Вибіркове спостереження
Зміст
1. Поняття про вибірковому спостереженні.
2. Помилки репрезентативності.
3. Вимірювання помилки вибірки.
4. Визначення необхідної чисельності вибірки.
1. Поняття про вибірковому спостереженні
Вибіркове спостереження є такий вид не суцільного спостереження, при якому обстеження піддається частина одиниць досліджуваної сукупності, що дозволяє по ній отримати дані для характеристики всієї сукупності в цілому.
Вся вивчається сукупність явищ називається генеральною сукупністю (обозн. N)
Та ж частина одиниць, яка відібрана з генеральної сукупності для вибіркового напрямки, називається вибірковою сукупністю (n - одиниць).
Застосування вибіркового методу в замін суцільного дає можливість краще організувати спостереження, забезпечує швидкість проведення спостереження, призводить до економії коштів витрат праці на отримання та обробку інформації.
Вибірковий метод знаходить широке застосування не тільки як самостійний метод статистичного дослідження, але може бути також використаний для прискореної обробки матеріалів суцільного спостереження і перевірки даних суцільних переписів і обліків.
Завдання формування вибіркової сукупності полягає в тому, що середні і відносні показники, що характеризують цю сукупність, з достатньою точністю відображали відповідні середні і відносні показники генеральної сукупності.
Середня або відносна величина (частка) ознаки у генеральній сукупності називаються генеральними, а середня або відносна величина (частка) ознаки у вибірковій сукупності називаються вибірковими.
Відповідно і дисперсія в генеральній сукупності називається генеральної (s 2), а вибіркової сукупності називається вибіркової (s 0 2).
Наведемо приклад розрахунку показників для генеральної і для вибіркової сукупності.
Покладемо, що з 300 однакових за площею посіву ділянок, що мають різну врожайність ярої пшениці, відібрано у випадковому порядку 30 ділянок (10% від усієї сукупності) - складових вибіркову сукупність. Дані в таблиці 1.
Розподіл ділянки по врожайності ярої пшениці.
Визначимо за цими даними середню врожайність, дисперсію врожайності і частку ділянок з урожайністю в 15 і більше ц з га для генеральної і для вибіркової сукупності.
а) Для генеральної сукупності:
середня урожайність:
дисперсія врожайності:
частка ділянок з урожайністю 15 і більше ц з 1 га:
б) Для вибіркової сукупності:
середня урожайність:
дисперсія врожайності:
частка ділянок з урожайністю 15 і більше ц з 1 га (для вибіркової сукупності частка позн. - v)
При зіставленні показників вибіркової та генеральної сукупностей виявилося, що характеристики вибіркової сукупності не збігаються з характеристиками генеральної сукупності. Середня врожайність по вибірці на 0,1 ц з га менше ніж по генеральній сукупності; не збігаються також величини дисперсії врожайності (0,5 ц і 0,49 ц) і частки ділянок з урожайністю 15 і більше ц з га (73% і 80 %).
У порівнянні з генеральною сукупністю характеристики вибіркової сукупності можуть мати деякі неточності. Ці неточності в загальних випадках можуть бути більше; в інших - менше. Розміри цих неточностей залежать від того, наскільки точно відібрана частина відтворює або, як кажуть, репрезентує всю сукупність досліджуваних явищ.
2. Помилки репрезентативності
- Помилки реєстрації;
- Помилки репрезентативності.
Помилки реєстрації властиві всякому статистичному спостереженню і їх поява може бути викликано недосконалістю вимірювальних приладів, недостатньою кваліфікацією спостерігача, недостатньою точністю підрахунків і т.п. Можна вважати, що в порівнянні з сілошнимі спостереженнями небезпека виникнення помилок реєстрації при вибірковому спостереженні повинна бути менше, так як вони проводяться більш кваліфікованими працівниками.
Значно зменшується при вибірковому спостереженні і небезпека навмисних спотворень даних, так як спеціально підібрані і навчені спостерігачі в них не зацікавлені.
Помилками репрезентативності називають розбіжності між середніми величинами або частками ознаки вибіркової і генеральної сукупності. Вони притаманні тільки несілошним спостереженнями. Помилки репрезентативності можуть бути:
- Систематичними;
- Випадковими.
Систематичними називаються помилки, які виникають через порушення наукового принципу відбору одиниць у вибіркову сукупність. Вони виникають у тих випадках, коли в результаті непрпавільного відбору у вибіркову сукупність потрапили найкращі чи найгірші одиниці.
У результаті такого відбору середні і відносні показники, отримані за вибіркової сукупності, будуть спотворено характеризувати генеральну сукупність.
Випадкові помилки репрезентативності - це неточності, які виникають через те, що вибіркова сукупність не зовсім правильно відображає середні величини і величини частки ознаки генеральної сукупності. Такі помилки виникають навіть при самому строгому дотриманні принципів і правил відбору одиниць у вибіркову сукупність.
Помилки репрезентативності властиві тільки вибіркового спостереження. Вони не можуть бути повністю усунені, але вони можуть бути доведені до незначних розмірів, якщо відповідним чином організувати відбір одиниць у вибіркову сукупність.
Межі помилок репрезентативності можна визначити з достатнім ступенем точності на підставі ряду теорем в теорії ймовірності та математичної статистики.
Виключно важливу роль для обгрунтування та застосування вибіркового спостереження відіграє закон великих чисел. Використання закони великих чисел полягає в тому, що при певних умовах і при досить великому обсязі спостережень зведені характеристики, отримані на основі вибіркового спостереження, будуть мало відрізнятися від відповідних характеристик генеральної довіреності. Грунтуючись на цьому, можна, збільшуючи обсяг вибіркової сукупності, зменшити межі можливих помилок репрезентативності, довести їх до найменших розмірів. З іншого боку, знаючи межі помилок репрезентативності, можна визначити необхідну чисельність вибіркової сукупності.
3. Вимірювання помилки вибірки
Величина помилки вибірки залежить від чисельності вибіркової сукупності і від ступеня коливання досліджуваного ознаки.
Залежність величини помилки вибірки: одна формула застосовується при вибірковому визначенні середньої величини ознаки, а інша - при вибірковому визначенні частки ознаки. Докази і виведення цих формул даються в курсах математичної статистики.
Формула середньої помилки вибірки при визначенні середньої величини ознаки має наступний вигляд:
де m - середня помилка вибірки;
s 2 - дисперсія ознаки у генеральній сукупності;
n - число одиниць у вибірковій сукупності.
Отже, середня помилка вибірки дорівнює кореню квадратному з дисперсії ознаки, поділеній на чисельність вибіркової сукупності. Це означає, що помилка вибірки зменшується при зменшенні колеблемости ознаки, а також при збільшенні вибіркової сукупності. Це означає також, що при зменшенні колеблемости ознаки можна зменшити обсяг вибірки.
Формула середньої помилки вибірки при визначенні частки ознаки така:
де m - середня помилка вибірки;
p-частка ознаки у генеральній сукупності;
n - число одиниць у вибірковій сукупності.
Вищенаведені формули помилки вибірки застосовуються, коли відбір одиниць у вибіркову сукупність проводиться в порядку випадкової повторної вибірки. Повторна вибірка називається тому, що кожна з одиниць, відібрана з генеральної сукупності, після реєстрації її ознак повертається назад і може при кожному наступному відборі потрапити до вибірки ще раз, тобто повторно. Практично випадкова повторна вибірка зустрічається порівняно рідко. Здебільшого мають справу з випадковою вибіркою бесповторного. Бесповторного вибірка називається тому, що кожна з одиниць після реєстрації її ознак назад не повертається і в подальшому вже у відборі не існує.
При бесповторного вибірці скорочується чисельність одиниць генеральної сукупності. Тому при визначенні помилки вибіркової середньої і частки ознаки при бесповторном відборі повинна бути врахована чисельність генеральної сукупності і частка вибірки.
Генеральну сукупність позначимо через N, тоді частка вибіркової сукупності n, буде дорівнювати
для визначення помилки вибіркової середньої:
для визначення помилки вибіркової частки:
Додатковий множник
Покажемо розрахунок помилки вибіркової середньої і частки ознаки за даними, наведеними в табл.1.
Відбір ділянок у прикладі проводиться за схемою бесповторного вибірки. З 300 ділянок було відібрано 30, тобто частка ділянок, що потрапили у вибіркову сукупність становила
Визначимо помилку середньої врожайності по ділянках, що потрапили у вибірку:
Отримана величина помилки вибірки показує, що середня врожайність на ділянках, що потрапили в 10% вибірку, може на ± 0,12 ц з 1 га відрізнятися від генеральної середньої, або, інакше кажучи, можна очікувати, що середня врожайність у генеральній сукупності буде знаходиться між 15,12 (15 +0,12) і 14,88 (15-0,12) ц з 1 га.
Помилка вибіркової частки - частки ділянок з урожайністю 15 і більше центнерів з 1 га:
Отримана величина помилки вибірки показує, що частка ділянок з урожайністю 15 ц з 1 га в загальному числі ділянок може відхилятися на ± 0,07 від частки ділянок з подібною врожайністю у всій генеральної сукупності.
Можна очікувати, що частка ділянок з урожайністю 15 і більше ц з 1 га буде знаходиться в генеральній сукупності між 0,80 (0,73 +0,07) і 0,66 (0,73-0,07).
При цьому виникає питання: чи обов'язково або лише з певним ступенем ймовірності середня або частка в генеральній сукупності розташуються в діапазонах, визначених середньої помилкою вибірки, з імовірністю 0,683.
Це нас підводить до ще одним показником помилки вибірки - граничної помилки вибірки.
Гранична помилка вибірки - показник, що характеризує діапазон, в якому по обидва боки від вибіркової середньої або вибіркової частки розташуються значення генеральної середньої чи генеральної частки, що гарантуються з певним ступенем імовірності.
Формула граничної помилки вибірки:
D = tm,
де D (дельта) - величина попереднього. помилки вибірки із заданою вірогідністю;
t - коефіцієнт довіри, которорму відповідають ймовірності граничної помилки вибірки;
m - середня помилка вибірки.
Величини ймовірності, відповідні коефіцієнтам довіри, встановлюються математичною статистикою. Так, наприклад, t = 1 відповідає ймовірність 0,683; t = 2 відповідає ймовірність 0,954; t = 3 - ймовірність 0,997 і т.д.
Якщо нам треба діапазон, в якому розташуються генеральна середня і генеральна частка, визначити з великим ступенем ймовірності, то цей діапазон повинен бути розширений. Так, наприклад, якщо ми повинні ймовірність визначення цього діапазону в умовах нашого прикладу довести до 0,997, то середню помилку вибірки треба помножити на t = 3,
D = tm = ± 0,12 ц з 1 га '3 = ± 0,36 ц з 1 га.
Це означає, що з ймовірністю, яка дорівнює 0,997, можна гарантувати, що середня врожайність генеральної сукупності розташується між 15,36 ц (15,0 +0,36) і 14,64 ц з 1 га (15,0 - 0,36) .
Формули граничних помилок вибірки:
при повторному відборі:
а) для середньої D = tm = t
б) для частки D = tm = t
при бесповторном відборі:
а) для середньої D = tm = t
б) для частки D = tm = t
4. Визначення необхідної чисельності вибірки
Однією з найбільш важливих і відповідальних завдань при організації та проведенні вибіркового спостереження є встановлення необхідної чисельності вибіркової сукупності, тобто такий її чисельності, яка забезпечувала б отримання даних, досить правильно відбивають досліджувані властивості генеральної сукупності.
При цьому має бути враховано: 1) з яким ступенем точності слід отримати граничну похибку вибірки, 2) яка повинна бути ймовірність того, що буде забезпечена обумовлена точність результатів вибіркового спостереження; 3) ступінь коливання досліджуваних властивостей у досліджуваній генеральній сукупності.
Це означає, що необхідна чисельність вибірки (n) встановлюється в залежності від розмірів граничної помилки вибірки (D), від величини коефіцієнта довіри (t) і від розмірів величини дисперсії (s 2).
Самі формули необхідної чисельності вибірки виводяться з формул граничної помилки вибірки наступним чином:
При повторному відборі:
а) для середньої
у формулі граничної помилки вибірки
D = t
обидві її сторони зводимо в квадрат
D 2 = t 2
звідки
D 2 =
і потім
n =
Таким чином, необхідна чисельність вибіркової сукупності дорівнює добутку квадрата коефіцієнта довіри і дисперсії ознаки, поділеній на квадрат граничної помилки вибірки.
б) для частки:
у формулі граничної помилки вибірки:
D = t
обидві її сторони зводимо в квадрат і отримаємо:
D 2 = t 2
звідки
D 2 =
і потім
n =
Таким чином, в цьому випадку необхідна чисельність вибіркової сукупності дорівнює добутку квадрата коефіцієнта довіри і дисперсії частки, поділеній на квадрат граничної помилки вибірки.
При бесповторном відборі:
а) для середньої
у формулі граничної помилки вибірки
D = t
після ряду перетворень отримуємо:
n =
б) для частки:
з формули граничної помилки вибірки:
D = t
після ряду перетворень отримуємо:
n =
Приклад визначення необхідної чисельності вибіркової сукупності виходячи з умов повторного відбору. Припустимо, що з ймовірністю 0,954 потрібно визначити фактичний середній діаметр випускається в одному з цехів деталі за умови, що гранична помилка вибірки не повинна перевищувати 0,2 см і знаючи, що дисперсія розмірів діаметра деталі становить 0,5 см. Таким чином:
D = 0,2; s 2 = 0,5; t = 2.
У цих умовах:
n =
Отже, на вибірку в порядку випадкового відбору має бути відібрана 50 деталей. Якщо всього вироблено 5000 таких деталей, то частка вибірки становить
Так як в даному прикладі частка вибірки дуже невелика, то розрахунок, отриманий за формулою повторної вибірки, може бути застосований і для вибірки бесповторного. Таким чином, для вибіркової перевірки повинна бути відібрана кожна 100-та деталь.
Зміст
1. Поняття про вибірковому спостереженні.
2. Помилки репрезентативності.
3. Вимірювання помилки вибірки.
4. Визначення необхідної чисельності вибірки.
1. Поняття про вибірковому спостереженні
Вибіркове спостереження є такий вид не суцільного спостереження, при якому обстеження піддається частина одиниць досліджуваної сукупності, що дозволяє по ній отримати дані для характеристики всієї сукупності в цілому.
Вся вивчається сукупність явищ називається генеральною сукупністю (обозн. N)
Та ж частина одиниць, яка відібрана з генеральної сукупності для вибіркового напрямки, називається вибірковою сукупністю (n - одиниць).
Застосування вибіркового методу в замін суцільного дає можливість краще організувати спостереження, забезпечує швидкість проведення спостереження, призводить до економії коштів витрат праці на отримання та обробку інформації.
Вибірковий метод знаходить широке застосування не тільки як самостійний метод статистичного дослідження, але може бути також використаний для прискореної обробки матеріалів суцільного спостереження і перевірки даних суцільних переписів і обліків.
Завдання формування вибіркової сукупності полягає в тому, що середні і відносні показники, що характеризують цю сукупність, з достатньою точністю відображали відповідні середні і відносні показники генеральної сукупності.
Середня або відносна величина (частка) ознаки у генеральній сукупності називаються генеральними, а середня або відносна величина (частка) ознаки у вибірковій сукупності називаються вибірковими.
Відповідно і дисперсія в генеральній сукупності називається генеральної (s 2), а вибіркової сукупності називається вибіркової (s 0 2).
Наведемо приклад розрахунку показників для генеральної і для вибіркової сукупності.
Покладемо, що з 300 однакових за площею посіву ділянок, що мають різну врожайність ярої пшениці, відібрано у випадковому порядку 30 ділянок (10% від усієї сукупності) - складових вибіркову сукупність. Дані в таблиці 1.
Розподіл ділянки по врожайності ярої пшениці.
| Групи ділянок по врожайності, (ц з га) | число ділянок | |
| Всього (Генер. сукупно.) | У т. числі відібрано (виборочн. сукупно.) | |
| 14 | 60 | 8 |
| 15 | 150 | 15 |
| 16 | 90 | 7 |
| Разом | 300 | 30 |
а) Для генеральної сукупності:
середня урожайність:
дисперсія врожайності:
частка ділянок з урожайністю 15 і більше ц з 1 га:
б) Для вибіркової сукупності:
середня урожайність:
дисперсія врожайності:
частка ділянок з урожайністю 15 і більше ц з 1 га (для вибіркової сукупності частка позн. - v)
При зіставленні показників вибіркової та генеральної сукупностей виявилося, що характеристики вибіркової сукупності не збігаються з характеристиками генеральної сукупності. Середня врожайність по вибірці на 0,1 ц з га менше ніж по генеральній сукупності; не збігаються також величини дисперсії врожайності (0,5 ц і 0,49 ц) і частки ділянок з урожайністю 15 і більше ц з га (73% і 80 %).
У порівнянні з генеральною сукупністю характеристики вибіркової сукупності можуть мати деякі неточності. Ці неточності в загальних випадках можуть бути більше; в інших - менше. Розміри цих неточностей залежать від того, наскільки точно відібрана частина відтворює або, як кажуть, репрезентує всю сукупність досліджуваних явищ.
2. Помилки репрезентативності
Між характеристиками вибіркової сукупності і шуканими параметрами генеральної сукупності, як правило, існує деяка розбіжність, яке називають помилкою.
Загальна величина можливої помилки вибірки складається з помилок двоякого роду:- Помилки реєстрації;
- Помилки репрезентативності.
Помилки реєстрації властиві всякому статистичному спостереженню і їх поява може бути викликано недосконалістю вимірювальних приладів, недостатньою кваліфікацією спостерігача, недостатньою точністю підрахунків і т.п. Можна вважати, що в порівнянні з сілошнимі спостереженнями небезпека виникнення помилок реєстрації при вибірковому спостереженні повинна бути менше, так як вони проводяться більш кваліфікованими працівниками.
Значно зменшується при вибірковому спостереженні і небезпека навмисних спотворень даних, так як спеціально підібрані і навчені спостерігачі в них не зацікавлені.
Помилками репрезентативності називають розбіжності між середніми величинами або частками ознаки вибіркової і генеральної сукупності. Вони притаманні тільки несілошним спостереженнями. Помилки репрезентативності можуть бути:
- Систематичними;
- Випадковими.
Систематичними називаються помилки, які виникають через порушення наукового принципу відбору одиниць у вибіркову сукупність. Вони виникають у тих випадках, коли в результаті непрпавільного відбору у вибіркову сукупність потрапили найкращі чи найгірші одиниці.
У результаті такого відбору середні і відносні показники, отримані за вибіркової сукупності, будуть спотворено характеризувати генеральну сукупність.
Випадкові помилки репрезентативності - це неточності, які виникають через те, що вибіркова сукупність не зовсім правильно відображає середні величини і величини частки ознаки генеральної сукупності. Такі помилки виникають навіть при самому строгому дотриманні принципів і правил відбору одиниць у вибіркову сукупність.
Помилки репрезентативності властиві тільки вибіркового спостереження. Вони не можуть бути повністю усунені, але вони можуть бути доведені до незначних розмірів, якщо відповідним чином організувати відбір одиниць у вибіркову сукупність.
Межі помилок репрезентативності можна визначити з достатнім ступенем точності на підставі ряду теорем в теорії ймовірності та математичної статистики.
Виключно важливу роль для обгрунтування та застосування вибіркового спостереження відіграє закон великих чисел. Використання закони великих чисел полягає в тому, що при певних умовах і при досить великому обсязі спостережень зведені характеристики, отримані на основі вибіркового спостереження, будуть мало відрізнятися від відповідних характеристик генеральної довіреності. Грунтуючись на цьому, можна, збільшуючи обсяг вибіркової сукупності, зменшити межі можливих помилок репрезентативності, довести їх до найменших розмірів. З іншого боку, знаючи межі помилок репрезентативності, можна визначити необхідну чисельність вибіркової сукупності.
3. Вимірювання помилки вибірки
Величина помилки вибірки залежить від чисельності вибіркової сукупності і від ступеня коливання досліджуваного ознаки.
