитися центр ставка. Оскільки точку Про рівновіддалена від двох даних населених пунктів А і В, то вона лежить на серединний перпендикуляр до відрізка АВ (рис. 34). Таким чином, завдання зводиться до знаходження на даній прямій h (Перпендикуляре) точки О, рівновіддаленою від точки А або точки В і від іншої даної прямої l (магістралі). Якщо прямі h і l не паралельні і не перпендикулярні, то вони в перетині утворюють гострий кут, всередині якого розташована одна з точок А і В (адже обидві ці точки лежать по один бік від прямої l). Спосіб знаходження точки О в цьому випадку вказаний у рішенні завдання 2.8. Якщо прямі h і l перпендикулярні, то точка О повинна бути рівновіддалена від точки їх перетину і від точки А, і цей випадок також був розібраний у вирішенні завдання 2.1. Нарешті, якщо прямі h і l паралельні, то точка 0 повинна бути віддалена від точки А на відстань, рівне відстані d між прямими h і l. Тому шукана точка лежить на перетині прямої h та кола з центром А і радіусом d (Таких точок перетину буде дві, оскільки відстань від точки А до прямої h менше d - Адже одна з точок А або В розташована між прямими h і l).
§ 3. Завдання, які пропонуються учням сільської школи
ОКРУЖНЕ
3.1. Для можливості повороту автомобіля (або колісного трактора) напрямні (передні) колеса з'єднані з віссю шарнірами і так, що площини коліс (рис. 35) можуть повертатися щодо осі. Під час правильного повороту всі чотири колеса котяться по дугах концентричних кіл, причому проекції коліс є дотичними до цих колах [19]. Доведіть, що правильний поворот можливий лише тоді, коли направляючі колеса повертаються на різні кути.
Рішення. Припустимо протилежне, що Тоді рівні і вертикальні їм кути і , А значить, за ознакою паралельності прямі і паралельні.

Рис.35

З іншого боку, оскільки кути і прямі, а прямі і - Дотичні до кола кочення, то прямі і містять радіуси концентричних кіл. Значить, прямі і перетинаються. Протиріччя.
Зауваження. Розглянутий ефект на практиці досягається за допомогою так званої рульової трапеції.
ТЕОРЕМА ПІФАГОРА
3.2. Телевізійні радіосигнали поширюються на 15% далі межами прямої видимості антени. При якому найбільшій відстані s від передавальної антени висоти Н можна прийняти телепередачу за допомогою приймальні антени висоти h? Визначити, при якій максимальній відстані можна прийняти передачу за допомогою антени висотою 20м з Останкінської телевежі (її висота 538м).
Рішення. Вершина У приймаючої антени (рис. 36) за рахунок кульової поверхні Землі буде в крайньому разі ще видно з вершини передавальної антени А тоді, коли точки А і В лежать на дотичній до земної поверхні. У цьому випадку де R - радіус Землі. Так як Н дуже мало в порівнянні з 2 R, то , А тому . Вважаючи в цій формулі отримуємо .

Рис. 36
Визначивши таким же чином ВС, знайдемо АВ. Збільшивши отриману величину на 15%, отримуємо шукану формулу для s (в м): s . З неї тепер неважко отримати відповідь і на друге питання завдання.
Тригонометричні функції
3.3. Доведіть, що правильний поворот (див. 3.1.) Автомобіля можливий лише тоді, коли направляючі колеса повертаються на такі кути і , Що є незмінною при будь-яких можливих і .
Рішення. З огляду на умови правильного повороту точка О (рис. 37) повинна лежати на продовженні задньої осі CD. Оскільки , , То з прямокутних трикутників і знаходимо:

3.4. Величина кута на місцевості часто визначається лінійними промірами. На сторони кута відкладають відрізки (рис. 38) АВ = АС = 10 м і вимірюють НД Яка величина кута, якщо ВС = 12 м?
Рішення. Нехай D - середина НД Тоді AD - висота бісектриса

Рис. 37 Рис. 38
рівнобедреного трикутника. З прямокутного трикутника ADB маємо:

.
3.5. У будівельній практиці широко поширені поняття ухилу і кута нахилу (ділянки дороги, укосу греблі, стінок каналу, скатів даху і т. п.). Нехай ЄС - певний відрізок на місцевості, CD - Вертикальна, ED - Горизонтальна пряма. Кутом нахилу РЄ називається кут CED; ухилом відрізка РЄ називається відношення його підйому CD до його горизонтальної проекції ED. Яка залежність існує між кутом нахилу її відрізка ЄС та його ухилом k?
Відповідь., K = Tg .
НЕРІВНІСТЬ ТРИКУТНИКА. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ
3.6. При проектуванні сільській дорожньої мережі часто виникає необхідність з'єднати дорогами три пункти А, В і С При цьому можна прокласти дороги по сторонах трикутника ABC, а можна з'єднати ці пункти за допомогою вузла розгалуження Про (рис. 39) У якому випадку загальна довжина дорожньої мережі менше?
Рішення. Продовжимо відрізок АТ до перетину з відповідною стороною трикутника. У силу нерівності трикутника маємо
АТ + ОЕ <АВ + BE, ОС <ОЕ + ЄС.
Склавши ці нерівності, отримаємо:
АТ + ОС <АВ + НД

Аналогічно доводиться, що
АТ + ОВ <АС + ВС, ВО + ОС <АВ + АС.
Склавши ці нерівності і спростивши, отримаємо
АТ + ВО + СО <АВ + ВС + АС.
Рис. 39
Так що використання вузла розгалуження дає більш коротку дорожню мережу.
3.7. На малюнку 40 зображено поперечний переріз земляної греблі, спорудженої на схилі. Перед початком будівництва такої греблі спочатку відзначають на місцевості (стовпами) її поздовжню вісь OS, а потім за допомогою так званих від точок і до осі греблі. Знайдіть ці відстані, якщо відомо, що висота греблі OS = h, ширина гребеня , Укоси і мають ухил (див. 3.5.) 1: n, а ухил схилу 1: m.

Рис. 40

Рішення. Виберемо систему координат так, як показано на малюнку. Тоді пряма має кутовий коефіцієнт проходить через точку , Пряма має кутовий коефіцієнт - і проходить через точку , А проходить через початок координат пряма має кутовий коефіцієнт . Тому розглядаються прямі мають наступні рівняння:



Точка А належить одночасно прямим   і . Тому її абсцису   можна знайти з рівняння

Розв'язавши рівняння, отримаємо, що

Аналогічно знаходимо, що

Отримані формули і використовуються на практиці.
ПОДОБИЕ ФІГУР
3.8. На малюнку 41 зображено висотомір лісника. Він являє собою прямокутну пластинку розміром 10Х 10 см із закріпленим у точці А схилом, шкалою за ЗС і візирами в точках А і D. Навівши за допомогою візирів бік AD на вершину дерева Е і помітивши розподіл шкали, яке показує схил AF, лісник за допомогою нескладної формули і знаходить висоту дерева. Нехай, наприклад, BF = 3 см. Доведіть, що
(*)

де Н - висота дерева, h - Висота людини на рівні очей, d - Відстань від дерева до людини (всі розміри в метрах).

Рис. 41
Рішення. Так як GEA = AFB (Доведіть це, розглядаючи пари паралельних прямих), то прямокутні трикутники EGA і FBA подібні. Тому (всі розміри в см):
або
Звідси і випливає (*).
Правильні многокутники
3.9. Висівний апарат більшості сівалок представляє собою циліндричну котушку з жолобками (рис. 42), які при обертанні котушки захоплюють зерна і висипають з сівалки. При проектуванні котушки спочатку визначають число жолобків п і ширину жолобка t, виходячи з розмірів та механічних властивостей зерен, для яких призначена сівалка. Ці дані дозволяють знайти діаметр котушки.
Яким повинен бути діаметр котушки висівного апарату зернової сівалки у якої t = 13.6 мм (з урахуванням ширини ребра між суміжними жолобками), п = 12?
Рис. 42
Рішення. Потрібно знайти діаметр кола, описаного близько правильного n-кутника зі стороною а _п - t. За відомою формулою отримуємо:

