Варіаційні ряди

Завдання № 1.
По даній вибірці:
а) Знайти варіаційний ряд;
б) Побудувати функцію розподілу;
в) Побудувати полігон частот;
г) Обчислити середнє значення СВ, дисперсію, середньоквадратичне відхилення.
№ = 42. Елементи вибірки:
1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2
Рішення.
а) побудова рангового варіаційного ряду:
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
б) побудова дискретного варіаційного ряду.
Обчислимо кількість груп у варіаційному ряду користуючись формулою Стерджесс:

Приймемо число груп рівним 7.
Знаючи число груп, розрахуємо величину інтервалу:

Для зручності побудови таблиці приймемо кількість груп рівним 8, інтервал складе 1.

Таблиця 2

x _j	1-2 (+)	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	8-9	Разом
f _j	11	7	1	5	3	7	6	2	42
Середина інтервалу x _j '	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5
x _j 'f _j	16,5	17,5	3,5	22,5	16,5	45,5	45	17	184
Накопичена частота f _j '	11	18	19	24	27	34	40	42

в) побудова функції розподілу:
За допомогою ряду накопичених частот побудуємо кумулятивну криву розподілу.
Діаграма 1

\ S
в) побудова полігону частот:

Діаграма 2

\ S
г) обчислення середнього значення СВ, дисперсії, середньоквадратичного відхилення:

Завдання № 2.
За заданою вибіркою перевірити гіпотезу про нормальний розподіл СВ за критерієм згоди Пірсона. Провести інтервальну оцінку вибіркового середнього значення з довірчою ймовірністю 0,98

Таблиця 1.

78	80	83	84	84	86	88	88	89	89	91	91	92	92	94	94	96	96	96	97	97	99	99	101	102
102	104	104	105	105	107	109	110	110	115	120	76	78	81	83	84	86	86	88	88	89	89	91	92	92
92	94	94	96	96	97	97	99	99	99	101	102	104	104	105	105	107	107	110	110	112	115	75	78	80
83	84	86	86	88	88	89	91	91	91	92	92	94	94	96	96	97	97	99	99	101	101	102	102	104
104	105	107	109	109	112	115	117	73	81	84	84	86	88	89	91	91	92	94	96	96	97	99	101	101
104	105	105	107	107	110	117	123	67	78	81	81	83	84	84	86	86	88	88	88	89	89	91	91	91
92	92	92	94	94	94	96	96	97	97	97	99	99	99	101	101	102	102	104	104	104	105	105	107	107
109	109	110	110	113	118	121

№ = 182
Рішення.
Обчислимо кількість груп у варіаційному ряду користуючись формулою Стерджесс:

Визначимо величини інтервалу:

Приймемо число груп рівним 8, а число інтервалів 7.
Таблиця 2.

Номер інтервалу	x _j	f _j	x _'j	x _'j f _j	f _'j
1	2	3	4	5	6
1	67-74 (+)	2	70,5	141	2
2	74-81	12	77,5	930	14
3	81-88	30	84,5	2535	44
4	88-95	40	91,5	3660	84
5	95-102	47	98,5	4629,5	131
6	102-109	32	105,5	3376	163
7	109-116	13	112,5	1462,5	176
8	116-123	6	119,5	717	182
Разом		182		17451

Умовні позначення в таблиці: x _j - встановлені інтервали; f _j - частота подій; x _'j - середина інтервалу; f' _j - накопичена частота.
На підставі отриманих даних побудуємо таблицю 2.

Значення

знаходимо за таблицею значень функції Лапласа.
P _j визначається різницею

, А f _'j = P _j * n.
Таблиця 3.

Номер інтервалу	Межі інтервалу					P _j	f _'j
1	2	3	4	5	6	7	8
1	67-74	-2,26	-1,70	-0,4881	-0,4554	0,0327	5,9514
2	74-81	-1,70	-1,16	-0,4554	-0,3770	0,0784	14,2688
3	81-88	-1,16	-0,61	-0,3770	-0,2291	0,1479	26,9178
4	88-95	-0,61	-0,06	-0,2291	-0,0279	0, 2012	38,0268
5	95-102	-0,07	0,47	-0,0279	0,1808	0, 2087	37,9834
6	102-109	0,47	1,02	0,1808	0,3461	0,1653	30,0846
7	109-116	1,02	1,57	0,3461	0,4418	0,0957	17,4174
8	116-123	1,57	2,12	0,4418	0,4830	0,0412	7,4984
Разом

Умовні позначення в таблиці:
x ^н _j - нижня межа інтервалу;
x ^в _j - верхня межа інтервалу;
t ^н _j і t ^в _j - нормовані відхилення для нижньої і верхньої меж інтервалу;

- Значення інтегральної функції Лапласа для t ^н _j і t ^в _j;
P _j - оцінка вірогідності попадання в інтервал;
f _'j - частота теоретичного розподілу.
Отже, скористаємося даними таблиці 1 і 2 для розрахунку критерію "хі-квадрат", попередньо округливши теоретичні частоти в графі 8 табл.2, а також об'єднавши частоти двох останніх інтервалів, виконуючи вимогу f _'j ³ 5.
Таблиця 4.

Номер інтервалу	Емпіричні частоти	Теоретичні частоти
1	2	6	16	2,67
2	12	14	4	0,29
3	30	27	9	0,33
4	40	38	4	0,1
5	47	38	81	2,13
6	32	30	4	0,13
7	16	25	81	3,24
Разом	182	178		8,89

X ² _розр = 8,89
Таким чином, проведений розрахунок дає право не відкидати гіпотезу про нормальний характер емпіричного розподілу.
Зробимо інтервальну оцінку вибіркового середнього значення з довірчою ймовірністю 0,98.
На основі наявної вибірки отримаємо точкову оцінку математичного очікування у вигляді вибіркової середньої:

Середньоквадратичне відхилення становить:

. Рівень надійності

. Визначаємо значення функції Лапласса:

По таблиці значень функції

знаходимо відповідне значення z. У даному випадку

. Тоді

.
Довірчий інтервал] 95,6868 - 0,164, 95,6868 + 0,164 [=
=] 95,5228, 95,8508 [.
Отже, 95,5228 <M _x <95,8508 з імовірністю 0,98.
Завдання № 4.
За заданою вибіркою (x, y) знайти коефіцієнт кореляції і рівняння лінійної регресії y = a + b * x, № = 45

Таблиця 5

x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y		x ... ... y
23	-115	18	-90	10	-48	19	-91	18	-84	9	-44	12	-55	24	-115	6	-26	22	-107	18	-84
18	-83	11	-54	15	-71	13	-64	8	-51	14	-64	22	-109	8	-38	14	-64	22	-106	9	-43
16	-74	17	-85	15	-71	13	-60	11	-37	24	-118	18	-87	6	-28	7	-31	22	-109	13	-64
8	-35	8	-35	12	-56	12	-54	14	-67	14	-68	21	-102	10	-46	16	-79	17	-80	18	-87
22	-105

Рішення:
На підставі вихідних даних знайдемо суми і середні значення x і y:

Обчислимо параметр парної лінійної кореляції:

Вільний член рівняння регресії обчислимо за формулою:

, Звідки

Рівняння регресії в цілому має вигляд:

Коефіцієнт кореляції, розрахований на основі отриманих даних: