УО «БДУІР»
кафедра інженерної графіки
РЕФЕРАТ
на тему:
«ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ МЕТОДОМ МОРУ. ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГІНА »
МІНСЬК, 2008
Розглянемо тепер загальний метод визначення переміщень, придатний для будь-якої, лінійно деформується системи при будь-якому навантаженні. Цей метод запропонований видатним німецьким вченим О. Мором.
Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення точки А балки, представленої на рис. 7.13, а. Заданий (вантажне) стан позначимо буквою к. Виберемо допоміжне стан тієї ж балки з одиничною
силою, що діє в точці A і в напрямку шуканого переміщення. Допоміжне стан позначимо буквою i (рис. 7.13,6).
Обчислимо роботу зовнішніх і внутрішніх сил допоміжного стану на переміщеннях, викликаних дією сил вантажного стану.
Робота зовнішніх сил буде дорівнює добутку одиничної сили на шукане переміщення ya
а робота внутрішніх сил за абсолютною величиною дорівнює інтегралу
Маємо
або
Формула (7.33) і є формула Мора (інтеграл Мора), яка дає можливість визначити переміщення в будь-якій точці лінійно-деформируемой системи.
У цій формулі подинтегральной твір MiMk позитивно, якщо обидва згинальних моменту мають однаковий знак, і негативно, якщо Mi і Мк мають різні знаки.
Якби ми визначали кутове переміщення в точці А, то в стані i варто було б прикласти в точці А момент, рівний одиниці (без розмірності).
Позначаючи буквою Δ будь-яке переміщення (лінійне або кутове), формулу (інтеграл) Мора напишемо у вигляді
У загальному випадку аналітичний вираз Mi і Мк може бути різним на різних ділянках балки або взагалі пружної системи. Тому замість формули (2) слід користуватися загальною формулою
Якщо стрижні системи працюють не на вигин, а на розтяг (стиск), як, наприклад, для ферм, то формула Мора має вигляд
У цій формулі твір NiNK позитивно, якщо обидва зусилля розтягують або обидва стискаючі. Якщо стрижні одночасно працюють і на вигин і на розтягування (стиснення), то в звичайних випадках, як видно різницю в розрахунки, переміщення можна визначати, враховуючи лише згинальні моменти, так як вплив поздовжніх сил дуже мало.
З тих же міркувань, як зазначалося раніше, у звичайних випадках можна не враховувати впливу поперечних сил.
Замість безпосереднього обчислення інтеграла Мора можна користуватися графо-аналітичним прийомом «способом перемноження епюр», або правилом Верещагіна.
Розглянемо дві епюри згинальних моментів, з яких одна Мк має довільне обрис, а інша Мi прямолінійна (Рис 7.14, а і б).
Перетин стрижня на ділянці АВ будемо вважати постійним. У цьому випадку
Величина MKdz представляє собою елементарну площа dωk епюри Мк (заштрихована на малюнку). Таким чином,
Але
отже,
Але
де МСI - ордината епюри Mi, розташована під центром ваги епюри Мк (під точкою С). Отже,
тобто шуканий інтеграл дорівнює добутку площі епюри Мк (будь-який по обрису) на розташовану під її центром ваги ординату прямолінійною епюри МСI. Значення величини ωкМсi вважається позитивним, якщо обидві епюри розташовуються по один бік стрижня, і негативним, якщо вони розташовуються по різні сторони. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається з напрямком одиничної сили (або моменту).
Необхідно пам'ятати, що ордината МСI береться обов'язково в прямолінійній епюрі. У тому окремому випадку, коли обидві епюри прямолінійні, можна помножити площу будь-якої з них на відповідну ординату інший.
Для стрижнів змінного перерізу правило Верещагіна перемноження епюр не застосовується, так як в цьому випадку вже не можна виносити величину EJ з-під знака інтеграла. У цьому випадку слід висловити EJ як функцію абсциси перетину і потім вже обчислювати інтеграл Мора (1).
При ступінчастому зміні жорсткості стержня інтегрування (або перемножування епюр) виробляють для кожної ділянки окремо (зі своїм значенням EJ) і потім підсумовують результати.
У табл. 1 наведені значення площ деяких найпростіших епюр та координат їх центра ваги.
Таблиця 1
Для прискорення обчислень можна використати готові таблиці множення епюр (табл.2).
У цій таблиці, в клітках на перетині відповідних елементарних епюр, наведені результати перемножування цих епюр.
При розбивці складної епюри на елементарні, представлені в табл. 1 і 7.2, слід мати на увазі, що параболічні епюри отримані від дії тільки однієї розподіленого навантаження.
У тих випадках, коли в складній епюрі криволінійні ділянки виходять від одночасної дії зосереджених моментів, сил і рівномірно розподіленого навантаження, щоб уникнути помилки слід складну епюру попередньо «розшарувати», тобто розбити її на ряд самостійних епюр: від дії зосереджених моментів, зусиль і від дії рівномірно розподіленого навантаження.
Можна також застосувати інший прийом, не вимагає розшарування епюр, а вимагає лише виділення криволінійної частини епюри по хорді, що з'єднує крайні його точки.
Покажемо обидва способи на конкретному прикладі.
Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення лівого кінця балки (рис. 7.15).
Сумарна епюра від навантаження представлена на рис. 7.15, а.
кафедра інженерної графіки
РЕФЕРАТ
на тему:
«ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ МЕТОДОМ МОРУ. ПРАВИЛО ВЕРЕЩАГІНА »
МІНСЬК, 2008
Розглянемо тепер загальний метод визначення переміщень, придатний для будь-якої, лінійно деформується системи при будь-якому навантаженні. Цей метод запропонований видатним німецьким вченим О. Мором.
Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення точки А балки, представленої на рис. 7.13, а. Заданий (вантажне) стан позначимо буквою к. Виберемо допоміжне стан тієї ж балки з одиничною
силою, що діє в точці A і в напрямку шуканого переміщення. Допоміжне стан позначимо буквою i (рис. 7.13,6).
Обчислимо роботу зовнішніх і внутрішніх сил допоміжного стану на переміщеннях, викликаних дією сил вантажного стану.
Робота зовнішніх сил буде дорівнює добутку одиничної сили на шукане переміщення ya
а робота внутрішніх сил за абсолютною величиною дорівнює інтегралу
Маємо
або
Формула (7.33) і є формула Мора (інтеграл Мора), яка дає можливість визначити переміщення в будь-якій точці лінійно-деформируемой системи.
У цій формулі подинтегральной твір MiMk позитивно, якщо обидва згинальних моменту мають однаковий знак, і негативно, якщо Mi і Мк мають різні знаки.
Якби ми визначали кутове переміщення в точці А, то в стані i варто було б прикласти в точці А момент, рівний одиниці (без розмірності).
Позначаючи буквою Δ будь-яке переміщення (лінійне або кутове), формулу (інтеграл) Мора напишемо у вигляді
У загальному випадку аналітичний вираз Mi і Мк може бути різним на різних ділянках балки або взагалі пружної системи. Тому замість формули (2) слід користуватися загальною формулою
Якщо стрижні системи працюють не на вигин, а на розтяг (стиск), як, наприклад, для ферм, то формула Мора має вигляд
У цій формулі твір NiNK позитивно, якщо обидва зусилля розтягують або обидва стискаючі. Якщо стрижні одночасно працюють і на вигин і на розтягування (стиснення), то в звичайних випадках, як видно різницю в розрахунки, переміщення можна визначати, враховуючи лише згинальні моменти, так як вплив поздовжніх сил дуже мало.
З тих же міркувань, як зазначалося раніше, у звичайних випадках можна не враховувати впливу поперечних сил.
Замість безпосереднього обчислення інтеграла Мора можна користуватися графо-аналітичним прийомом «способом перемноження епюр», або правилом Верещагіна.
Розглянемо дві епюри згинальних моментів, з яких одна Мк має довільне обрис, а інша Мi прямолінійна (Рис 7.14, а і б).
Перетин стрижня на ділянці АВ будемо вважати постійним. У цьому випадку
Величина MKdz представляє собою елементарну площа dωk епюри Мк (заштрихована на малюнку). Таким чином,
Але
отже,
Але
де МСI - ордината епюри Mi, розташована під центром ваги епюри Мк (під точкою С). Отже,
тобто шуканий інтеграл дорівнює добутку площі епюри Мк (будь-який по обрису) на розташовану під її центром ваги ординату прямолінійною епюри МСI. Значення величини ωкМсi вважається позитивним, якщо обидві епюри розташовуються по один бік стрижня, і негативним, якщо вони розташовуються по різні сторони. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається з напрямком одиничної сили (або моменту).
Необхідно пам'ятати, що ордината МСI береться обов'язково в прямолінійній епюрі. У тому окремому випадку, коли обидві епюри прямолінійні, можна помножити площу будь-якої з них на відповідну ординату інший.
Для стрижнів змінного перерізу правило Верещагіна перемноження епюр не застосовується, так як в цьому випадку вже не можна виносити величину EJ з-під знака інтеграла. У цьому випадку слід висловити EJ як функцію абсциси перетину і потім вже обчислювати інтеграл Мора (1).
При ступінчастому зміні жорсткості стержня інтегрування (або перемножування епюр) виробляють для кожної ділянки окремо (зі своїм значенням EJ) і потім підсумовують результати.
У табл. 1 наведені значення площ деяких найпростіших епюр та координат їх центра ваги.
Таблиця 1
| Вид епюри | Площа епюри | Відстань до центру ваги |
У цій таблиці, в клітках на перетині відповідних елементарних епюр, наведені результати перемножування цих епюр.
При розбивці складної епюри на елементарні, представлені в табл. 1 і 7.2, слід мати на увазі, що параболічні епюри отримані від дії тільки однієї розподіленого навантаження.
У тих випадках, коли в складній епюрі криволінійні ділянки виходять від одночасної дії зосереджених моментів, сил і рівномірно розподіленого навантаження, щоб уникнути помилки слід складну епюру попередньо «розшарувати», тобто розбити її на ряд самостійних епюр: від дії зосереджених моментів, зусиль і від дії рівномірно розподіленого навантаження.
Можна також застосувати інший прийом, не вимагає розшарування епюр, а вимагає лише виділення криволінійної частини епюри по хорді, що з'єднує крайні його точки.
Покажемо обидва способи на конкретному прикладі.
Нехай, наприклад, потрібно визначити вертикальне переміщення лівого кінця балки (рис. 7.15).
Сумарна епюра від навантаження представлена на рис. 7.15, а.
Таблиця 7.2
| Mi Mk | |||||||||
Епюра від дії одиничної сили в точці А представлена на рис. 7.15, р.
Для визначення вертикального переміщення в точці А необхідно перемножити епюру від навантаження на епюру від одиничної сили. Однак помічаємо, що на ділянці ВС сумарною епюри криволінійна епюра отримана не тільки від дії рівномірно розподіленого навантаження, але також і від дії зосередженої сили Р. В результаті на ділянці ВС вже буде не елементарна параболічна епюра, наведена в таблицях 7.1 та 7.2, а за суті складна епюра, для якої дані цих таблиць недійсні.
Тому необхідно провести розшарування складної епюри за рис. 7.15, а на елементарні епюри, представлені на рис. 7.15, б і 7.15, ст.
Епюра за рис. 7.15, б отримана тільки від зосередженої сили, епюра за рис. 7.15, в - тільки від дії рівномірно розподіленого навантаження.
Тепер можна перемножити епюри, використовуючи табл. 1 або 2.
Для цього необхідно перемножити трикутну епюру за рис. 7.15, б на трикутну епюру за рис. 7.15, г і додати до цього результат перемноження параболічної епюри на рис. 7.15, в на трапецієподібний епюру ділянки ВС за рис. 7.15, г, так як на ділянці АВ ординати епюри за рис. 7.15, в дорівнюють нулю.
Покажемо тепер другий спосіб перемноження епюр. Розглянемо знову епюру за рис. 7.15, а. Приймемо початок відліку в перерізі В. Покажемо, що в межах кривої LMN згинальні моменти можуть бути отримані як алгебраїчна сума згинальних моментів, відповідних прямий LN, і згинальних моментів параболічної епюри LNML, такий же, як і для простої балки довжиною а, завантаженої рівномірно розподіленої навантаженням q:
Найбільша ордината посередині буде дорівнює
Для доказу напишемо фактичне вираз згинального моменту в перерізі на відстані z від точки В
Напишемо тепер вираз згинального моменту в тому ж перерізі, отримане як алгебраїчна сума ординат прямий LN і параболи LNML.
Рівняння прямої LN
де k - тангенс кута нахилу цієї прямої
Отже, рівняння згинальних моментів, отримане як алгебраїчна сума рівняння прямої LN і параболи LNMN має вигляд
що збігається з виразом (А).
При перемножуванні епюр за правилом Верещагіна слід перемножити трапецію BLNC на трапецію з одиничною епюри на ділянці ВС (див. рис. 7.15, г) і відняти результат перемноження параболічної епюри LNML (площею
Приклад 7.7. Визначити вертикальне і кутове переміщення консольної балки в місці прикладання навантаження (рис. 7.16).
Рішення. Будуємо епюру згинальних моментів для вантажного стану (рис. 7.16, а).
Для визначення вертикального переміщення вибираємо допоміжне стан балки з одиничною силою в точці прикладання навантаження.
Будуємо епюру згинальних моментів від цієї сили (рис. 7.16, б). Визначаємо вертикальне переміщення за способом Мора
Значення згинального моменту від навантаження
Значення згинального моменту від одиничної сили
Підставляємо ці значення МР і Mi під знак інтеграла та інтегруємо
Цей же результат був раніше отриманий іншим способом.
Позитивне значення прогину показує, що точка докладання навантаження Р переміщається вниз (у напрямку одиничної сили). Якщо б ми одиничну силу направили знизу вгору, то мали б Mi = 1z і в результаті інтегрування отримали б прогин зі знаком мінус. Знак мінус показував би, що переміщення відбувається не вгору, а вниз, як це і є насправді.
Обчислимо тепер інтеграл Мора шляхом перемноження епюр за правилом Верещагіна.
Так як обидві епюри прямолінійні, то байдуже, з якої епюри брати площу і з якої - ординату.
Площа вантажний епюри дорівнює
Центр ваги цієї епюри розташований на відстані 1/3l від закладення. Визначаємо ординату епюри моментів від одиничної сили, розташовану під
центром ваги вантажний епюри. Легко переконатися, що вона дорівнює 1/3l.
Отже.
Той же результат виходить і за таблицею інтегралів. Результат множення епюр позитивний, так як обидві епюри розташовуються знизу стрижня. Отже, точка прикладання навантаження зміщується вниз, тобто по прийнятому напрямку одиничної сили.
Для визначення кутового переміщення (кута повороту) вибираємо допоміжне стан балки, в якому на кінці балки діє зосереджений момент, рівний одиниці.
Будуємо епюру згинальних моментів для цього випадку (рис. 7.16, в). Визначаємо кутове переміщення, перемножая епюри. Площа вантажний епюри
Ординати епюри від одиничного моменту скрізь рівні одиниці., Отже, шуканий кут повороту перерізу дорівнює
Так як обидві епюри розташовані знизу, то результат перемноження епюр позитивний. Таким чином, кінцеві перетин балки повертається за годинниковою стрілкою (по напрямку одиничного моменту).
Приклад: Визначити за способом Мора - Верещагіна прогин в точці D для балки, зображеної на рис. 7.17 ..
Рішення. Будуємо розшарування епюру моментів від навантаження, тобто будуємо окремі епюри від дії кожної навантаження. При цьому для зручності перемноження епюр доцільно будувати розшаровані (елементарні) епюри щодо перетину, прогин якого визначається в даному випадку щодо перетину D.
На рис. 7.17, а представлена епюра згинальних моментів від реакції А (ділянка AD) і від навантаження Р = 4 Т (ділянка DC). Епюри будуються на стислому волокні.
На рис. 7.17, б представлені епюри моментів від реакції В (ділянка BD), від лівої рівномірно розподіленого навантаження (ділянка AD) і від рівномірно розподіленого навантаження, що діє на ділянці ВС. Ця епюра зображена на рис. 7.17, б на ділянці DC знизу.
Далі вибираємо допоміжне стан балки, для чого в точці D, де визначається прогин, докладаємо одиничну силу (рис. 7.17, в). Епюра моментів від одиничної сили зображена на рис. 7.17, р. Тепер перемножимо епюри з 1 по 7 на епюри 8 і 9, користуючись таблицями перемноження епюр, з урахуванням знаків.
При цьому епюри, розташовані з одного боку балки, перемножуються зі знаком плюс, а епюри, розташовані по різні боки балки, перемножуються зі знаком мінус.
При перемножуванні епюри 1 і епюри 8 отримаємо
Перемножая епюру 5 на епюру 8, отримаємо
Перемноження епюр 2 і 9 дає
Перемножуємо епюри 4 і 9
Перемножуємо епюри 6 і 9
Підсумовуючи результати перемноження епюр, отримаємо
Знак мінус показує, що точка D переміщається не вниз, як спрямована одинична сила, а вгору.
Цей же результат був отриманий раніше за універсальним рівнянню.
Звичайно, в даному прикладі можна було розшарувати епюру тільки на ділянці AD, так як на ділянці DB сумарна епюра прямолінійна і її немає чого розшаровуватися. На ділянці ВС розшарування не потрібно, тому що від одиничної сили на цій ділянці епюра дорівнює нулю. Розшарування епюри на ділянці ЗС необхідно для визначення прогину в точці С.
Приклад. Визначити вертикальне, горизонтальне і кутове переміщення перерізу А ламаного стержня, представленого на рис. 7.18, а. Жорсткість перерізу вертикальної ділянки стрижня - EJ1 жорсткість перерізу горизонтальної ділянки - EJ2.
Рішення. Будуємо епюру згинальних моментів від навантаження. Вона представлена на рис. 7.18, б (див. приклад 6.9). Для визначення вертикального переміщення перерізу А вибираємо допоміжне стан системи, представлене на рис. 7.18, ст. У точці А прикладена одинична вертикальна сила, спрямована вниз.
Епюра згинаючих моментів для цього стану представлена на рис. 7.18, ст.
Визначаємо вертикальне переміщення за методом Мора, використовуючи спосіб перемноження епюр. Так як на вертикальному стрижні в допоміжному стані епюра М1 відсутній, то перемножуємо тільки епюри, пов'язані з горизонтального стрижня. Площа епюри беремо з вантажного стану, а ординату - з допоміжного. Вертикальне переміщення одно
Так як обидві епюри розташовані знизу, то результат перемноження беремо зі знаком плюс. Отже, точка А переміщується вниз, тобто так, як спрямована одинична вертикальна сила.
Для визначення горизонтального переміщення точки А вибираємо допоміжне стан з горизонтальною одиничної силою, направленої ліворуч (рис. 7.18, г). Епюра моментів на цей випадок там же представлена.
Перемножуємо епюри Мp і М2 і отримуємо
Результат множення епюр позитивний, так як перемножуваних епюри розташовуються на одній і тій же стороні стрижнів.
Для визначення кутового переміщення вибираємо допоміжне стан системи за рис. 7.18,5 і будуємо епюру згинальних моментів для цього стану (на тому ж малюнку). Перемножуємо епюри МР і М3:
Результат множення позитивний, так як перемножуваних епюри розташовуються з одного боку.
Отже, перетин A повертається за годинниковою стрілкою
Ті ж результати вийшли б і при використанні таблиць
перемноження епюр.
Вид деформованого стрижня зображений на рис. 7.18, е, при цьому переміщення сильно збільшені.
ЛІТЕРАТУРА
Феодос'єв В.І. Опір матеріалів. 1986
Біляєв М.М. Опір матеріалів. 1976
Красковський Є.Я., Дружинін Ю.А., Філатова Є.М. Розрахунок і конструювання механізмів приладів та обчислювальних систем. 1991
Работнов Ю.М. Механіка деформівного твердого тіла. 1988
Стьопін П.А. Опір матеріалів. 1990
Для визначення вертикального переміщення в точці А необхідно перемножити епюру від навантаження на епюру від одиничної сили. Однак помічаємо, що на ділянці ВС сумарною епюри криволінійна епюра отримана не тільки від дії рівномірно розподіленого навантаження, але також і від дії зосередженої сили Р. В результаті на ділянці ВС вже буде не елементарна параболічна епюра, наведена в таблицях 7.1 та 7.2, а за суті складна епюра, для якої дані цих таблиць недійсні.
Тому необхідно провести розшарування складної епюри за рис. 7.15, а на елементарні епюри, представлені на рис. 7.15, б і 7.15, ст.
Епюра за рис. 7.15, б отримана тільки від зосередженої сили, епюра за рис. 7.15, в - тільки від дії рівномірно розподіленого навантаження.
Тепер можна перемножити епюри, використовуючи табл. 1 або 2.
Для цього необхідно перемножити трикутну епюру за рис. 7.15, б на трикутну епюру за рис. 7.15, г і додати до цього результат перемноження параболічної епюри на рис. 7.15, в на трапецієподібний епюру ділянки ВС за рис. 7.15, г, так як на ділянці АВ ординати епюри за рис. 7.15, в дорівнюють нулю.
Покажемо тепер другий спосіб перемноження епюр. Розглянемо знову епюру за рис. 7.15, а. Приймемо початок відліку в перерізі В. Покажемо, що в межах кривої LMN згинальні моменти можуть бути отримані як алгебраїчна сума згинальних моментів, відповідних прямий LN, і згинальних моментів параболічної епюри LNML, такий же, як і для простої балки довжиною а, завантаженої рівномірно розподіленої навантаженням q:
Найбільша ордината посередині буде дорівнює
Для доказу напишемо фактичне вираз згинального моменту в перерізі на відстані z від точки В
Напишемо тепер вираз згинального моменту в тому ж перерізі, отримане як алгебраїчна сума ординат прямий LN і параболи LNML.
Рівняння прямої LN
де k - тангенс кута нахилу цієї прямої
Отже, рівняння згинальних моментів, отримане як алгебраїчна сума рівняння прямої LN і параболи LNMN має вигляд
що збігається з виразом (А).
При перемножуванні епюр за правилом Верещагіна слід перемножити трапецію BLNC на трапецію з одиничною епюри на ділянці ВС (див. рис. 7.15, г) і відняти результат перемноження параболічної епюри LNML (площею
Приклад 7.7. Визначити вертикальне і кутове переміщення консольної балки в місці прикладання навантаження (рис. 7.16).
Рішення. Будуємо епюру згинальних моментів для вантажного стану (рис. 7.16, а).
Для визначення вертикального переміщення вибираємо допоміжне стан балки з одиничною силою в точці прикладання навантаження.
Будуємо епюру згинальних моментів від цієї сили (рис. 7.16, б). Визначаємо вертикальне переміщення за способом Мора
Значення згинального моменту від навантаження
Значення згинального моменту від одиничної сили
Підставляємо ці значення МР і Mi під знак інтеграла та інтегруємо
Цей же результат був раніше отриманий іншим способом.
Позитивне значення прогину показує, що точка докладання навантаження Р переміщається вниз (у напрямку одиничної сили). Якщо б ми одиничну силу направили знизу вгору, то мали б Mi = 1z і в результаті інтегрування отримали б прогин зі знаком мінус. Знак мінус показував би, що переміщення відбувається не вгору, а вниз, як це і є насправді.
Обчислимо тепер інтеграл Мора шляхом перемноження епюр за правилом Верещагіна.
Так як обидві епюри прямолінійні, то байдуже, з якої епюри брати площу і з якої - ординату.
Площа вантажний епюри дорівнює
Центр ваги цієї епюри розташований на відстані 1/3l від закладення. Визначаємо ординату епюри моментів від одиничної сили, розташовану під
центром ваги вантажний епюри. Легко переконатися, що вона дорівнює 1/3l.
Отже.
Той же результат виходить і за таблицею інтегралів. Результат множення епюр позитивний, так як обидві епюри розташовуються знизу стрижня. Отже, точка прикладання навантаження зміщується вниз, тобто по прийнятому напрямку одиничної сили.
Для визначення кутового переміщення (кута повороту) вибираємо допоміжне стан балки, в якому на кінці балки діє зосереджений момент, рівний одиниці.
Будуємо епюру згинальних моментів для цього випадку (рис. 7.16, в). Визначаємо кутове переміщення, перемножая епюри. Площа вантажний епюри
Ординати епюри від одиничного моменту скрізь рівні одиниці., Отже, шуканий кут повороту перерізу дорівнює
Так як обидві епюри розташовані знизу, то результат перемноження епюр позитивний. Таким чином, кінцеві перетин балки повертається за годинниковою стрілкою (по напрямку одиничного моменту).
Приклад: Визначити за способом Мора - Верещагіна прогин в точці D для балки, зображеної на рис. 7.17 ..
Рішення. Будуємо розшарування епюру моментів від навантаження, тобто будуємо окремі епюри від дії кожної навантаження. При цьому для зручності перемноження епюр доцільно будувати розшаровані (елементарні) епюри щодо перетину, прогин якого визначається в даному випадку щодо перетину D.
На рис. 7.17, а представлена епюра згинальних моментів від реакції А (ділянка AD) і від навантаження Р = 4 Т (ділянка DC). Епюри будуються на стислому волокні.
