Введення в аксіоматику квантової механіки
Походження операторів динамічних величин
Зміст:
Рівняння плоскої біжучої хвилі матерії.
Оператори імпульсу і енергії.
Загальна схема обчислень фізичних спостережуваних у квантовій механіці.
4.1. Рівняння плоскої біжучої хвилі матерії
Для побудови математичної схеми квантової механіки необхідно розширити уявлення про хвилі матерії. Хвилі Де Бройля дозволяє найбільш економно показати, як з'являються на світ Божий оператори імпульсу (p) і повної енергії (H), пояснюючи, що ж це таке - операторні рівняння на власні значення та їх зміст. Однак показати - зовсім не означає довести! ... Звернемося до ланцюжка міркувань ...
4.1.1. Плоска світлова хвиля
(Елекромагнітное поле) описується рівняннями:
4.1.2. Плоска хвиля матерії:
Підстановки E = ћ w = mc 2; Þ w = mc 2 / ћ = pc / ћ; Þ w = E / ћ призводять до формули
плоскої хвилі матерії:
Це вираз називається хвильової функцією системи (плоскої хвилі матерії). Вона залежить від двох змінних - часу і координати. Хвильова функція вважається універсальним джерелом динамічної інформації про систему.
Це нагадує термодинаміку. За допомогою певних перетворень і дій над термодинамічними функціями стану можна обчислити інші термодинамічні властивості. Аналогічно у квантовій механіці з хвильової функції системи можна певними діями можна витягти всі її динамічні характеристики. Хвильова функція є функцією квантово - механічного стану системи.
Енергія і імпульс виходять з хвильової функції за допомогою диференціювання за різними змінним - часу і координаті. Загальна схема обчислення представлена формулою 4.2.
Зліва від знаку рівності хвильова функція Y піддається сукупності перетворень. Вся сукупність дій, які отримають цю фізичну величину, згрупована в один оператор, його символ . Праворуч від знаку рівності результатом перетворень є вона ж (Y) з точністю до чисельного множника ; він-то і являє собою чисельне значення шуканої фізичної величини.
Резюме. Вирази 4.3 та 4.4 настільки важливі, що без них було б важко побудувати математичний апарат квантової механіки.
4.2. Про структуру операторного рівняння
Спосіб розрахунку динамічних змінних з хвильової функції виявляється настільки загальною, що зачіпає найважливіші питання про способи людського пізнання. Отже предмет нашого дослідження - операторний рівняння (4.2). Перерахуємо те, що представляється особливо важливим.
Зміст:
Загальна схема розрахунків динамічних змінних і структура операторних рівнянь квантової механіки. Експеримент і теорія. Вимірювання та рівняння. Об'єкти і образи. Система і прилад, хвильова функція та оператор. Мікросистема та макропрібор, структура операторів. Досвід та теорія: інформація та організація. Ідеальний досвід і операторний рівняння.
Впадає в очі, що весь алгоритм обчислення динамічної змінної поділяється знаком рівності на дві частини. Таке має місце в будь-яких обчисленнях, знак рівності обов'язковий при запису рівнянь, але тут активну роль грає саме поняття перетворення - поняття оператора.
Всі дії зліва від знаку рівності згруповані в один-єдиний оператор. Він визначає всю програму дій для досягнення результату.
Сам же результат представлений чисельним множником праворуч від знаку рівності.
В обох частинах рівності присутній хвильова функція. Зліва вона об'єкт перетворення, праворуч - незмінний об'єкт, не витерпить змін.
Всі ці ознаки допускають дуже просту і наочну інтерпретацію, найбезпосереднішим чином відображає способи пізнання людиною навколишнього світу. Головне в ній поняття об'єкта і образу-відображення. У такому випадку в нашому розумінні важливу роль відіграє кожна деталь ...
4.3. Розглянемо операторний рівняння як образ ідеального експерименту
Хвильова функція це образ досліджуваної мікросистеми.
Оператор, дією якого витягується шукана величина, є образ макроскопічного приладу, налаштованого на вимірювання конкретної шуканої фізичної величини.
Знак рівності поділяє експеримент на два якісно різних етапи. Вихідний, стартовий етап, що передує виміру, зображений виразом зліва від знаку рівності. На завершальному етапі досягається кількісна інформація про систему, отримано чисельне значення виміряної величини (праворуч від знаку рівності).
Хвильова функція в експерименті залишається незмінною, і це відображає найпростіше обов'язкова якість ідеального досвіду - вимір не повинно змінювати систему. Інакше неможливо ідентифікувати підсумки досвіду, результат вимірювання не можна віднести ні будь-якої конкретної ситуації, ні до якого-небудь стану, і не можна взагалі сказати, до тієї чи системі взагалі даний результат відноситься.
При такій точці зору слід постулювати певний мінімальний набір операторів і далі визначити правило складання оператора будь скільки-завгодно більш складної величини.
Розділ 5. Основні поняття й постулати квантової механіки
Зміст:
Система постулатів квантової механіки.
5.0. Поняття про конфігураційному просторі системи частинок
При описі механічних рухів у системі частинок з номерами: {1,2, 3, ... N}
можуть бути використані різні просторові змінні (прямокутні-декартові, косокутні, полярні (кульові, циліндричні або еліптичні). Їх повна сукупність, достатня для складання вичерпних рівнянь механіки в конкретній задачі, називається конфігураційним простором K. Координати можуть бути декартові {x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, x 3, y 3, z 3, ... x n, y n, z n}, або полярні, наприклад, кульові {r 1, J 1, j 1, r 2, J 2, j 2, r 3, J 3, j 3, ... r n, J n, j n}, або будь-які інші - в загальному вигляді: . Максимальна розмірність конфігураційного простору K дорівнює 3 n - потроєння числа частинок в системі. Належність змінних до конфігураційного простору можна вказати за допомогою символів - кванторів включення, наприклад, у вигляді:
.
5.1. Постулат 1. Хвильова функція і її властивості (кінцівку, однозначність, безперервність і нормування).
Формулювання:
Будь-яке стан квантово-механічної системи описується функцією зі-стояння - хвильової функцією, заданої на різноманітті всіх змінних конфі-гураціонного простору системи, і також часу:
Хвильові функції зобов'язані задовольняти декільком математичним вимогам. Вони повинні бути: 1) кінцеві, 2) однозначні, 3) неперервні, 4) нормування, тобто:
; (5.1)
Область інтегрування охоплює весь можливий діапазон значень кожної змінної в усьому просторі K. Імовірнісний сенс хвильової функції:
. (5.2)
Нормировка виявляється умовою підсумовування щільності ймовірності в усьому конфігураційному просторі. Квадрат модуля хвильової функції є щільністю ймовірності, з якою фізична система, перебуваючи в тому фізичному стані, що описується хвильовою функцією Y, розподілена по конфігураційному простору. Функції, що відповідають умовам 1, 2, 3 називаються регулярними.
Хвильова функція це математичний образ квантово-механічного стану фізичної системи. Звичайно ж, це функція механічного стану системи.
5.2. Постулат 2. Вимірювання фізичних величин та операторні рівняння на собст-ються значення ермітових операторів
Формулювання:
Дозволеними значеннями динамічної змінної є ті, що є власними значеннями ермітової оператора даної динамічної змінної:
. (5.3)
Операторні рівняння є математичними образами вимірювань. Оператори зручно розглядати як образів макроскопічних приладів. Вирази для операторів основних динамічних змінних. Оператор імпульсу і його rомпоненти (з формули біжучої хвилі де Бройля). Оператори координат і оператор потенційної енергії збігаються із самими цими змінними. Взаємозв'язок операторів різних динамічних змінних визначається тим, що вони відображають макроскопічне будову приладів. Оператори моменту імпульсу однієї частинки і його компонент мають вигляд , Оператор кінетичної енергії єдиною частинки дорівнює
, А для системи декількох часток представляє собою суму виду
. Радіус-вектор частинки
, І його оператор представляє собою просто множник перед хвильової функцією, тобто має вигляд:
. Оператор потенційної енергії це також просто множник перед хвильової функцією U (r) ×, оператор повної енергії - гамільтоніан складається з операторів кінетичної і потенційної енергії:
. (5.4) Приймається, що
і оператори всіх інших динамічних змінних побудовані з цих двох за формулами класичної механіки.
Причина класичної схеми взаємозв'язку криється в тому, що оператори є образами макроскопічно влаштованих приладів, а конструкційні компоненти яких підкоряються законам класичної (макроскопічної) фізики.
Стану та хвильові функції, що відповідають певним квантованим значенням фізично спостерігається величини, - тим, які безпосередньо проявляються у вимірах, називаються чистими.
5.3. Постулат 3. Рівняння Шредінгера (тимчасово o е і стаціонарне)
Формулювання:
Хвильові функції, що описують можливі стану змінюється в часі фізичної системи, є рішеннями тимчасового рівняння Шредінгера:
. (5.5)
Для стаціонарної системи рівняння Шредінгера приймає вигляд операторного рівняння на власні значення гамільтоніану:
(5.6)
Звернемося до стаціонарних систем. Введемо гамільтоніан, що не залежить від часу, і вийде стаціонарне рівняння Шредінгера. Виявимо сенс комплексного сполучення хвильових функцій як ознака механічної оборотності у часі рішень рівняння Шредінгера:
Результат (5.9) це стаціонарне рівняння Шредінгера. Воно являє собою операторний вираз закону збереження енергії стаціонарної системи. Це чисто просторова частина загального рішення. Тимчасова частина описує періодичний процес.
Увага! Операція комплексного сполучення тимчасової компоненти хвильової функції полягає в заміні знаку перед аргументом - часом в показнику комплексної експоненти. Ця проста алгебраїчна операція абсолютно ідентична простій заміні знаку перед змінної часу. Виходить, що при зміні відліку часу на зворотне, не змінюються закони, яким лагодяться фізична система. Це найважливіший результат, який полягає в тому, що рівняння Шредінгера описує процеси, оборотні в часі.
