Векторні лінії у векторному полі

Варіант 9

1. Знайти векторні лінії у векторному полі

Рішення:
Векторні лінії - це лінії, в кожній точці яких вектор поля є дотичним
Для знаходження векторних ліній поля



вирішимо диференціальне рівняння:

Маємо
-9xdx = 4ydy

Векторні лінії являють собою сімейство еліпсів

2. Обчислити довжину дуги лінії ;

Рішення:
Знайдемо похідні
;
Довжина дуги кривої в параметричних координатах дорівнює:

3. Обчислити потік векторного поля через поверхню

Рішення:
За определеніюпотока векторного поля П, маємо
, Де - Одиничний нормальний вектор до поверхні.
Обчислимо . Як відомо, якщо рівняння поверхні , То одиничний нормальний вектор

Тоді потік векторного поля

Де частина кола радіуса R = 1 в площині Оху з центром у початку координат, обмежена умовами

Y

Введемо полярні координати ;

1

Отримаємо

0

1

X

4. Знайти всі значення кореня
Рішення:
Нехай z = 1 = 1 +0 i
Arg z = 0; | z | = 1

За формулою коренів з комплексного числа, маємо

де k = 0,1,2,3
Отримаємо
Відповідь: 4 кореня - 1; i;-i; -1
5. Представити в алгебраїчній формі Ln (-1-i)
Рішення:

З визначення логарифма комплексного числа Lnz = ln | z | + i argz