Приклади: у нижченаведених прикладах наведені зразки дослідження елементарних функцій, заданих формулами, що містять зворотні тригонометричні функції.
Приклад № 1. Дослідити функції arcsin (1 / x) і arccos (1 / y) і побудувати їх графіки.
Рішення: Розглянемо 1-ю функцію

y

y

y = arcsin (1 / x)

π / 2

-Π / 2

Д (f): | 1 / x | ≤ 1,
| X | ≥ 1,
(- ∞; -1] U [1; + ∞)

0

1

-1

x

		y
				x

Функція непарна
(F (x) убуває на пр. [0; 1], f (y) убуває на пр. [0; π / 2])

y

Зауважимо, що функція y = arccosec (x) визначається з умов cosec (y) = x і y є [-π / 2; π / 2], але з умови cosec (y) = x слід sin (y) = 1 / x, звідки

π

y = arcsin (1 / x). Отже, arccos (1 / x) = arcsec (x)


Д (f): (- ∞; -1] U [1; + ∞)

π / 2

0

1

-1

Приклад № 2. Дослідити функцію y = arccos (x ^2).

π / 2

Рішення:
Д (f): [-1; 1]
Парна
f (x) убуває на пр. [0; 1]

-1

0

f (x) зростає на пр. [-1; 0]

	1		x

Приклад № 3. Дослідити функцію y = arccos ² (x).
Рішення: Нехай z = arccos (x), тоді y = z ²
f (z) убуває на пр. [-1; 1] від π до 0.
f (y) убуває на пр. [-1; 1] від π ² до 0.

0

1

-1

x

Приклад № 4. Дослідити функцію y = arctg (1 / (x ² -1))
Рішення:
Д (f): (- ∞; -1) U (-1; 1) U (1; + ∞)
Оскільки функція парна, то достатньо дослідити функцію на двох проміжках:

y

[0; 1) і (1; + ∞)

π / 2 X	0	<X <	1	<X <	+ ∞
1 -1 u = 1 / (x 2 -1)	-1	↘	+ ∞ - ∞	↘	0
0 x y = arctg (u)	- Π / 4	↘	π / 2 - Π / 2	↘	0

-Π / 4

-Π / 2

Тригонометричні операції над аркфункціямі

Тригонометричні функції від одного і того ж аргументу виражаються алгебраїчно одна через іншу, тому в результаті виконання будь-якої тригонометричної операції над будь-якою з аркфункцій виходить алгебраїчний вираз.
У силу визначення аркфункцій:
sin (arcsin (x)) = x, cos (arccos (x)) = x
(Справедливо тільки для x є [-1; 1])
tg (arctg (x)) = x, ctg (arcctg (x)) = x
(Справедливо за будь-яких x)
Графічне відмінність між функціями, заданими формулами:
y = x і y = sin (arcsin (x))

x

y

0

x

y

0

1

-1

Підсумок формул, які утворюються в результаті виконання найпростіших тригонометричних операцій над аркфункціямі.

Аргумент функція	arcsin (x)	arccos (x)	arctg (x)	arcctg (x)
sin	sin (arcsin (x)) = x
cos		x
tg			x	1 / x
ctg			1 / x	x

Справедливість всіх цих формул може бути встановлена ​​за допомогою міркувань, наведених нижче:
1. Оскільки cos ² x + sin ² x = 1 і φ = arcsin (x)


Перед радикалом слід взяти знак "+", тому що дуга належить правою півкола (замкнутої) , На якій косинус невід'ємні.
Значить, маємо

2. З тотожності слід:

3. Маємо

4.
Нижче наведені зразки виконання різних перетворень за допомогою виведення формул.
Приклад № 1. Перетворити вираз
Рішення: Застосовуємо формулу , Маємо:
Приклад № 2. Подібним же чином встановлюється справедливість тотожностей:


Приклад № 3. Користуючись ...

Приклад № 4. Аналогічно можна довести наступні тотожності:






Приклад № 5. Поклавши в формулах
, І
, Отримаємо:
,
Приклад № 6. Перетворимо
Поклавши у формулі ,
Отримаємо:

Перед радикалами узятий знак "+", тому що дуга належить I чверті, а тому ліва частина неотрицательная.

Співвідношення між аркфункціямі

Співвідношення першого роду - співвідношення між аркфункціямі, що випливають із залежності між тригонометричними функціями додаткових дуг.
Теорема. При всіх допустимих х мають місце тотожності:

arccos (x)

arcsin (x)

-1

1

y

x

Співвідношення другого роду - співвідношення між аркфункціямі, що випливають з співвідношень між значеннями тригонометричних функцій від одного і того ж аргументу. За допомогою співвідношень 2-го роду виробляються перетворення однієї аркфункціі в іншу (але від різних аргументів).
Випадок № 1. Значення двох даних аркфункцій укладені в одній і тій же півкола.
Нехай, наприклад, розглядається дуга α, укладена в інтервалі (-π / 2; π / 2).
Дана дуга може бути представлена ​​як у вигляді арксинуса, так і у вигляді арктангенс. У самому справі, дуга має синус, рівний sinα і укладена, так само як і α, в інтервалі (-π / 2; π / 2), отже

Аналогічно можна дугу α представити у вигляді арктангенс:

А якби дуга α була укладена в інтервалі (0; π), то вона могла б бути представлена ​​як у вигляді арккосинуса, так і у вигляді арккотангенс:

Так, наприклад:


Аналогічно:

Формули перетворення одних аркфункцій в інші, значення яких міститися в одній і тій же півкола (правої або верхній).
1. Вираз через арктангенс.
Нехай , Тоді

Дуга , За визначенням арктангенс, має тангенс, рівний і розташована в інтервалі (-π / 2; π / 2).
Дуга має той же тангенс і розташована в тому ж інтервалі (-π / 2; π / 2).
Отже,
(1)
(В інтервалі (-1: 1)
2. Вираз через арксинус.
Оскільки , То (2)
в інтервалі
3. Вираз арккосинуса через арккотангенс. З рівності слід тотожність
(3)
Випадок № 2. Розглянемо дві аркфункціі, значення яких вибираються в різних проміжках (наприклад, арксинус і арккосинус; арккосинус і арктангенс і т.п.). Якщо аргумент якої-небудь аркфункціі (тобто значення тригонометричної функції) позитивний, то відповідно аркфункція (дуга), укладена в першій чверті, може бути представлена ​​за допомогою будь-аркфункціі; так, наприклад,

Тому кожна з аркфункцій від позитивного аргументу може бути виражена за допомогою будь-якої іншої аркфункціі.
Значення будь-якої аркфункціі від негативного аргументу належить або проміжку від-π / 2 до 0, або проміжку від π / 2 до π і не може бути представлено у вигляді аркфункціі, значення якої належить іншому (з цих двох) проміжку.
Так, наприклад, дуга не може бути значенням арксинуса. У цьому випадку

Формули перетворення одних аркфункцій в інші, значення яких вибираються в різних півкола.
4. Вираз арксинуса через арккосинус.
Нехай , Якщо , То . Дуга має косинус, рівний , А тому
При це рівність виконуватися не може. Справді, в цьому випадку
, А для функції маємо:
так як аргумент арккосинуса є арифметичний корінь , Тобто число невід'ємне.
Розташування розглянутих дуг прокоментовано на малюнку:


Х> 0 X <0
При негативних значеннях Х маємо Х <0, а при позитивних X> 0, і

Таким чином, маємо остаточно:
якщо , (4)
, Якщо


Графік функції

		-1		1

Область визначення є сегмент [-1; 1]; згідно рівності (4), закон відповідності можна виразити таким чином:

, Якщо
, Якщо
5. Аналогічно встановимо, що при маємо:
, Якщо ж , То

Таким чином:
, Якщо (5)
, Якщо
6. Вираз арктангенс через арккосинус. Зі співвідношення
при маємо:

Якщо ж х <0, то

Отже,
, Якщо (6)
, Якщо
7. Вираз арккосинуса через арктангенс. Якщо , То
При маємо:

Отже,
, Якщо (7)
, Якщо
8. Вираз арктангенс через арккотангенс.
, Якщо х> 0 (8)
, Якщо x <0
При x> 0 рівність (8) легко встановити, коли ж x <0, то
.
9. Вираз арксинуса через арккотангенс.
, Якщо (9)
, Якщо
10. Вираз арккотангенс через арксинус.
, Якщо 0 <x (10)
, Якщо х <0
11. Вираз арккотангенс через арктангенс.
, Якщо x> 0 (11)
, Якщо x <0
Приклади:
Приклад № 1. Дослідити функцію
Рішення. Ця функція визначена для всіх значень х, за винятком значення х = 0 (при х = 0) другий доданок втрачає сенс). Скориставшись формулою (8) отримаємо:

	Y

y = 0, якщо x> 0
-Π, якщо x <0

X

На кресленні зображено графік
даної функції


Приклад № 2. Дослідити функцію
Рішення: Перший доданок визначено для значень , Друге - для тих же значень аргументу. Перетворимо перший доданок за формулою (4).
Оскільки , То отримуємо
,
звідки:
на сегменті [0; 1]
Приклад № 3. Дослідити функцію
Рішення: Вирази, що стоять під знаками аркфункцій не перевищує за абсолютною величиною одиниці, тому ця функція визначена для всіх значень х. Перетворимо перше складова за формулою (4).