ЦЕНТРАЛЬНИЙ КУТ І дуга окружності
3.10. Відомо, що пучок світла від фар розходиться під кутом = 2 ° до напрямку руху. Яка видимість від фар на повороті з радіусом закруглення R = 100 м?
Рішення. Нехай автомобіль знаходиться в точці А (рис. 43) Тоді фари висвітлюють дугу АВ, довжину якої l і потрібно знайти. З'єднаємо точки А і В центром кола О.
Нехай З - середина сторони АВ. Кут СОА дорівнює куту РАВ, так як вони доповнюють кут ВАО до 90 °. Тому . АОС = , AOB = Значить, м.

Рис. 43
3.11. Працюючи на полі, тракторний агрегат часто здійснює холостий «грушоподібний» (рис. 44) або «вісімкоподібних» (рис. 45) поворот, який, як припускають в наближених розрахунках, складається з дуги кола радіуса R, плавно (за допомогою спряження) переходить в прямі l і т. При цьому припускають, що поєднання окружності з прямими l і т здійснюється дугами кола того ж радіуса R. Крім того, у разі широкозахватного агрегату (наприклад, трактор з кількома сівалками) радіус повороту R виявляється рівним ширині захоплення b.
Для визначення продуктивності тракторного агрегату необхідно знати довжину його холостого пробігу і, зокрема, довжини неодружених поворотів.
а) Знайдіть довжину грушевидного повороту широкозахватного агрегату.
Рішення. В силу симетрії повороту достатньо розглянути лише його ліву половину. Поворот починається в точці сполучення з прямою l, а в точці сполучення з окружністю відбувається переїзд з одного кола на іншу. Тому для вирішення завдання необхідно побудувати точки сполучення.
З курсу креслення відомо, що центр З сопрягающей дуги є точкою перетину кола радіуса 2 R з центром в О і прямої, паралельної l, віддаленої від l на відстані R (Рис. 37), причому точка сполучення А лежить на відрізку СВ, а точка сполучення У лежить на перпендикулярі до l, опущеному з точки С.
Нехай - Радіанна міра кута COS. Тоді
Рис. 44 Рис. 45
OCB = , І тому
,
,
а значить, довжина повороту
Знайдемо величину . Оскільки

то

а отже, 0,85. Тому
.
б) Знайдіть довжину вісімкоподібних повороту широкозахватного агрегату.
Рішення. Міркуючи так само, як і при вирішенні попереднього завдання, знайдемо (рис. 34), що
Однак у цьому випадку , А тому і, отже, 0,25. Тому
.
Відповіді до завдань показують, що там, де це можливо, краще виконання грушевидного повороту, ніж вісімкоподібних, так як при цьому холостий пробіг агрегату коротше.
Зауваження. Використовувану при рішенні розглянутих завдань формулу   - Довжини дуги через радіанне міру кута - легко (і доцільно) вивести при вивченні радіанної міри кута.
Площі фігур

3.12. Потрібно викопати канал для подачі води до рибоводному ставку. Є можливість влаштувати його у формі піввиїмки - напівнасипу (рис. 46). У такому випадку найбільш економічним буде таке розташування каналу, при якому перетин виїмки
Рис. 46
рівновеликої перетину насипу (не потрібно буде ні відвозити, ні підвозити грунт). Визначте, якою повинна бути при цьому глибина виїмки, якщо загальна глибина каналу h = 2м, ширина по дну b = 1м, ширина гребеня виїмки а = 1м, а кут нахилу укосів-45 °.
Рішення. Нехай х - глибина виїмки. Тоді площа поперечного перерізу виїмки   площа перерізу насипу . Прирівнявши площі, одержимо квадратне рівняння. Вирішивши його, знайдемо х = 1,2 м.
3.13. У різних розрахунках з експлуатації зрошувальних систем зустрічається величина R = гідравлічний радіус каналу, де F - Площа поперечного перерізу каналу (живий перетин), Р - довжина кордону цього перерізу (змочений периметр). Знайдіть гідравлічний радіус каналу (рис. 47), прокладеного каналокопатели Д - 716 (AD = 260 см, ВС = 60 см, ABC = BCD = 135 °).

