МОСКОВСЬКИЙ ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ,
МЕНЕДЖМЕНТУ І ПРАВА
РЕФЕРАТ
з дисципліни: Вища математика
на тему: Асимптоти (визначення, види, правила перебування)
Виконала: студентка 1 курсу
Економічного факультету
(Вечірнє відділення)
Козлова М.А.
Перевірив: Рошаль А.С.

Москва 2002

2

Зміст

Вступ 3

2. Знаходження асимптоти 4
2.1 Геометричний сенс асимптоти 5
2.2 Загальний метод знаходження асимптоти 6
3. Види 8
3.1 Горизонтальна асимптота 8
3.2 Вертикальна асимптота 9
3.3 Похила асимптота 10

Використана література 12

3

Введення

Асимптота, так звана пряма чи крива лінія, яка, будучи продовжена, наближається до іншої кривої, але ніколи не перетинає її, так що відстань між ними робиться нескінченно малою величиною.
Поняття асимптоти грає важливу роль в математичному аналізі. Вони проводяться при вивченні властивостей багатьох кривих (гіперболи, конхоїди, логаріфміч. Лінії, ціссоіди та ін.)
4
2. Знаходження асимптоти
Нехай функція f (x) визначена для всіх x> а (відповідно для всіх
x <а). Якщо існують такі числа k і l, що f (x) - kx - l = 0 при х ® + ¥ (відповідно при х ® - ¥), то пряма
y = kx + l
називається асимптотой графіка функції f (x) при x ® + ¥ (відповідно при х ® - ¥).
Існування асимптоти графіка функції означає, що при х ® + ¥
(Або х ® - ¥) функція веде себе «майже як лінійна функція», тобто відрізняється від лінійної функції на нескінченно малу.
x - 3x - 2
Знайдемо, наприклад, асимптоту графіка функції y = x +1
Розділивши чисельник на знаменник за правилом ділення многочленів,
2 лютого
отримаємо y = x - 4 + x + 1 Так як x + 1 = 0 при х ® ± ¥, то пряма y = x-4
є асимптотой графіка даної функції як при х ® + ¥,
так і при х ® - ¥.
5
2.1 Геометричний сенс асимптоти
Розглянемо геометричний сенс асимптоти. Нехай М = (x, f (x)) - точка графіка функції f, М - Проекція цієї точки на вісь Ох, АВ - асимптота,
q - кут між асимптотой і позитивним напрямом осі Ох, q ¹ ,
MP - перпендикуляр, опущений з точки М на асимптоту АВ, Q - точка перетину прямої ММ з асимптотой АВ (рис.1).

(Рис.1)
Тоді ММ = F (x), QM = Kx + l, MQ = MM - QM = F (x) - (kx + l),
MP = MQ cos q. Таким чином, MP відрізняється від MQ лише на не рівний нулю множник cos q, тому умови MQ ® 0 і MP ® 0 при х ® + ¥ (відповідно при х ® - ¥) еквівалентні, тобто lim MQ = 0,
то й lim MP = 0, і навпаки. х ® + ¥
х ® + ¥
Звідси випливає, що асимптота може бути визначена як пряма, відстань до якої від графіка функції, тобто відрізок МР, прагне до нуля, коли точка М = (x, f (x)) «прагне, залишаючись на графіку, у нескінченність» ( при х ® + ¥ або, відповідно, х ® - ¥).
6
2.2 Загальний метод відшукання асимптоти
Зазначимо тепер загальний метод відшукання асимптоти, то є спосіб визначення коефіцієнтів k і l в рівнянні y = kx + l.
Будемо розглядати для визначеності лише випадок х ® + ¥ (при х ® - ¥ міркування проводяться аналогічно). Нехай графік функції f має асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тоді, за визначенням,
f (x) = kx + l + 0
Розділимо обидві частини рівності f (x) = kx + l + 0 на х і перейдемо до межі при х ® + ¥. Тоді
lim = K.
х ® + ¥
Використовуючи знайдене значення k, отримаємо з f (x) = kx + l + 0 для визначення l формулу
l = lim (f (x) - kx).
х ® + ¥
Справедливо і зворотне твердження: якщо існують такі числа k і l, що виконується умова l = lim (f (x) - kx), то пряма y = kx + l є
х ® + ¥
асимптотой графіка функції f (x). У самому справі, з l = lim (f (x) - kx) маємо
х ® + ¥
lim [f (x) - (kx + l)] = 0,
х ® + ¥
тобто пряма y = kx + l дійсно задовольняє визначенню асимптоти, інакше кажучи, виконується умова f (x) = kx + l + 0. Таким чином, формули lim = K. і l = lim (f (x) - kx)
х ® + ¥ х ® + ¥
зводять задачу відшукання асимптот y = kx + l до обчислення границь певного виду. Більше того, ми показали, що якщо існує
представлення функції f у вигляді f (x) = kx + l + 0, то k і l виражаються за формулами lim = K. і l = lim (f (x) - kx)
х ® + ¥ х ® + ¥
Отже, якщо існує уявлення y = kx + l, то він єдиний.
Знайдемо за цим правилом асимптоту графіка функції f (x) = ,
знайдену нами вище іншим способом:
7

тобто ми, як і слід було очікувати, отримали теж рівняння асимптоти
y = x - 4, як при х ® + ¥, так і при х ® - ¥.
У вигляді y = kx + l може бути записано рівняння будь-якої прямої, непараллельной осі Oy. Природно поширювати визначення асимптоти і на прямі, паралельні осі Oy.
8
3. Види
3.1 Горизонтальна асимптота
Нехай $ lim f (x) = b. Тоді кажуть, що у функції f (x) є горизонтальна асимптота y = b. Графік функції частіше за все має такий вигляд (при x ® + ¥) (рис.2)

(Рис.2)
хоча в принципі, може мати і такий вигляд (рис.3)


(Рис.3)
9
3.2 Вертикальна асимптота

                        
(Рис.4)
Нехай при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тоді кажуть, що пряма x = a є
х ® ¥
вертикальної асимптотой f (x). Графік функції f (x) при наближенні x к а веде приблизно так (рис. 4), хоча, звичайно, можуть бути різні варіанти, пов'язані з тим, куди йде f (x) в + ¥ або - ¥.
Найчастіше вертикальна асимптота з'являється тоді, коли f (x) має вигляд
.
Тоді вертикальні асимптоти знаходяться як корені рівняння

10
3.3 Похила асимптота

(Мал. 5)
Нехай рівняння асимптот є y = ax + b. Значення функції при аргументі х є d = ax + b - f (x). Необмежена наближення до асимптота означає, що величина d = ax + b - f (x) прямує до 0 при х ® ± ¥
lim [f (x) - (ax + b)] = 0.
x ® ¥
Якщо ця величина прагне до нуля, то тим більше прагне до нуля величина
Але тоді ми маємо
і так як остання межа дорівнює нулю, то

Знаючи а, можна знайти і b з вихідного співвідношення

Тим самим параметри асимптоти повністю визначаються.
Приклад


тобто асимптота при x ® + ¥ має рівняння y = x.
11
Аналогічно можна показати, що при x ® - ¥ асимптота має вигляд y = - x.
Сам графік функції виглядає так (рис.6)


(Рис.6)
12
Використана література
1. Р.Б. Райхміст «Графіки функцій», Москва, 1991р.
2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математичного аналізу» т.1, Москва 1981
3. Лекції з математики