Визначення моментів інерції тіл методом тріфілярного підвісу

Міністерство освіти РФ

Рязанська державна радіотехнічна академія

Кафедра ОіЕФ

Контрольна робота

«Визначення моментів інерції тіл методом тріфілярного підвісу»

Виконав Ампілогов Н.В.

Перевірив Малютін А.Є.

Рязань 2002

Мета роботи

Визначити момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр його мас, експериментально перевірити адитивність моменту інерції і теорему Штейнера.

Прилади й приналежності: тріфілярний підвіс, секундомір, штангенциркуль, лінійка набір тел.

Елементи теорії

Момент інерції тіла є мірою його інерції при обертальному русі і залежить не тільки від маси даного тіла, а й від розподілу даної маси щодо осі обертання.

Момент інерції матеріальної тачки (I) щодо деякої осі дорівнює:

I = mr2, де m - маса матеріальної точки; r - відстань від точки до осі обертання.

У силу адитивності моменту інерції можна записати вираз:

де Ik - момент інерції k-ої частини обертається системи; N - число частин під обертається системі.

Для протяжних тел момент інерції визначається, як сума моментів інерції окремих елементарних об'ємів (dV), на які можна розбити дане тіло і які можна вважати матеріальними точками:

де dm = r dV - маса елементарного об'єму; r - щільність тіла в даній точці. Для однорідних тіл, у яких r - const:

Так, момент інерції однорідного круглого пустотілого циліндра або диска масою m з внутрішнім радіусом R2 щодо осі, що збігається цього геометричною віссю, розрахований за допомогою формули (4), дорівнює:

Тоді:

для суцільного циліндра, у якого R1 = 0, R2 = R.

;

для тонкого кільця, у якого R1 = R2 = R

I = mR2.

Відповідно до визначення моменту інерції одне і те ж тіло щодо різних осей володіє різними моментами інерції, які можуть бути знайдені за теоремою Штейнера:

8) I = I0 + ma2, де I0-момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас тіла; I - момент інерції того ж тіла відносно осі, паралельної попередньої і зміщеною на відстань a від неї; m - маса тіла.

У даній роботі потрібно визначити момент інерції ненавантаженої платформи та платформи з досліджуваними тілами, що дозволяє знайти момент інерції самих тіл і провести перевірку адитивності моменту інерції, а так само переконатися у справедливості теореми Штейнера. Для цього в ній використовується метод тріфілярного підвісу.

Після одноразового виведення даної системи (підвісу або підвісу з вантажем) з положення стійкої рівноваги, поворотом на деякий кут a, система починає здійснювати довільні коливання, період яких залежить моменту інерції системи, а отже і від її маси. Таким чином повну механічну енергію даної системи (E) в довільний момент часу t (і нехтуючи тертям) можна записати так:

де J - момент інерції системи, що складається з платформи і встановленого на ній досліджуваного твердого тіла; w = d a / dt - кутова швидкість системи при повороті її на кут a; M - маса системи (платформи з вантажем або без нього). У формулі (9) - Кінетична енергія обертального руху системи, - Потенційна енергія системи. При (z - z0) - є невелика висота, на яку піднімається система при обертанні чинності перекосу ниток на яких змонтовано тріфілярний підвіс (z0 - висота спочиває платформи; z - висота платформи, що здійснює крутильні коливання, в довільний момент часу).

У наданому після цього самому собі пристрої почнуть відбуватися крутильні коливання, період яких залежить від моменту інерції підвішеною системи. Момент інерції, а отже, і період коливань будуть змінюватися, якщо платформу навантажувати будь-якими тілами.

Координати точки А1 верхнього диска в системі координат, яка вказана на рисунку, рівні: х1 = r; y1 = 0; z1 = 0. Координати ж точки А кріплення нижньої платформи до нитки підвісу в момент часу, коли платформа повернулася на малий кут a, рівні, відповідно,

x = R × cos (a); у = R × sin (a); z = z.

Відстань між точками А та А1 дорівнює довжині нитки підвісу (l), і оскільки при коливаннях платформи довжина ниток не змінюється, то в будь-який момент часу справедливе співвідношення:

З урахуванням зазначених вище координат точок А та А1 на підставі (11) можна написати для довільного значення кута а повороту такий вираз:

Якщо a = 0, то

Тут x = R; у = 0; z = z0 - координати точки А нижньої платформи в момент часу, коли a = 0. Прирівнюючи вирази (12) і (13) і розкриваючи дужки, отримуємо:

Так як кут a малий, то для нього можна використовувати наступні співвідношення:

sin (a) »a;

Використовуючи їх, з (14) для малих кутів a отримуємо:

Враховуючи співвідношення (14), отримуємо:

;

або

Підставивши в (9) знайдене значення (z0-z), маємо

;

або

Диференціюючи вираз (21) за часом і враховуючи, що повна енергія системи Е з плином часу не змінюється, отримуємо:

З останнього виразу випливає:

Позначивши

отримаємо

Це диференціальне рівняння гармонічного осцилятора. Рішення рівняння (25) можна записати у вигляді:

де a 0 - амплітуда коливання; w 0 - циклічна частота коливань.

Період коливань дорівнює:

Вирішивши останнє рівняння щодо J, отримаємо розрахункову формулу:

На підставі (28) за відомими параметрами установки (R, r, z0, М) і виміряним на досвіді періоду коливань можна визначити момент інерції системи.

Розрахункова частина

R = 12,4 × 10-2 м.; R1 = 54,25 × 10-3 м.;

R2 = 49 × 10-3 м.; r = 3,2 × 10-2 м.;

L = 192 × 10-2 м.; mпл = 373 × 10-7 кг.;

D R »0; D R1» 0;

D R2 »0; D r» 0;

D L »0; D mпл» 0;

mтела = 187 × 10-7 кг.; D mтела »0;

№ п / п	1) Визначення J платформи			2) Визначення J тіла			3) Перевірка адитивності моменту інерції			4) Перевірка теорема Штейнера
	N	t, з	D t, з	n	t, з	D t, з	n	t, з	D t, з	n	t, з	D t, з
1	15	69	1,99 × 10-4	15	59	1,99 × 10-4	15	52	1,99 × 10-4	15	59	1,99 × 10-4
2		66			61			54			60
3		70			59			53			58
СР Знач.		68,33			59,67			53			59

Спочатку визначимо періоди Ti коливань системи у всіх випадках зняття показань (див. таблицю).

Ti = tср / n;

1) c. 2) c. 3) c. 4) c.

Використовуючи вимірювання зняті в 1-му випадку, за формулою (28) розрахуємо момент інерції ненавантаженої платформи Jпл:

кг × м2.

Обчислимо значення абсолютної похибки D Jпл:

D Jпл = s Jпл × tст; де tст = 1,95 при P = 0.95

;

Вважаючи, що значення середньоквадратичних похибок m, R, r і L пренебрежимо малі (в силу приведення їх значень за замовчуванням), формулу для обчислення D Jпл можна звести до формули: