Векторна алгебра
Вектор в декартовій системі координат
Визначення. Вектором називається впорядкована пара точок (початок вектора і його кінець). Якщо 
, 
, То вектор 
має координати 
.
Вектор 
в координатному просторі Oxyz, може бути представлений у вигляді
, Де трійка 
називається координатами вектора. Вектори 
- Одиничні вектори (орти), спрямовані в позитивну сторону координатних осей Ox, Oy і Oz, відповідно. Довжиною (модулем) вектора називається число 
.
Лінійні операції з векторами
Складання векторів визначається за правилом паралелограма: вектор 
є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і 
(Рис.1а).
Різниця двох векторів і визначається за формулою 
, Де 
- Вектор тієї ж довжини, що і вектор , Але протилежно спрямований. Щоб знайти вектор-різниця 
потрібно відкласти вектори і із загальної точки, з'єднати кінці векторів вектором, спрямованим від «від'ємника» до «зменшується» (тобто від до ) (Рис.1б). Побудований вектор і буде шуканої різницею.
При додаванні декількох векторів кожна координата суми є сума відповідних координат доданків векторів, при множенні вектора на дане число 
на це ж число множаться і координати вектора:
а) 
;
б) 
, Де - Скалярний множник.
Кілька векторів називаються колінеарними (компланарними), якщо вони паралельні одній і тій же прямій (площині). Вектори і 
паралельні (колінеарні), то є відповідні координати цих векторів пропорційні з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності: 
.
Базис на площині і в просторі
Визначення. Базисом на площині (у просторі) називається впорядкована пара (трійка) неколінеарних (некомпланарних) векторів. Будь-який вектор однозначним чином розкладається по базису. Коефіцієнти розкладання називаються координатами цього вектора щодо даного базису. Вектори утворюють базис в декартовому координатному просторі Oxyz.
Приклад 1.
Дано вектори 
. Показати, що вектори і утворюють базис на площині і знайти координати вектора 
в цьому базисі.
Рішення. Якщо два вектори неколінеарних ( 
), То вони утворюють базис на площині. Так як 
, То вектори і неколінеарних і, отже, утворюють базис. Нехай у цьому базисі вектор має координати 
, Тоді розкладання вектора по векторах і має вигляд 
, Або в координатній формі
або 
Вирішивши отриману систему рівнянь будь-яким чином, отримаємо, що 
.
Значить 
. Таким чином, в базисі 
вектор має координати 
.
Скалярний, векторний, змішаний твір векторів.
Визначення. Скалярним добутком двох векторів 
і 
називається число, яке визначається рівністю:
,
де 
- Кут між векторами і . Якщо 
, То 
.
Знаючи скалярний твір, можна визначити кут між двома векторами за формулою: 
.
Умова перпендикулярності ненульових векторів (кут між ними дорівнює 90 °) має вигляд: 
, Або 
, А умова їх коллинеарности: 
, Або 
.
Властивості скалярного твори:
1) 
, 2) 
, 3) 
; 4) 
, Причому 
.
Приклад 2. Знайти кут між векторами 
і 
, Якщо 
, 
, 
, 
.
Рішення. Використовуємо формулу 
. Визначимо координати векторів і , Враховуючи, що при додаванні векторів ми складаємо однойменні координати, а при множенні вектора на число - множимо на це число кожну координату цього вектора, а: 
, 
.
Знайдемо скалярний добуток векторів і і їх довжини. 
, 
, 
. Підставивши в формулу, отримаємо 
. Звідси 
.
Визначення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор 
(Інше позначення 
), Який:
а) має довжину 
, Де - Кут між векторами і ;
б) перпендикулярний векторах і ( 
) (Тобто, перпендикулярний площині, в якій лежать вектори і );
в) спрямований так, що вектори , , 
утворюють праву трійку векторів, тобто з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис.2).
Координати векторного добутку вектора на вектор визначаються за формулою:
Геометричний сенс векторного твори: модуль вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і .
Властивості векторного твори:
1) 
, 2) 
;
3) 
; 4) 
і колінеарні.
Приклад 3. Паралелограм побудований на векторах 
і 
, Де 
, 
, 
. Обчислити довжину діагоналей цього паралелограма, кут між діагоналями і площа паралелограма.
Рішення.
, 
,
.
Кут між діагоналями позначимо буквою , Тоді
Отже, 
.
Використовуючи властивості векторного добутку, обчислимо площа паралелограма:
Визначення. Змішаним твором трьох векторів , , називається скалярний добуток вектора 
на вектор :
.
Якщо 
то змішане твір можна обчислити за формулою:
.
Властивості змішаного твори:
1) При перестановці будь-яких двох векторів змішане твір змінює знак;
2) 
, 3) 
;
4) 
компланарними 
.
Геометричний сенс змішаного твори: обсяг 
паралелепіпеда, побудованого на векторах , , (Рис.4), а обсяг 
утвореної ними трикутної піраміди знаходяться за формулами 
.
Приклад 4. Компланарними чи вектори 
, 
, 
?
Рішення. Якщо вектори компланарними, то за властивістю 4) їх змішане твір дорівнює нулю. Перевіримо це. Знайдемо змішане твір даних векторів, обчисливши визначник:
вектори , , некомпланарних.
Розподіл відрізка в даному відношенні.
Нехай відрізок 
в просторі Oxyz заданий точками 
і 
. Якщо він розділений точкою 
щодо 
, То координати точки 
такі:
.
Приклад 5. Знайти точку 
, Яка ділить відрізок щодо 
, Якщо 
.
Рішення. Визначимо координати точки :
. Таким чином, 
.
Аналітична геометрія.
Рівняння площини. Загальне рівняння площини має вигляд: 
, 
, Де 
- Нормальний вектор площини (тобто перпендикулярний площині), а коефіцієнт 
пропорційний відстані від початку координат до площини.
Рівняння площини, що проходить через точку 
перпендикулярно вектору 
, Має вигляд
.
Рівняння площини, що проходить через три задані точки , 
і 
має вигляд:
.
Кут між двома площинами, що мають нормальні вектори 
і 
, Визначається як кут між векторами 
і 
за формулою:
.
Відстань від точки 
до площини обчислюється за формулою 
.
Приклад 6. Написати рівняння площини, що проходить через точки 
, 
, 
.
Рішення. Скористаємося рівнянням площини, що проходить через три задані точки. Обчислимо визначник
, Або 
- Дані рівняння площини.
Рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої на площині має вигляд: 
, Де 
- Нормальний вектор прямої (перпендикулярний прямій), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до прямої.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку 
, Має вигляд
або 
.
В іншому вигляді 
, Де 
- Тангенс кута, утвореного прямий і позитивним напрямом осі Ox, званий кутовим коефіцієнтом, b - ордината точки перетину прямої з віссю Oy.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і 
, Має вигляд
.
Кут між двома прямими 
і 
визначається формулою
.
Відстань від точки 
до прямої знаходиться за формулою
.
Приклад 7. Дано рівняння двох сторін прямокутника 
, 
і рівняння його діагоналі 
. Скласти рівняння інших сторін і другий діагоналі цього прямокутника.
Рішення. Зробимо схематичне креслення (Рис.6). Перепишемо дані рівняння у вигляді: 
, 
, 
. Так як кутові коефіцієнти прямих, які задають сторони прямокутника, однакові 
, То ці рівняння задають паралельні прямі, тобто сторони, на них лежать, протилежні. Знайдемо точки перетину даної діагоналі з цими сторонами. Нехай це будуть точки 
і . Для цього прирівняємо спочатку 1 і 3, а потім 2 і 3 рівняння:
; 
. Таким чином, 
.
Невідомі сторони паралельні між собою і перпендикулярні даними (так як це прямокутник).
Зауваження. Кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих 
і 
зв'язані співвідношенням 
.
Таким чином, рівняння невідомих сторін прямокутника такі:
. Підставивши в перше рівняння координати точки , У другу - точки , Отримаємо, що 
і, отже, 
, 
.
Знайдемо координати точок 
і , Прирівнявши рівняння відповідних сторін:
, Тобто 
;
, Тобто 
.
Рівняння діагоналі 
отримаємо як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і :
або 
.
Рівняння прямої в просторі. Пряма у просторі Oxyz визначається як лінія перетину двох площин 
(Загальні рівняння прямої в просторі).
Канонічні рівняння прямої в просторі мають вигляд
,
де - Точка, через яку проходить пряма, а вектор 
, Паралельний даної прямої, називається направляючим вектором прямої.
Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки і мають вигляд
.
Кут між двома прямими з напрямними векторами 
і 
визначається за формулою
.
Приклад 8. Піраміда задана координатами своїх вершин 
, 
, 
. Потрібно знайти:
1) довжини ребер 
і 
, 2) кут між ребрами і 
; 3) площа грані, яка містить вершини 
; 4) обсяг піраміди; 5) рівняння прямих і ;
6) рівняння висоти 
, Опущеної з вершини 
на площину 
;
7) відстань від вершини до площини ; 8) кут між ребром і гранню, яка містить вершини .
Решеніе.1) Довжини ребер і визначимо як модуль векторів 
і 
за формулами 
;
;
2) Знайдемо координати векторів і 
:
Довжини цих векторів, тобто довжини ребер і , Такі: 
,
. Косинус кута між ребрами і обчислимо за формулою 
;
3) Площа грані (Трикутника) дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і 
, Тобто половина модуля векторного добутку цих векторів, що дорівнює
.
Тоді, 
(Кв. од);
4) Об'єм піраміди дорівнює 
.
(Куб. од);
5) Рівняння прямих і знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві дані точки:
( ): 
,
( ): 
(Абсциси точок 
і 
однакові);
6) спрямовує вектор висоти є нормальний вектор площини . Отримаємо рівняння площини :
,
- Рівняння площини . Тоді нормальний вектор площини має координати 
. Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору 
має вигляд: 
;
7) Для обчислення відстані від вершини до площини скористаємося формулою . У нашому випадку - Рівняння площини і . Отже, 
;
8) Кут 
між прямою і площиною знаходять за формулою:
, Де - Нормальний вектор площини . 
і (див. п.7) 
. Таким чином, 
,
.
Криві другого порядку
Визначення. Параболою називається множина точок 
площині (див. рис.7), для кожної з яких відстань до даної точки 
(Фокуса параболи) дорівнює відстані до деякої даної прямої 
(Директриси). Відстань 
від фокуса параболи до директорки називається параметром параболи. Парабола - симетрична крива; точка перетину параболи з її віссю симетрії називається вершиною параболи.
Канонічне рівняння параболи в декартовій системі координат: 
.
Визначення. Еліпс є безліч точок площині (див. рис.7б), для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок 
і 
(Фокусів) постійна і дорівнює 
.
Відрізок 
називається фокусною відстанню і позначається через 
. Середина є центр еліпса. Пряма, на якій лежать фокуси еліпса, називається першою віссю еліпса. Пряма, що проходить через центр еліпса перпендикулярно його першої осі, називається другою віссю еліпса. Осі еліпса є його осями симетрії. Точки перетину еліпса з осями симетрії називаються його вершинами. 
- Велика вісь еліпса, 
- Мала вісь.
Директоркою еліпса, яка відповідає цьому фокусу , Називається пряма , Перпендикулярна першій осі і віддалена від центру еліпса на відстань 
, Де 
- Ексцентриситет еліпса.
Канонічне рівняння еліпса в декартовій системі координат: 
, Де 
і 
- Велика і мала півосі еліпса, відповідно.
Визначення. Гіперболою називається безліч точок площині (див. рис.8), модуль різниці відстаней яких до двох даних точок і (Фокусів гіперболи) постійний і дорівнює 
. Фокусна відстань позначають через . Пряма, на якій лежать фокуси, називається дійсною (або фокальній віссю) гіперболи. Пряма, що проходить через центр гіперболи 
, Перпендикулярно до дійсної осі, називається
уявної віссю.
Директоркою гіперболи, яка відповідає цьому фокусу , Називається пряма , Перпендикулярна до дійсної осі, віддалена від центру на відстань і лежить від центру по один бік з фокусом, де - Ексцентриситет.
Гіпербола має дві асимптоти, задані рівняннями 
.
Канонічне рівняння гіперболи в декартовій системі координат: 
,
де і - Половини сторін основного прямокутника гіперболи.
Приклад 9. Визначити вид лінії другого порядку, заданої рівнянням
.
Рішення. Виділимо повні квадрати по х і по у, отримаємо:
,
,
,
тобто маємо гіперболу, центр якої лежить в точці 
, 
.
Полярні координати. Для точки в площині Oxy її полярні координати визначаються парою чисел 
, Де 
- Довжина вектора 
, А - Кут нахилу вектора до полярної осі (позитивного напрямку осі Ox), - Довжина вектора .
Декартові і полярні координати пов'язані такими співвідношеннями:
.