Рис. 47
3.14. За допомогою теоретичних розрахунків і експерименту встановлено, що з усіх каналів із заданим живим перетином найбільшою пропускною спроможністю і одночасно найменшою фільтрацією відрізняються канали з найменшим змоченим периметром. Про такі канали говорять, що вони мають гідравлічно найвигідніший профіль.
Перетин каналу - рівнобедрений трикутник. Яким повинен бути кут при вершині, щоб канал мав гідравлічно найвигідніший профіль?
Рішення. Нехай F - Живий перетин каналу, х - величина кута за його вершині, а - довжина бічної сторони трикутника. Так як F = Р = 2а, то

Змочений периметр Р буде найменшим, коли буде найбільшим, тобто при х = 90 °.
3.15. Для зберігання зерна на елеваторах часто споруджують ємності у формі циліндрів [4]. При цьому будують відразу кілька таких ємностей, що примикають один до одного в певному порядку, а також у деяких місцях споруджують додаткові круглі стінки. Виходить монолітний корпус з поперечним перерізом досить складної конструкції. Зерно засипається не тільки в циліндричні ємності (круглі силоси), але і в ємності утворилися між ними (силоси-зірочки). Для розрахунку ємності силосного корпусу необхідно знати площі перетинів всіх його силосів.
На малюнку 48 зображено поперечний переріз силосного корпусу одного з елеваторів. Знайдіть площі перерізів силосів-зірочок 2 і 3, знаючи діаметр d силосу 1 і нехтуючи товщиною стінок.

Рис. 48
Рішення. Площа дорівнює, очевидно, різниці між площею квадрата ABCD і площею кола 1:

Якщо від площі квадрата EFGH (яка, очевидно, дорівнює половині площі квадрата ) Вирахувати , То ми отримаємо учетверенное площа луночки. Тому площа луночки

а площа фігури 2

КУТИ між прямою і площиною
3.16.   Знайдіть найбільший допустимий кут а нахилу схилу, вздовж якого може стояти, не перекидаючись тому, загальмований трактор МТЗ-50 (цей кут називається граничним кутом підйому трактора).
Рішення. Потрібно знайти кут між площиною схилу і горизонтальною площиною. Він дорівнює куту між прямими (рис. 49) в поздовжньому перетині схилу. З курсу фізики відомо, що для стійкості тіла на похилій площині необхідно, щоб вертикаль, проведена через центр мас А, не виходила за межі опори BD. Розглянемо граничний випадок, коли ця вертикаль АВ проходить через кордон опори. Проведемо AC BD і розглянемо прямокутний трикутник АСВ. Оскільки
ВАС = а, то .
У трактора МТЗ-50, що нас цікавлять параметри такі АС == 89 см, ВС = = 85 см. Тому для нього і, отже, граничний кут підйому .

Рис. 49
3.17. При будівництві будинків на селі нерідко влаштовується так звана чотирьохскатний дах, скати якої представляють собою (рис. 50) два трикутника і дві трапеції з однаковим ухилом. Знайдіть площу покрівлі чотирьохскатним даху будинку довжини а і ширини b, якщо відомо, що кут нахилу скатів даху дорівнює .