Прийнявши до уваги рівність
, Якщо
, Якщо
отримаємо:
y = 0, якщо
, Якщо
Виконання зворотних тригонометричних операцій над тригонометричними функціями.
При перетворенні виразів виду

слід брати до уваги в якій чверті знаходиться аргумент х і в якому проміжку знаходиться значення даної аркфункціі. Розглянемо, наприклад, перше з даних виразів:

Згідно з визначенням арксинуса, y - є дуга правою півкола (замкнута), синус якого дорівнює sin x;
і
Областю визначення функції служить інтервал , Тому що за всіх дійсних значеннях х значення проміжного аргументу міститься на сегменті . При довільному дійсному х значення y (у загальному випадку) відмінно від значення х.

Так, наприклад, при х = π / 6 маємо:

але при х = 5π / 6

У силу періодичності синуса функція arcsin x також є періодичною з періодом 2π, тому досить дослідити її на сегменті [-π / 2; 3π / 2] величиною 2π.
Якщо значення х належить сегменту [-π / 2; π / 2] то y = x, на цьому сегменті графік функції збігається з бісектрисою координатного кута.
Якщо значення х належить сегменту [π / 2; 3π / 2], то в цьому випадку дуга π-х належить сегменту [-π / 2; π / 2], і, так як
, То маємо y = π-х;
в цьому проміжку графік функції збігається з прямою лінією y = π-х. Якщо значення х належить сегменту [3π / 2; 5π / 2], то, користуючись періодичністю або шляхом безпосередньої перевірки, отримаємо:
y = х-2π
Якщо значення х належить сегменту [-3π / 2;-π / 2], то
y =- π-х
Якщо значення х належить сегменту [-5π / 2;-3π / 2], то
y = х +2 π
Взагалі, якщо , То
y = х-2π k
і якщо , То
y = (π-х) +2 π k
Графік функції представлений на малюнку. Це ламана лінія з нескінченним безліччю прямолінійних ланок.

-Π

π

X

Y

Розглянемо функцію
Згідно з визначенням арккосинуса, маємо:
cos y = cos x, де
Областю визначення цієї функції є множина всіх дійсних чисел; функція періодична, з періодом, рівним 2π. Якщо значення Х належить сегменту [0; π], то y = x. Якщо х належить сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х належить сегменту [0; π] і , Тому:

Отже, на сегменті [π; 2π] маємо y = 2π - x
Якщо х належить сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π
Якщо х належить сегменту [3π; 4π], то y = 4π - x
Взагалі, якщо , То y = x - 2π k
Якщо ж , То y =-x + π k
Графіком функції є ламана лінія

-Π

π

0

Х

Y

Формули додавання

Формули додавання дають вирази для суми або різниці двох (або декількох) аркфункцій через яку-небудь дану аркфункцію. Нехай дана сума аркфункцій; над цією сумою можна виконати будь-яку тригонометричну операцію. (....) Відповідно до цього дуга-функція може бути виражена за допомогою будь-якій даній аркфункціі. Однак у різних випадках (при одних і тих же аркфункціях) можуть виходити різні формули, в залежності від проміжку, в якому береться значення розглянутої аркфункціі.
Сказане прокоментовано нижче на числових прикладах.
Приклади.
Приклад № 1. Перетворити на арксинус суму

Рішення: ця сума є сумою двох дуг α і β, де
;
У даному випадку (Тому що , А отже, ), А також , Тому .
Обчисливши синус дуги γ, отримаємо:

Оскільки сума γ укладена на сегменті [-π / 2; π / 2], то

Приклад № 2. Уявити дугу γ, розглянуту в попередньому прикладі, у вигляді арктангенс. Маємо:

Звідки

Приклад № 3. Уявити допомогою арктангенс суму
Рішення: в даному випадку (на відміну від попереднього) дуга γ закінчується в другій чверті, тому що , А . Обчислюємо
У розглянутому прикладі , Так як дуги γ і укладені в різних інтервалах,
, А
У даному випадку
Приклад № 4. Уявити дугу γ, розглянуту в попередньому прикладі, у вигляді арккосинуса.
Рішення: маємо