Залежність величини помилки вибірки: одна формула застосовується при вибірковому визначенні середньої величини ознаки, а інша - при вибірковому визначенні частки ознаки. Докази і виведення цих формул даються в курсах математичної статистики.
Формула середньої помилки вибірки при визначенні середньої величини ознаки має наступний вигляд:
де m - середня помилка вибірки;
s 2 - дисперсія ознаки у генеральній сукупності;
n - число одиниць у вибірковій сукупності.
Отже, середня помилка вибірки дорівнює кореню квадратному з дисперсії ознаки, поділеній на чисельність вибіркової сукупності. Це означає, що помилка вибірки зменшується при зменшенні колеблемости ознаки, а також при збільшенні вибіркової сукупності. Це означає також, що при зменшенні колеблемости ознаки можна зменшити обсяг вибірки.
Формула середньої помилки вибірки при визначенні частки ознаки така:
де m - середня помилка вибірки;
p-частка ознаки у генеральній сукупності;
n - число одиниць у вибірковій сукупності.
Вищенаведені формули помилки вибірки застосовуються, коли відбір одиниць у вибіркову сукупність проводиться в порядку випадкової повторної вибірки. Повторна вибірка називається тому, що кожна з одиниць, відібрана з генеральної сукупності, після реєстрації її ознак повертається назад і може при кожному наступному відборі потрапити до вибірки ще раз, тобто повторно. Практично випадкова повторна вибірка зустрічається порівняно рідко. Здебільшого мають справу з випадковою вибіркою бесповторного. Бесповторного вибірка називається тому, що кожна з одиниць після реєстрації її ознак назад не повертається і в подальшому вже у відборі не існує.
При бесповторного вибірці скорочується чисельність одиниць генеральної сукупності. Тому при визначенні помилки вибіркової середньої і частки ознаки при бесповторном відборі повинна бути врахована чисельність генеральної сукупності і частка вибірки.
Генеральну сукупність позначимо через N, тоді частка вибіркової сукупності n, буде дорівнювати
для визначення помилки вибіркової середньої:
для визначення помилки вибіркової частки:
Додатковий множник
Покажемо розрахунок помилки вибіркової середньої і частки ознаки за даними, наведеними в табл.1.
Відбір ділянок у прикладі проводиться за схемою бесповторного вибірки. З 300 ділянок було відібрано 30, тобто частка ділянок, що потрапили у вибіркову сукупність становила
Визначимо помилку середньої врожайності по ділянках, що потрапили у вибірку:
Отримана величина помилки вибірки показує, що середня врожайність на ділянках, що потрапили в 10% вибірку, може на ± 0,12 ц з 1 га відрізнятися від генеральної середньої, або, інакше кажучи, можна очікувати, що середня врожайність у генеральній сукупності буде знаходиться між 15,12 (15 +0,12) і 14,88 (15-0,12) ц з 1 га.
Помилка вибіркової частки - частки ділянок з урожайністю 15 і більше центнерів з 1 га:
Отримана величина помилки вибірки показує, що частка ділянок з урожайністю 15 ц з 1 га в загальному числі ділянок може відхилятися на ± 0,07 від частки ділянок з подібною врожайністю у всій генеральної сукупності.
Можна очікувати, що частка ділянок з урожайністю 15 і більше ц з 1 га буде знаходиться в генеральній сукупності між 0,80 (0,73 +0,07) і 0,66 (0,73-0,07).
При цьому виникає питання: чи обов'язково або лише з певним ступенем ймовірності середня або частка в генеральній сукупності розташуються в діапазонах, визначених середньої помилкою вибірки, з імовірністю 0,683.
Це нас підводить до ще одним показником помилки вибірки - граничної помилки вибірки.
Гранична помилка вибірки - показник, що характеризує діапазон, в якому по обидва боки від вибіркової середньої або вибіркової частки розташуються значення генеральної середньої чи генеральної частки, що гарантуються з певним ступенем імовірності.
Формула граничної помилки вибірки:
D = tm,
де D (дельта) - величина попереднього. помилки вибірки із заданою вірогідністю;
t - коефіцієнт довіри, которорму відповідають ймовірності граничної помилки вибірки;
m - середня помилка вибірки.
Величини ймовірності, відповідні коефіцієнтам довіри, встановлюються математичною статистикою. Так, наприклад, t = 1 відповідає ймовірність 0,683; t = 2 відповідає ймовірність 0,954; t = 3 - ймовірність 0,997 і т.д.
Якщо нам треба діапазон, в якому розташуються генеральна середня і генеральна частка, визначити з великим ступенем ймовірності, то цей діапазон повинен бути розширений. Так, наприклад, якщо ми повинні ймовірність визначення цього діапазону в умовах нашого прикладу довести до 0,997, то середню помилку вибірки треба помножити на t = 3,
D = tm = ± 0,12 ц з 1 га '3 = ± 0,36 ц з 1 га.
Це означає, що з ймовірністю, яка дорівнює 0,997, можна гарантувати, що середня врожайність генеральної сукупності розташується між 15,36 ц (15,0 +0,36) і 14,64 ц з 1 га (15,0 - 0,36) .
Формули граничних помилок вибірки:
при повторному відборі:
а) для середньої D = tm = t
б) для частки D = tm = t
при бесповторном відборі:
а) для середньої D = tm = t
б) для частки D = tm = t
4. Визначення необхідної чисельності вибірки
Однією з найбільш важливих і відповідальних завдань при організації та проведенні вибіркового спостереження є встановлення необхідної чисельності вибіркової сукупності, тобто такий її чисельності, яка забезпечувала б отримання даних, досить правильно відбивають досліджувані властивості генеральної сукупності.
При цьому має бути враховано: 1) з яким ступенем точності слід отримати граничну похибку вибірки, 2) яка повинна бути ймовірність того, що буде забезпечена обумовлена точність результатів вибіркового спостереження; 3) ступінь коливання досліджуваних властивостей у досліджуваній генеральній сукупності.
Це означає, що необхідна чисельність вибірки (n) встановлюється в залежності від розмірів граничної помилки вибірки (D), від величини коефіцієнта довіри (t) і від розмірів величини дисперсії (s 2).
Самі формули необхідної чисельності вибірки виводяться з формул граничної помилки вибірки наступним чином:
При повторному відборі:
а) для середньої
у формулі граничної помилки вибірки
D = t
обидві її сторони зводимо в квадрат
D 2 = t 2
звідки
D 2 =
і потім
n =
Таким чином, необхідна чисельність вибіркової сукупності дорівнює добутку квадрата коефіцієнта довіри і дисперсії ознаки, поділеній на квадрат граничної помилки вибірки.
б) для частки:
у формулі граничної помилки вибірки:
D = t
обидві її сторони зводимо в квадрат і отримаємо:
D 2 = t 2
звідки
D 2 =
і потім
n =
Таким чином, в цьому випадку необхідна чисельність вибіркової сукупності дорівнює добутку квадрата коефіцієнта довіри і дисперсії частки, поділеній на квадрат граничної помилки вибірки.
При бесповторном відборі:
а) для середньої
у формулі граничної помилки вибірки
D = t
після ряду перетворень отримуємо:
n =
б) для частки:
з формули граничної помилки вибірки:
D = t
після ряду перетворень отримуємо:
n =
Приклад визначення необхідної чисельності вибіркової сукупності виходячи з умов повторного відбору. Припустимо, що з ймовірністю 0,954 потрібно визначити фактичний середній діаметр випускається в одному з цехів деталі за умови, що гранична помилка вибірки не повинна перевищувати 0,2 см і знаючи, що дисперсія розмірів діаметра деталі становить 0,5 см. Таким чином:
D = 0,2; s 2 = 0,5; t = 2.
У цих умовах:
n =
Отже, на вибірку в порядку випадкового відбору має бути відібрана 50 деталей. Якщо всього вироблено 5000 таких деталей, то частка вибірки становить
Так як в даному прикладі частка вибірки дуже невелика, то розрахунок, отриманий за формулою повторної вибірки, може бути застосований і для вибірки бесповторного. Таким чином, для вибіркової перевірки повинна бути відібрана кожна 100-та деталь.