Апроксимація функцій.

З курсу математики відомі 3 способу завдання функціональних залежностей:
1) аналітичний
2) графічний
3) табличний
Табличний спосіб зазвичай виникає в результаті експерименту.
Недолік табличного задання функції полягає в тому, що знайдуться значення змінних які невизначені таблицею. Для відшукання таких значень визначають наближається до заданої функцію, званої аппроксмірующей, а дія заміни апроксимацією.

φ (х)

Апроксимація полягає в тому, що використовуючи наявну інформацію з f (x) можна розглянути іншу функцію φ (ч) близьку в деякому сенсі до f (x), що дозволяє виконати над нею відповідні операції і отримати оцінку похибка такої заміни.
φ (х) - апроксимуюча функція.
Інтерполяція (окремий випадок апроксимації)
Якщо для табличної функції y = f (x), що має значення x ₀ f (x ₀₎ потрібно побудувати апроксимуючу функцію j (x) збігається у вузлах з x _i c заданої, то такий спосіб називається інтерполяцією
При інтерполяції, задана функція f (x) дуже часто апроксимується за допомогою многочлена, що має загальний вигляд
j (x) = p _n (x) = a ^_n x _n + a _n-1 x ^n-1 + ... + a ₀
У даному многочлене необхідно знайти коефіцієнти a _n, a _n-1, ... a _0, так як завданням є інтерполювання, то визначення коефіцієнтів необхідно виконати з умови рівності:
P _n (x _i) = y _{i i} = 0,1, ... n
Для визначення коефіцієнтів застосовують інтерполяційні многочлени спеціального виду, до них відноситься і поліном Лагранжа L _n (x).

i ¹ j
У точках відмінних від вузлів інтерполяції поліном Лагранжа в загальному випадку не співпадає із заданою функцією.

Завдання

За допомогою інтерполяційного полінома Лагранжа обчислити значення функції y в точці x _c, вузли інтерполяції розташовані рівномірно з кроком D х = 4,1 починаючи з точки х ₀ = 1,3 дані значення функції y = {-6.56, -3.77, -1.84,0.1 , 2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.

ДСА для даного методу

та

немає

та

Початок

Введення х _0, h, x _c, n

I = 0

j £ n

Введення y _i

x _i = x ₀ + h * i

i = i +1

S = 0

i = 0

P = 1

j = 0

j = j +1

S = S + y _i * P

i = i +1

Висновок S, x _c

Кінець

i = j

i £ n

CLS
DIM Y (9)
DATA -6.56, -3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10
FOR I = 0 TO N - 1
1 X (I) = X0 + H * I
READ Y (I)
PRINT Y (I); X (I)
NEXT I
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
FOR I = 0 TO N - 1
2 S1 = S1 + X (I) ^ 2
S2 = S2 + X (I)
S3 = S3 + X (I) * Y (I)
S4 = S4 + Y (I)
NEXT I
D = S1 * N - S2 ^ 2
D1 = S3 * N - S4 * S2
D0 = S1 * S4 - S3 * S2
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
YC = A1 * XC + A0
PRINT "A0 ="; A0, "A1 ="; A1, "YC ="; YC
FOR X = 0 TO 50 STEP 10
Y = A1 * X + A0
PRINT X, Y
NEXT X
END
XC = 10
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
S =- 1.594203
Апроксимація функцій. Метод найменших квадратів.

В інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у вигляді функціональної залежності зв'язок між величинами, заданими таблично або у вигляді набору точок з координатами (x _i, y _i), i = 0,1,2, ... n, де n - загальна кількість точок. Як правило, ці табличні дані отримані експериментально і мають похибки. При апроксимації бажано отримати відносно просту функціональну залежність (наприклад, поліном), яка дозволила б "згладити" експериментальні похибки, отримати проміжні та екстраполяційні значення функцій, спочатку не містяться у вихідній табличної інформації.
Графічна інтерпретація апроксимації.
Ця функціональна (аналітична) залежність повинна з достатньою точністю відповідати початковій табличній залежності. Критерієм точності або достатньо "хорошого" наближення можуть служити декілька умов.
Позначимо через f _i значення, обчислене з функціональної залежності для x = x _i і зіставляється з y _i.
Одна з умов узгодження можна записати як
S = PRIVATE (F _{i-y i)} ® min,
тобто сума відхилень табличних і функціональних значень для однакових x = x _i повинна бути мінімальною (метод середніх). Відхилення можуть мати різні знаки, тому достатня точність у ряді випадків не досягається.
Використання критерію S = PRIVATE | F _{i-y i} | ® min, також не прийнятно, тому що абсолютне значення не має похідної в точці мінімуму.
Враховуючи вищевикладене, використовують критерій найменших квадратів, тобто визначають таку функціональну залежність, при якій
S = PRIVATE (F _{i-y i)} ^2, (1)
звертається до мінімум.
У якості функціональної залежності розглянемо многочлен
f (x) = C ₀ + C ₁ X + C ₂ X ² +...+ C ^_M X _M. (2)
Формула (1) прийме вигляд S = PRIVATE (C ₀ + C ₁ X _i + C ₂ X _i ² +...+ C ^_M X _{i M} - Y _i) ²
Умови мінімуму S можна записати, прирівнюючи нулю приватні похідні S із незалежним змінним С _0, С _1, ... З _М:
S _C0 = 2 PRIVATE (C ₀ + C ₁ X _i + C ₂ X _i ² +...+ C _M X _i ^M - Y _i) = 0,
S _C1 = 2 PRIVATE (C ₀ + C ₁ X _i + C ₂ X _i ² +...+ C _M X _i ^M - y _i) X _i = 0,
.................................................. ............................................... (3)
S _CM = 2 PRIVATE (C ₀ + C ₁ X _i + C ₂ X _i ² +...+ C _M X _i ^M - Y _i) X _i ^M = 0,
Тоді з (3) можна отримати систему нормальних рівнянь
C ₀ (N +1) + C ₁ PRIVATE X _i + C ₂ PRIVATE X _i ² +...+ C _M PRIVATE X _i ^M = PRIVATE Y _i,
C ₀ PRIVATE X _i + C ₁ PRIVATE X _i ² + C ₂ PRIVATE X _i ³ +...+ C _M PRIVATE X _i ^{M +1} = PRIVATE Y _i X _i,
.................................................. .................................................. ... (4)
C ₀ PRIVATE X _i ^M + C ₁ PRIVATE X _i ^{M +1} + C ₂ PRIVATE X _i ^{M +2} +...+ C _M PRIVATE X _i ^2M = PRIVATE Y _i X _i ^M.
Для визначення коефіцієнтів С _i і, отже, шуканої залежності (2) необхідно обчислити суми і вирішити систему рівнянь (4). Матриця системи (4) називається матрицею Грама і є симетричною і позитивно визначеною. Ці корисні властивості використовуються при її вирішенні.

PRIVATE	(N +1)	X _i	X _i ²	...	X _i ^M	Y _i
	X _i	X _i ²	X _i ³	...	X _i ^{M +1}	Y _i X _i
	...	...	...	...	...	...
	X _i ^M	X _i ^{M +1}	X _i ^{M +2}	...	X _i ^2M	Y _i X _i ^M

Неважко бачити, що для формування розширеної матриці (4а) достатньо обчислити тільки елементи першого рядка і двох останніх стовпців, інші елементи не є "оригінальними" і заповнюються за допомогою циклічного присвоєння.
Завдання
Знайти коефіцієнти прямої і значення функції y {-6.56, -3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0 = 1.3 h = 4.1, та визначити інтеграл заданої функції.

Програма

Відповіді

Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
КОЕФІЦІЄНТ прямо в точку A0 =- 6.709182
КОЕФІЦІЄНТ прямо в точку A1 = .5007687
Значення функції в точці XC Y =- 1.701495
10 5.007687
20 10.01537
ЗНАЧЕННЯ ІНТЕГРАЛА ПО методом трапецій D = 166.9725