Обидві дуги γ і розташовані у верхній півкола і мають однаковий косинус, отже, ці дуги рівні:
Так як суми і різниці будь-яких аркфункцій можна виражати за допомогою довільних аркфункцій, то можна отримувати найрізноманітніші формули додавання. Проте всі ці формули виводяться за допомогою однотипних міркувань. Нижче в якості прикладів даються деякі з формул складання, за цими зразками можна отримати аналогічні формули в різних інших випадках.
Формули додавання аркфункцій від позитивних аргументів.
Нехай α і β - дві дуги, укладені в проміжку від 0 до π / 2 (перша чверть):
, І
Сума α + β укладена у верхній півкола , Отже, її можна представити у вигляді аркфункціі, значення якої вибирається в тому ж інтервалі, тобто у вигляді арккосинуса, а також у вигляді арккотангенс:
;

Різниця α - β укладена в правій півкола:
Отже, вона може бути представлена ​​у вигляді арксинуса, а також у вигляді арктангенс:
;

Так як значення всякої аркфункціі від позитивного аргументу укладено в інтервалі (0; π / 2) то суму двох аркфункцій від позитивних аргументів можна представити у вигляді арккосинуса, а також у вигляді арккотангенс, а різниця двох аркфункцій від позитивних аргументів можна представити у вигляді арккосинуса, а також у вигляді арктангенс.
Нижче наведені зразки відповідних перетворень.
1. Перетворимо в арккосинус , Де і
Маємо:

Звідки

2. Аналогічно
, Де 0 <x <1, 0 <y <1
, Де 0 <x <1, 0 <y <1



Формули додавання аркфункцій від довільних аргументів.
1. Висловити суму через арксинус
За визначенням арксинуса
і ,
звідки

Для дуги γ можливі наступні три випадки:
Випадок 1:
Якщо числа x та y різних знаків або хоча б одне з них дорівнює нулю, то має місце випадок 1.
Справді, при і , Маємо:
, І ,
звідки

При x> 0, y> 0 для дуги γ має місце одна з наступних двох систем нерівностей:
а) б)
Необхідною і достатньою ознакою, що дозволяє відрізнити один від іншого випадки а) і б), є виконання нерівності:
у випадку а) і у разі б)
У самому справі, взаємно виключають одне одного співвідношення а) і б) тягнуть за собою взаємно виключають слідства і (Відповідно), а тому ці слідства служать необхідними і достатніми ознаками наявності даних співвідношень.
Обчисливши , Отримаємо:

При x> 0, y> 0 наявність випадку 1 означає виконання нерівності а) тобто або

Звідки
і, отже,
Наявність випадку 1 при x <0, y <0 означає виконання нерівностей
;
але тоді для позитивних аргументів-x і-y має місце випадок 1, а тому
або
Випадок 2.
У цьому випадку x> 0, y> 0, тобто виконується нерівність б); з умови отримаємо
Випадок 3.
Цей випадок має місце при x <0, y <0, і
Змінивши знаки на протилежні прийдемо до попереднього випадку:

звідки
Дуги γ і мають однаковий синус, але (за визначенням арксинуса) , Отже у випадку 1 ;
у випадку 2 і у випадку 3 .
Отже, маємо остаточно:
, або
; X> 0, y> 0, і (1)
; X <0, y <0, і
Приклад:

;
2. Замінивши в (1) x на-x отримаємо:
, або
; X> 0, y> 0, і (2)
; X <0, y <0, і
3. Висловити суму через арккосинус
і
маємо

Можливі наступні два випадки.
Випадок 1: якщо , То

Прийнявши до уваги, що обидві дуги і розташовані в проміжку [0; π] і що в цьому проміжку косинус убуває, отримаємо

і отже, , Звідки
Випадок 2: . Якщо , То
,
звідки за допомогою міркувань, аналогічних попереднім, одержимо . З зіставлення результатів випливає, що випадок 1 має місце, якщо , А випадок 2, якщо
.
З рівності випливає, що дуги
і мають однаковий косинус.
Що стосується 1 , У випадку 2 , Отже,
,
, (3)
4. Аналогічно
,
, (4)
приклад:
5.
; Xy <1
; X> 1, xy> 1 (5)
; X <0, xy> 1
При xy = 1 не має сенсу
6.

; Xy> -1
; X> 0, xy <-1 (6)
; X <0, xy <-1
7.
;
; (7)
;
8.
; (8)
;
9.
;
; X> 1 (9)
; X <-1
10. (10)
(11)
, Якщо (12)
, Якщо