Рис. 50
Рішення. Кут між площинами багатокутників - скатів даху - і площиною ABCD дорівнює , А ортогональні (вертикальні) проекції цих багатокутників на горизонтальну площину утворюють прямокутник ABCD. Тому площа покрівлі S = .
Многогранники
3.18. При одному з способів захисту грунтів від змиву на схилах штампують лунки у формі прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою (сторона квадрата - 50 см) і висотою 10 см. Визначте, скільки літрів води може зібратися в такій лунки на схилі під кутом нахилу 10 °, якщо додатково відомо, що одна зі сторін підстави лунки горизонтальна.

Рис. 51
Рішення. Оскільки (рис. 51) BL = 50tgl0 ° <10, то в момент найбільшого наповнення шар води являє собою призму висоти 50 см, підставою якої є трапеція . Тому обсяг води

ТІЛА ОБЕРТАННЯ.
3.19. Колоди і дрова на складах лісоматеріалів укладають у штабелі. Облік покладеної в штабелі деревини ведеться через обсяг штабеля з допомогою коефіцієнта полнодревесності, під яким розуміється відношення обсягу деревини в штабелі до геометричного обсягу штабеля (перший менше через наявність порожнеч між стовбурами). Знайдіть коефіцієнт полнодревесності ідеалізованого прямокутного штабеля (рис. 52), що складається з однакових циліндрів.

Рис. 52
Рішення. Нехай r - радіус основи циліндра, h - Його висота. Припустимо, що по ширині штабеля укладено m циліндрів, а по висоті - п. Тоді обсяг деревини в штабелі
.
Штабель приймається за паралелепіпед з вимірами 2 mr, 2 nr і h. Його обсяг
,
значить, коефіцієнт полнодревесності
.
Дивно, що саме такий коефіцієнт полнодревесності зазначений у ГОСТ для правильного прямокутного штабеля з метрових колод без кори.
3.20. При захисті грунтів від водної ерозії на схилах іноді роблять лунки у формі півкулі діаметром d. Скільки води може накопичитися в такій лунки на схилі з кутом нахилу ?

Рис. 53
Рішення: Обсяг води дорівнює обсягу (рис. 53) кульового сегмента:

де Н - висота сегмента. Так як відстань від центру лунки до поверхні води то Звідси знаходимо:


Висновок
Метою даної роботи було розробка змісту теми «Використання вимірювань і рішення задач на місцевості при вивченні деяких тем шкільного курсу геометрії» і методики проведення факультативних занять. У роботі була висунута гіпотеза дослідження, яка полягає в тому, що систематичне і цілеспрямоване впровадження в шкільний курс геометрії різноманітного матеріалу сприяє підвищенню інтересу учнів до геометрії і розвиває їх творчі здібності. У результаті природного педагогічного експерименту гіпотеза була підтверджена.
Були вирішені наступні завдання:
1. Вивчена математична, психолого-педагогічна, методична література з проблеми дослідження.
2. Підібрано і адаптовано для школярів теоретичний і практичний матеріал, що дозволяє продемонструвати додаток геометричних фактів до розв'язання задач на місцевості.
3. Знайдено ефективні шляхи і способи організації факультативних занять.
4. Розроблено методику проведення факультативних занять з теми «Рішення задач на місцевості».
5. Проведена експериментальна перевірка відібраного матеріалу і методики факультативних занять.
Практична значимість дослідження полягає в тому, що в ньому обгрунтовано можливості вдосконалення навчально-виховного процесу стосовно до процесу викладання математики шляхом проведення факультативних занять, розроблено рекомендації щодо вдосконалення організаційно-педагогічного забезпечення математичних факультативів. Запропоновані науково - методичні матеріали при використанні в масовій практиці дозволяють знаходити ефективні шляхи організації математичних факультативів. Розроблені матеріали можуть бути використані студентами фізико-математичних факультетів при вивченні методики викладання і на педагогічній практиці, а так само вчителями середніх шкіл при організації та проведенні уроків.
На основі вивчення педагогічної, методико-математичної, психолого-педагогічної літератури, а також досвіду роботи вчителів з питання організацій факультативних занять і безпосередньої роботи з вчителями загальноосвітніх шкіл розроблені рекомендації для успішного функціонування математичного факультативу в середній школі.
Важливим завданням є розкриття психолого-педагогічних основ організації факультативних занять як здійснення профільної диференціації.
Основним напрямком запропонованих рекомендацій, є максимальне підвищення ефективності роботи факультативних занять.
Сучасна загальноосвітня школа ставить завдання профорієнтації учнів після закінчення школи, шляхом введення факультативної форми роботи. У роботі сформульовані рекомендації, які підвищать рівень викладання факультативних занять і тим самим підвищать рівень підготовленості учнів.

