Пензенський державний університет
Кафедра «РТ і РЕМ»
КУРСОВИЙ ПРОЕКТ
за курсом «Радіотехнічні ланцюги і сигнали»
на тему
«Визначення спектру
амплітудно-модульованого коливання »
Завдання виконав студент
групи 01РР2
Чернов С. В.
Завдання перевірив
Куроєдов С. К.
Пенза 2003
Зміст
1. Формулювання завдання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Шифр завдання та вихідні дані. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3. Аналітична запис коливання U W (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Визначення коефіцієнтів а n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5. Визначення коефіцієнтів b n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6. Визначення постійної складової А 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7. Визначення амплітуд A n і початкових фаз Y n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8. Тимчасова діаграма коливання, що представляє собою суму
знайденої постійної складової і перших п'яти гармонік
коливання u W (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
9. Побудова графіків АЧХ і ФЧХ обмеженого спектру
коливання u W (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10. Аналітична запис АМ коливання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
11. Побудова графіків АЧХ і ФЧХ АМ коливання. . . . . . . . . . . . . . 11
12. Визначення ширини спектра АМ коливання. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. Формулювання завдання
Визначити спектр АМ коливання u (t) = U m (t) cos (w 0 t + y 0), огинає амплітуди якого пов'язана лінійною залежністю з сигналом повідомлення U c (t), тобто U m (t) .= U 0 + U c (t)
(Коефіцієнт пропорційності дорівнює одиниці).
Сигнал повідомлення U c (t) являє собою суму перших п'яти гармонік періодичного коливання u W (t) (див. розділ 3). Знайдений аналітично спектр сигналу повідомлення та АМ коливання повинен бути представлений у формі амплітудно-частотної (АЧХ) та фазо-частотної (ФЧХ) характеристик. Необхідно крім того визначити парціальні коефіцієнти глибини модуляції m n. Несуча частота визначається як w 0 = 20 W 5, де W 5 - частота п'ятого гармоніки в спектрі коливання u W (t). Значення амплітуди U 0 несучої частоти w 0 приймається рівним цілої частини подвоєною суми , Де U n - амплітудне значення гармоніки спектра коливання u W (t).
2. Шифр завдання та вихідні дані
Шифр завдання: 17 - 3
Вихідні дані наведені в таблиці 1.
Таблиця 1.
U 1, В | U 2, В | T, мкс | t 1, мкс |
3 | 3 | 250 | 60 |
Тимчасова діаграма вихідного коливання
3. Аналітична запис коливання U W (t)
Спочатку виконаємо спектральний аналіз заданого коливання u Ω (t). Для цього, користуючись графічною формою коливання і заданими параметрами, запишемо його аналітично. Весь період Т коливання розбиваємо на три інтервали: [0; t 1], [t 1; t 2] і [t 2; T] (точка є серединою інтервалу [t 1; T]). Перший інтервал представлений синусоїдою, другий і третій - лінійними функціями. У загальному вигляді аналітичний запис сигналу буде виглядати так:
при ,
u Ω (t) = при , (1)
при .
Частота синусоїди (У знаменнику записаний період цієї синусоїди).
Значення k 1 і b 1 визначаємо з системи рівнянь
;
,
одержуваної шляхом підстановки в друге рівняння системи (1) значень часу t 1 і і відповідних їм значень коливання u Ω (t) (u Ω (t 1) = 0, u Ω (t) =- U 2). Рішення вказаної системи рівнянь дає , . Аналогічно визначаємо k 2 і b 2. У третє рівняння системи (1) підставляємо значення t 2 і T і відповідні їм значення коливання u Ω (t) (u Ω (t 2) =- U 2, u Ω (T) = 0).
;
.
Вирішивши систему, одержуємо ,
У результаті викладеного система рівнянь (1) набуває вигляду
при ,
u Ω (t) = при , (2)
при .
Для подальших розрахунків визначимо:
мкс;
рад / с
рад / с
Для розкладання сигналу в ряд Фур'є обчислимо значення а n, b n, А n і φ n перших п'яти гармонік.
4. Визначення коефіцієнтів a n
Порахуємо кожен з інтегралів окремо:
;
,
перший інтеграл інтегруємо по частинах:
, ,
, .