На рис. 7.17, б представлені епюри моментів від реакції В (ділянка BD), від лівої рівномірно розподіленого навантаження (ділянка AD) і від рівномірно розподіленого навантаження, що діє на ділянці ВС. Ця епюра зображена на рис. 7.17, б на ділянці DC знизу.
Далі вибираємо допоміжне стан балки, для чого в точці D, де визначається прогин, докладаємо одиничну силу (рис. 7.17, в). Епюра моментів від одиничної сили зображена на рис. 7.17, р. Тепер перемножимо епюри з 1 по 7 на епюри 8 і 9, користуючись таблицями перемноження епюр, з урахуванням знаків.
При цьому епюри, розташовані з одного боку балки, перемножуються зі знаком плюс, а епюри, розташовані по різні боки балки, перемножуються зі знаком мінус.
При перемножуванні епюри 1 і епюри 8 отримаємо
Перемножая епюру 5 на епюру 8, отримаємо
Перемноження епюр 2 і 9 дає
Перемножуємо епюри 4 і 9
Перемножуємо епюри 6 і 9
Підсумовуючи результати перемноження епюр, отримаємо
Знак мінус показує, що точка D переміщається не вниз, як спрямована одинична сила, а вгору.
Цей же результат був отриманий раніше за універсальним рівнянню.
Звичайно, в даному прикладі можна було розшарувати епюру тільки на ділянці AD, так як на ділянці DB сумарна епюра прямолінійна і її немає чого розшаровуватися. На ділянці ВС розшарування не потрібно, тому що від одиничної сили на цій ділянці епюра дорівнює нулю. Розшарування епюри на ділянці ЗС необхідно для визначення прогину в точці С.
Приклад. Визначити вертикальне, горизонтальне і кутове переміщення перерізу А ламаного стержня, представленого на рис. 7.18, а. Жорсткість перерізу вертикальної ділянки стрижня - EJ1 жорсткість перерізу горизонтальної ділянки - EJ2.
Рішення. Будуємо епюру згинальних моментів від навантаження. Вона представлена на рис. 7.18, б (див. приклад 6.9). Для визначення вертикального переміщення перерізу А вибираємо допоміжне стан системи, представлене на рис. 7.18, ст. У точці А прикладена одинична вертикальна сила, спрямована вниз.
Епюра згинаючих моментів для цього стану представлена на рис. 7.18, ст.
Визначаємо вертикальне переміщення за методом Мора, використовуючи спосіб перемноження епюр. Так як на вертикальному стрижні в допоміжному стані епюра М1 відсутній, то перемножуємо тільки епюри, пов'язані з горизонтального стрижня. Площа епюри беремо з вантажного стану, а ординату - з допоміжного. Вертикальне переміщення одно
Так як обидві епюри розташовані знизу, то результат перемноження беремо зі знаком плюс. Отже, точка А переміщується вниз, тобто так, як спрямована одинична вертикальна сила.
Для визначення горизонтального переміщення точки А вибираємо допоміжне стан з горизонтальною одиничної силою, направленої ліворуч (рис. 7.18, г). Епюра моментів на цей випадок там же представлена.
Перемножуємо епюри Мp і М2 і отримуємо
Результат множення епюр позитивний, так як перемножуваних епюри розташовуються на одній і тій же стороні стрижнів.
Для визначення кутового переміщення вибираємо допоміжне стан системи за рис. 7.18,5 і будуємо епюру згинальних моментів для цього стану (на тому ж малюнку). Перемножуємо епюри МР і М3:
Результат множення позитивний, так як перемножуваних епюри розташовуються з одного боку.
Отже, перетин A повертається за годинниковою стрілкою
Ті ж результати вийшли б і при використанні таблиць
перемноження епюр.
Вид деформованого стрижня зображений на рис. 7.18, е, при цьому переміщення сильно збільшені.
ЛІТЕРАТУРА
Феодос'єв В.І. Опір матеріалів. 1986
Біляєв М.М. Опір матеріалів. 1976
Красковський Є.Я., Дружинін Ю.А., Філатова Є.М. Розрахунок і конструювання механізмів приладів та обчислювальних систем. 1991
Работнов Ю.М. Механіка деформівного твердого тіла. 1988
Стьопін П.А. Опір матеріалів. 1990