Література
1. Бабанський Ю.К. Оптимізація процесу навчання: Общедидактический
аспект. - М., 1977.
2. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика після уроків, М., Освіта, 1977.
3. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математичний факультатив вчора, сьогодні, завтра
/ / Математика в школі - 1987 - № 5.
4. Бенбямінов М.Р. Математика і сільське господарство, М., 1968.
5. Вілянкін Н.Я., Шібасов Л.Т., Шібасова З.Ф. За сторінками підручника
математики: Арифметика. Алгебра. Геометрія. - М.: Просвіта:
АТ «Учеб. мет. », 1996.
6. Ганьшин В.М. Найпростіші вимірювання на місцевості, М., 1973 - 126 с.
7. Гільбух Ю., Кондратенко Л., Коробко С. Як не вбити талант? / / Народне
освіту. - 1991. - № 4.
8. Геометрія. Навчальний посібник для 9 та 10 класів середньої школи. М., 1979.
9. Депман І.Я., Віленкін Н. Я. За сторінками підручника математики. - М. -:
Просвітництво, 1989.
10. Цікава алгебра. Цікава геометрія. / Я.І. Перьльман. -
Ростов н / Д: ЗАТ «Книга», 2005.
11. Іваньков П.А. Основи геодезії, топографії та картографіі.-М., 1972
12. Іванов П.А. Технічні вимірювання М., 1964
13. Калмикова З.І. Типологічні принципи розвивається навчання .-
М.: Знання, 1979.
14. Методика викладання математики в середній школі. Приватна методика:
Учеб. посібник для студентів пед. ін-тів по фіз.-мат. спец. / А.Я.Блох,
В.А. Гусєв, Г.В. Дорофєєв і ін; Сост. В.І. Мішин. - М.: просвітив-
ня, 1987.
15. Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика:
Учеб. посібник для студентів фіз.-мат. фак. пед. інститутів / В.А. Ога-
Несучи, Ю.М. Колягін, Г.Л. Луканкін, В.Я. Саннінскій. - 2-е вид., Пе-
роб. і доп. - М.: Просвещение, 1980.

16. Морозова Н.Г. Вчителю про пізнавальному інтересі. М.: Знание, серія

«Педагогіка і психологія», 1979.
17. Педагогічна енциклопедія: у 2-х т. / За ред. І.А. Каирова, Ф.Н. Пет-
рова. - М.: Радянська енциклопедія, 1964. - Т.1.
18. Педагогічна енциклопедія: у 2-х т. / За ред. І.А. Каирова, Ф.Н. Пет-
рова. - М.: Радянська енциклопедія, 1964. - Т.2.
19. Петров В.А. Викладання математики в сільській школі: Кн. для вчите-
ля. - М. .6 Просвітництво, 1986.
20. Погорєлов А.В. Геометрія. М., 1990.
21. Сергєєв І.М., Олехнік С.М., Гашков С.Б. Застосуй математику. - М.,
Наука, 1989.
22. Чічігін В.Г. Методика викладання геометрії: Планіметрія. - М.:
Учпедгиз, 1959.
23. Четверухін Н.Ф. Методи геметріческіх побудов, М., Учпедгиз, 1952.
24. Шварцбурд С.І. та ін Стан та перспективи факультативних занять
з математики: посібник для вчителя. - М., 1977.