;
аналогічно інтегруємо:
.
Запишемо вираз для а n, як функції порядкового номера n гармонік коливання U W (t):
.
Підставляючи раніше обчислені значення k 1 b 1, k 2, b 2, задане значення U 1 і значення n = 1,2, ..., знаходимо чисельні значення п'яти коефіцієнтів a n:
У
У
У
У
В.
Заносимо отримані результати в таблицю 2.
5. Визначення коефіцієнтів b n
.
Розрахунок кожного з інтегралів зробимо окремо:
;
, ,
, .
;
.
Запишемо вираз для b n, як функції порядкового номера n гармонік коливання U W (t):
.
Підставляючи раніше обчислені значення k 1 b 1, k 2, b 2, задане значення U 1 і значення n = 1,2, ..., знаходимо чисельні значення п'яти коефіцієнтів b n:
У
У
У
У
В.
Занесемо отримані дані в таблицю 2.
6. Визначення постійної складової А 0
В.
7. Визначення амплітуд A n і початкових фаз Y n
Значення A n і Ψ n обчислюємо за допомогою отриманих раніше коефіцієнтів a n і b n.
,
.
В,
В,
В,
В,
В;
радий,
радий,
радий,
радий,
радий.
Отримані результати заносимо в таблицю 2.
Таблиця 2
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
a n | 1.641 | 0.033 | -0.368 | -0.237 | -0.128 |
b n | 1.546 | 0.548 | 0.442 | 0.028 | -0.093 |
A n | 2.254 | 0.549 | 0.575 | 0.239 | 0.159 |
Ψ n | 0.756 |
1.511 | 2.264 | 3.023 | -2.512 |
8. Тимчасова діаграма коливання, що представляє собою суму знайденої постійної складової і перших п'яти гармонік
u (t) - заданий коливання,
S (t) = S1 (t) + S2 (t) + S3 (t) + S4 (t) + S5 (t) + A0,
S 1 (t) - перша гармоніка,
S 2 (t) - друга гармоніка,
S 3 (t) - третя гармоніка,
S 4 (t) - четверта гармоніка,
S 5 (t) - п'ята гармоніка,
A 0 - постійна складова.
9. Побудова графіків АЧХ і ФЧХ обмеженого спектру коливання u W (t)
Користуючись даними таблиці 2, будуємо АЧХ і ФЧХ сигнал повідомлення, u c (t), що представляє собою, відповідно до завдання, суму перших п'яти гармонік коливання u W (t).
АЧХ коливання u W (t)
ФЧХ коливання u W (t)
10. Аналітична запис АМ коливання
В якості модулюючого коливання (сигналу повідомлення) використовуємо тільки перші п'ять гармонік спектру коливання u W (t) (постійну складову А 0 відкидаємо). Відповідно до цього шукане амплітудно-модульовані коливання запишемо як
рад / с - несуча частота.
Значення амплітуди U 0 несучої частоти w 0 приймається рівним цілої частини подвоєною суми , Де U n - амплітудне значення гармоніки спектра коливання U W (t).
,
В.
- Початкова фаза несучого коливання.
- Парціальні коефіцієнти глибини модуляції.
Обчислимо значення парціальних коефіцієнтів:
,
,
,
,
.
Отримані результати заносимо в таблицю 3.
Уявімо АМ коливання у формі суми елементарних гармонік
.
Обчислимо значення :
В,
В,
В,
В,
В.
Отримані результати заносимо в таблицю 3.
Таблиця 3.
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
m n | 0 .3221 | 0.0784 | 0.0822 | 0.0341 | 0.0227 |
B n, У | 1.127 | 0.274 | 0.288 | 0.119 | 0.079 |
11. Побудова графіків АЧХ і ФЧХ АМ коливання
Скориставшись чисельними значеннями U 0, ω 0, B n, Ω, Ψ 0, Ψ n, побудуємо графіки АЧХ і ФЧХ амплітудно-модульованого коливання.
АЧХ АМ коливання
ФЧХ АМ коливання
12. Визначення ширини спектра АМ коливання
Ширина спектра АМ коливання дорівнює подвоєному значенню найвищої частоти в спектрі модулюючого низькочастотного сигналу.
рад / с.