5.4. Постулат 4. Суперпозиція станів
Стани чисті і змішані. Математичні та фізичні основи принципу суперпозиції
Формулювання 1 (скоріше математична):
Якщо дві хвильові функції f p і f q є рішеннями операторного рівняння на власні значення, то їх лінійна комбінація F = c p f p + c q f q також є його рішенням.
Витоки цього формулювання лежать в теорії диференціальних рівнянь.
Формулювання 2 (скоріше фізична):
Якщо система може перебувати в станах з хвильовими функціями f p і f q, то вона може знаходитися і в змозі з хвильової функцією F = c p f p + c q f q.
Витоки цього формулювання відбуваються з переконання, що до досвіду не можна передбачити, в якому стані перебуває система, а тому доводиться допустити для неї відразу всі можливості.
Мова про тих функціях, що сукупність яких утворює спектр власних функцій ермітових оператора (оператора динамічної змінної). Ця ситуація може бути поширена на будь-яке число власних функцій лінійного самосполучення оператора:
Цей постулат називається принципом суперпозиції станів і допускає узагальнення на будь-яке число власних функцій, що утворюють спектр ермітової оператора. Функції f k відповідають так званим чистим станам, а їх суперпозиція F - змішаного стану.
5.5. Постулат 5. Середні значення динамічних змінних. Математичні очікування для динамічних характеристик станів чистих і змішаних
Формулювання:
Середнє значення динамічної змінної, отриманий в результаті серії ис-вань (вимірів) збігається з математичним очікуванням динамічного оператора цієї змінної, яке обчислюється за формулою:
; (5.11)
Для чистих станів це рівняння є формальним наслідком 2-го постулату, але для випадку змішаних станів ця формула постулюється і тим самим зводиться в ранг фізичного закону.
5.6. Постулат 6. Принцип Паулі
Формулювання:
Повна хвильова функція, колективу ідентичних ферміонів антисиметрична щодо перестановки будь-якої пари частинок між їх індивідуальними одночасткові станами.
Це властивість можна записати у вигляді
. (5.12)
5.7. Про перестановною симетрії колективу частинок
Зручно ввести оператор перестановки , Дія якого полягає в тому, що він міняє місцями ідентичні частинки з номерами k і l між їх одночасткові станами або що зовсім одне і те ж - змінює стану цих двох частинок між собою.
Якщо заздалегідь обмовити, що завжди номери ідентичних частинок в колективі визначаються просто порядковим номером у ланцюжку-перерахування, то номер можна і не записувати в явній формі. У такому випадку записуючи в позиції частки символ якийсь хвильової функції, зручно вважати її символом стану, в який частка потрапляє.
Діючи на хвильову функцію, оператор перестановки рятує з неї власне значення, але при цьому примудряється її саме не змінювати. Перед нею просто виникає деяке число - власне значення цього оператора. Якщо ж оператор перестановки застосувати до хвильової функції колективу повторно, то обидві переставляються частинки повертаються на вихідні позиції - у вихідні стани, і хвильова функція зобов'язана звернутися знову сама в себе. Система повертається у вихідну ситуацію, і тому власне значення квадрата оператора перестановки дорівнює одиниці. Отримуємо рівності:
Необхідна інформація.
5.8. Ферміони
Пояснимо, що обов'язковий комплект змінних многоферміонного колективу включає не тільки просторові змінні і час, але для кожної частки вводиться додатковий ступінь свободи, звана спінової змінної, так що простір змінних істотно розширюється.
Це питання розглянемо пізніше, а зараз його на час залишимо ...
Ферміонами є всі частинки зі спіном, рівним або кратним 1 / 2 (також можливо і 3 / 2, 5 / 2 ,...- це у деяких ядер). Електрони і протони суть ферміони. Їх спін дорівнює 1 / 2. Відповідно для електронного колективу в молекулі повинна бути побудована електронна, а для колективу ідентичних протонів - вже своя - протонна хвильова функція.
Рівняння Шредінгера для найпростіших стаціонарних рухів
6.1. Одновимірний "потенційний ящик"
і послідовний квантово-механічний аналіз властивостей стаціонарної системи зручно простежити на прикладі найпростішого поступального руху, на обмеженому інтервалі. Хвильові функції однієї частинки називають орбиталями. Рішення рівняння Шредінгера перетворюються на орбіталі тільки після підпорядкування їх умовам регулярності, що пред'являються до хвильовим функціям, а також після обов'язкової нормування. Правило квантування енергії (енергетичний спектр) випливає з послідовного накладення граничних умов на рішення рівняння Шредінгера. Енергетичний спектр не відрізняється від отриманого для простої моделі лінійно обмеженою хвилі Де-Бройля. Енергетично ую діаграм в і графіки хвильових