Визначник матриці 2

Зміст

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 1

Обчислити визначник 4-го порядку.

Рішення:

Визначник 4-го порядку знаходиться за формулою:

,

де

a _ij - Елемент матриці;

М _ij - мінору елемента a _ij. Мінора елемента a _ij матриці А називається визначник матриці, яка була отримана шляхом видалення з матриці А рядків і стовпців, які містять елемент a _ij

Задача 2

Вирішити систему матричним способом.

Рішення:

1. Введемо позначення:

Тоді в матричній формі система має вигляд , Тобто

А ^{-1-зворотна} матриця, яка існує тільки тоді, коли вихідна матриця А невироджених, тобто

2. Знайдемо визначник матриці за формулою:

Так як , То матриця А - невироджених і зворотна матриця А ^-1 існує і єдина.

3. Знайдемо обернену матрицю за формулою:

, Де

- Прісоеденненая матриця, елементи якої рівні алгебраїчним доповненням елементів матриці , І потім транспонована.

1. знайдемо алгебраїчного доповнення всіх елементів матриці:

Виходить матриця

2. транспоніруем матрицю (тобто матриця A ^T, отримана з вихідної матриці заміною рядків на стовпці)

3. зворотна матриця дорівнює:

4. Знаходимо значення змінних х _1, х _2, х _3:

Х ₁ =- 27, Х ₂ = 36, Х ₃ =- 9

Задача 3

Вирішити систему методом Крамера

Рішення:

Метод Крамера (правило Крамера) - спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником основної матриці (причому для таких рівнянь рішення існує і єдино)

1. Дану систему представимо у вигляді матриці:

2. Знайдемо визначники:

,

( , Тобто можна застосувати метод Крамера)

;

.

3. Знайдемо значення x, y:

,

,

Задача 4

Знайти спільне рішення системи, використовуючи метод Жордана-Гаусса:

Рішення:

Дану систему представимо у вигляді матриці:

Як дозволяє елемента зручніше взяти елемент а ₁₁ = 1 (тому що при розподілі на «1» число залишається без змін). Ділимо елементи рядка на дозволяє елемент а _11. Дозволяють змінну х ₁ слід виключити з решти рівнянь, тому в новій матриці у першому стовпчику в усіх рядках (крім 1 рядка) необхідно поставити значення «0». Інші елементи нової матриці знаходимо за правилом прямокутника:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

В отриманій матриці як дозволяє елемента беремо не рівний нулю елемент з будь-якого рядка, крім першої, наприклад а ₂₂ = 5. Ділимо елементи роздільної другого рядка на «5». Всі елементи першого стовпця, крім а ₁₁ беремо рівні «0», а інші елементи знаходимо за правилом прямокутника:

; ;

; ;

;

В отриманій матриці як дозволяє елемента беремо не рівний нулю елемент з будь-якого рядка, крім першої та другої, наприклад а ₃₃ = 1. Ділимо елементи роздільної другого рядка на «1». Всі елементи першого та другого стовпця, крім а ₁₁ = 1 і а ₂₂ = 1 беремо рівні «0», а інші елементи знаходимо за правилом прямокутника:

;

;

;

Так як більше рядків як дозволяють не залишилося, виписуємо систему рівнянь, яка відповідає останній матриці:

Припускаємо, що х ₄ - це будь-яке число С, тоді

Х ₁ = 3,8-3,4 С; Х ₂ = 23,6-7,8 С; Х ₃ =- 33 + З

Задача 5

Дано вектори.

Знайти:

Рішення:

Вектором називається спрямований відрізок АВ з початковою точкою А і кінцевою точкою В.

З даних рівнянь виділимо координати векторів:

, Де координатами є (x, y, z)

тобто координатами вектора є (18,2,1), а координатами вектора є (1, -2,17).

1. Скалярний добуток векторів знаходиться за формулою:

2. Довжина вектора визначається за формулою: