РЕФЕРАТ
АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ
Диференціальне рівняння спільно з початковим і граничним умовами повністю визначають завдання, тобто, знаючи геометричну форму тіла, початкові та граничні умови, можна диференціальне рівняння вирішити до кінця і, отже, знайти функцію розподілу температури в будь-який момент часу. Таким чином, у результаті рішення повинна бути знайдена функція
Т (х, у, z, t) == f (х, у, z, t).
Функція f (х, у, z, t) повинна задовольняти диференціальному рівнянню (при підстановці її замість Т в диференціальне рівняння теплопровідності воно повинно звертатися до тотожність), а також початкові і граничні умови.
По теоремі єдиності рішення, якщо деяка функція Т (х, у, z, t) задовольняє диференціальному рівнянню теплопровідності, початковим і граничним умовам, то вона є єдиним рішенням даної задачі.
Методи розрахунку. Для вирішення задач теплопровідності застосовують аналітичні методи і чисельний метод. Аналітичні методи полягають у підборі рівняння процесу, задовольняє диференціальному рівнянню теплопровідності і крайовим умовам. З аналітичних методів найбільш часто застосовуються метод Фур'є, метод джерел і операторний метод. Надалі ми будемо застосовувати тільки метод джерел як найбільш простий і задовільно описує розподіл температури в багатьох випадках нагрівання металу при зварюванні.
Метод джерел зручний для вирішення завдань нагріву і охолодження металу при зварюванні, пов'язаних з місцевим виділенням тепла. Фізична сутність методу джерел полягає в тому, що будь-який процес розповсюдження тепла в тілі теплопровідністю можна представити як сукупність процесів вирівнювання температури від безлічі елементарних джерел тепла, розподілених як у просторі, так і в часі. Рішення задач теплопровідності за цим методом в основному зводиться до правильного вибору джерел та їх розподілу.
Існуючі аналітичні методи дають можливість отримувати рішення тільки для процесів, що описуються лінійними диференціальними рівняннями при лінійних граничних умовах, тобто для тих випадків, коли коефіцієнти теплофізичних властивостей - теплопровідність λ і об'ємну теплоємність з γ, а також коефіцієнт тепловіддачі α можна вважати незалежними від температури. Аналітичні методи призводять до загальних рівнянь процесів, дійсним при різноманітних числових значеннях параметрів, що характеризують дане завдання, - геометричних розмірів, теплових характеристик режиму нагріву і фізичних властивостей металу. У найпростіших завданнях вдається отримати рішення в замкненій формі, тобто висловити рівняння процесу через вивчені функції від часу, просторових координат і постійних параметрів процесу. У більш складних завданнях рішення описуються певними інтегралами або нескінченними рядами.
Для розрахунку процесів нагріву і охолодження металу при зварюванні вибирають постійні значення коефіцієнтів λ, су, а й α, відповідні деякої середній температурі процесу. У діапазоні температур зварювального процесу - від температури плавлення металу до температури навколишнього повітря - теплофізичні коефіцієнти значно змінюються, особливо коефіцієнт тепловіддачі. Середня температура, якої відповідають прийняті для розрахунку значення теплофізичних коефіцієнтів, визначається із зіставлення досвідчених даних з вимірювання температури з результатами розрахунку. Для розрахунку температури при зварюванні маловуглецевої сталі слід приймати теплофізичні коефіцієнти металу λ, су і а, відповідні середній температурі 400-500 °, і коефіцієнт тепловіддачі α, відповідний температурі 200-400 °.
Основні розрахункові схеми нагрівання металу зварювальними джерелами
Хоча процеси поширення тепла в умовах зварювання є надзвичайно складними, для їх розв'язання в ряді випадків вдається застосовувати спрощені методи, що зводять конкретну задачу до ідеальним теоретичним схемами.
Так як характер поширення тепла в тілі сильно залежить від його форми і розмірів, то для розрахунків приймають такі схеми тіла, що нагрівається.
1. Нескінченне тіло - тіло (рис.4.1, а), яке має таку протяжність по осях oX, oY, oZ, при якій його межі не впливають на характер теплового поля, тобто його можна замінити нескінченним тілом, у якого є необмежена протяжність по всіх трьох напрямках.
Рис.4.1. Розрахункові схеми теплопроводящей тіла і джерела тепла при нагріванні дугою: а - точкове джерело О на поверхні напівбезмежного тіла; б-точкове джерело О на поверхні плоского шару, в - лінійне джерело О О 'в пластині; г - плоский джерело О в стрижні.
Схема нескінченного тіла тим краще описує процес, чим більше розмір реального тіла, менша тривалість процесу, що менше теплопровідність і чим ближче до джерела розташована розрахункова область.
Це поняття використовується тільки для попередніх висновків.
2. Полубесконечной тіло - тіло, що має тільки одну граничну поверхню z = 0, з боку якої, як правило, діє джерело тепла.
3. Пластина - це тіло (рис.4.1, в), обмежене двома площинами, наприклад, z = 0 і z = . При використанні цієї схеми, завжди припускають, що температура по товщині листа рівномірна, а теплота може поширюватися лише у площині. Схема тим краще описує реальне тіло, чим воно тонше, чим більше тривалість процесу, чим вище теплопровідність і чим далі від джерела розташована зона розраховуються температур.
4. Плоский шар - це пластина (4.1, б), у якої температура точок тіла по товщині не є рівномірною. Цю схему застосовують у тих випадках, коли товщина тіла не настільки велика, щоб можна було знехтувати впливом обмежує площини z =- і вважати тіло напівнескінченних.
5. Стрижень - це тіло (рис.4.1, г), що має необмежений розмір по одній з координатних осей і обмежений розмір в напрямку двох інших осей. При використанні цієї схеми передбачається, що температура за поперечним перерізом стрижня розподілена рівномірно. Тепловий потік в цьому випадку лине.
Схеми джерела тепла. Схему джерела вибирають згідно зі схемою теплопроводящей тіла. При наплавленні валика на поверхню масивного вироби (або товстого листа) (рис.4.1, а, б) джерело вважається зосередженим у точці О - центрі дугового плями нагрівання. При зварюванні аркушів встик (рис.4.1, в) доцільно вважати, що тепло дуги докладено до лінійного елементу 00 ', а при зварюванні в стик стрижнів (рис.4.1, г) або при нагріванні торця електрода до плоского елементу О. Така схематизація джерела не дозволяє розраховувати процес поширення тепла в області, що безпосередньо прилягає до дуги в початковому періоді процесу, тобто безпосередньо після введення тепла дуги. Для цього потрібно більш точно враховувати характер розподілу тепла джерела, наприклад, за схемами нормального розподілу
Тривалість дії джерела тепла.
Джерела тепла, що зустрічаються в практичних випадках зварювання, також різноманітні. Їх схематизує так:
А) за ознакою розподіленості: зосереджені (точковий, плоский, об'ємний) і розподілені (за певним законом введення тепла у виріб) джерела тепла;
Б) за часом дії: миттєво і безперервно діючі;
В) по розташуванню щодо розглянутої точки у часі: нерухомі, рухомі, швидкорухомі джерела тепла.
Фактично тепловий потік зварних джерел тепла завжди розподілений по нагрівається поверхні або об'ємом. Однак, облік розподіленості вводи тепла від зварювальних джерел дуже ускладнює отримання формул, зручних для розрахунків. Тому застосовують різні спрощені схеми точкового, лінійного, плоского й об'ємного джерел тепла. Ці спрощення в безпосередній близькості від джерел значно спотворюють температурні поля, а на деякій відстані від нього дають задовольняє практику збіжність з реальними полями.
Точкове джерело тепла - це таке джерело, обсяг якого нескінченно малий і в межі представляє собою точку.
Лінійний джерело тепла - це таке джерело, у якого тепло рівномірно розподілено вздовж прямої: можна уявити, що тепло в цьому випадку сконцентровано в циліндрі з r → 0.
Плоский джерело тепла - це джерело тепла, рівномірно розподілений по деякій площині.
Поверхневий джерело тепла - це джерело, потік тепла якого розподілений по поверхні зварюється тіла згідно з визначеним законом.
Об'ємний джерело тепла - джерело, рівномірно виділяє тепло в деякому обсязі.
Миттєвий джерело тепла - це джерело, тривалість дії якого прагне до нуля (приймається тільки для загальної вихідної схеми).
Постійно діючий джерело тепла - це джерело постійної теплової потужності, що діє безперервно або достатньо тривало.
Нерухомий джерело тепла - це не переміщується в тілі (або по тілу) джерело тепла постійної потужності.
Рухомий джерело тепла - це джерело постійної потужності, що переміщається в тілі або по поверхні тіла прямолінійно з постійною швидкістю.
Бистродвіжущихся джерело тепла - це рухливий джерело тепла, що переміщається з такою швидкістю, при якій поширенням тепла перед джерелом можна знехтувати.
Вибір правильної схеми тіла і джерела тепла визначає можливість наближення розрахунку до реальних умов у відповідних конкретних випадках.
Розглянемо деякі розрахункові формули для різних випадків теплових процесів, що мають відношення до теплових розрахунками при зварюванні.
Почнемо з розгляду поширення тепла миттєвих джерел, зосереджених в точці, лінії або площини в тілах різних прийнятих схем.
Миттєві зосереджені джерела
Рішення методу джерел виходять у найбільш простій формі, якщо область поширення тепла не обмежена, а джерело зосереджений в дуже малому елементі об'єму.
Миттєвий точкове джерело. У початковий момент часу t = 0 в нескінченно малому елементі об'єму dx dy dz необмеженого теплопроводящей тіла, що знаходиться при початковій нульовій температурі Т0 = 0, зосереджено кількість тепла Q Дж. Теплофізичні властивості тіла характеризуються коефіцієнтом теплопровідності λ [дж / см · сек ° С], об'ємної теплоємністю з γ [дж1см3 · ° С] і коефіцієнтом температуропровідності а [смг / сек] ці коефіцієнти залишаються постійними в усьому тілі за весь час процесу і не залежать від температури. Сумісний з елементом обсягу початок Про прямокутної системи координат XYZ. Тоді процес поширення тепла миттєвого зосередженого джерела Q виразиться рівнянням
(4.1)
тут R 2 = х2 + y 2 + z 2 - квадрат відстані від джерела тепла Про до точки тіла А з координатами х, у, z. Це рівняння процесу є особливим рішенням диференціального рівняння теплопровідності. Очевидно, що процес (4.1) симетричний відносно точки О, тобто температура будь-якої точки тіла визначається тільки її сферичним радіусом-вектором R. Ізотермічними поверхнями є сфери R = const з центром у точковому джерелі О.
Для того, щоб переконатися, що рішення (4.1) задовольняє диференціальному рівнянню теплопровідності, обчислимо приватні похідні температури за часом і просторових координатах х, у, z і підставимо в диференціальне рівняння. У результаті підстановки повинно вийти тотожність.
Похідну ∂ Т / ∂ t, тобто швидкість зміни температури, знайдемо за правилом диференціювання добутку двох функцій від t
де
T = uv;
Похідну ∂ T / ∂ x, тобто градієнт температури в напрямку ОХ обчислимо за правилом диференціювання складних функцій
(А)
Другу похідну температури по осі ОХ знайдемо за правилом диференціювання добутку двох функцій
(Б)
Другі похідні по осях OY і OZ висловимо аналогічно
;
(В)
Підставляючи вирази (а) - (у) в диференціальне рівняння теплопровідності, отримаємо тотожність
(Г)
Отже, рішення (4.1) задовольняє диференціальному рівнянню теплопровідності. Необхідно лише переконатися в правильному виборі постійного (яке не залежить від х і t) співмножники у виразі (4.1), очевидно, що скорочується, в тотожності (г).
У міру того, як тепло Q джерела розповсюджується по тілу, температури окремих точок тіла змінюються, але загальне тепломісткість залишається постійно рівним Q. Підрахуємо тепломісткість тіла Q (t) у процесі поширення (4.1) тепла точкового джерела в будь-який момент часу t:
(4.2)
і перевіримо, чи залишається воно постійно рівним Q.
Вираз 4 π R 2 являє собою площу ізотермічної сферичної поверхні радіуса R. Підставимо у вираз (4.2) рівняння процесу поширення тепла (4.1) і обчислимо інтеграл
Інтеграл беремо по частинах
∫ udp = up - ∫ pdv
dp = exp {-R2/4at} · d (-R2/4at) =- exp {-R2/4at} · RdR/2at
p = exp {-R2/4at}; u =- 2atR; du =- 2atdR
Відомо, що ; Наведемо до цього виду інтеграл
підстановкою
, Тоді
Підставимо це значення інтеграла в рівняння
Отже,
Тепломісткість Q (t) тіла, нагрітого миттєвим точковим джерелом, в будь-який момент процесу t дорівнює тепла Q, зосередженому в початковий момент в точці О, отже, постійний співмножник в рівнянні (4.1) обраний правильно. Тепломісткість нескінченного тіла залишається постійним, так як тіло не втрачає тепла в навколишнє середовище.
У початковий момент t = 0, формула (4.1) дає нескінченно велику температуру в точці О, T (0,0) → ∞, тому що в цей момент кінцеве кількість тепла Q зосереджено в точці, тобто в нескінченно малому елементі об'єму. У всьому обсязі тіла поза точкового джерела початкова температура дорівнює нулю, Т (R, 0) = 0. У вельми віддалених від джерела точках тіла R → ∞ температура в усі час процесу залишається рівною нулю, T (∞, t) → 0.
Ізотермічні поверхні являють собою сфери. Зменшення температури по радіусу виражається множником , У той час як множник
представляє спадання температури точки R = 0 в часі. Найбільша температура завжди в точці R = 0.
Принцип накладення. У тілі діє ряд зосереджених джерел. Будемо вважати коефіцієнти λ, су і α незалежними від температури, тоді диференціальне рівняння теплопровідності і граничні умови стають лінійними. Як відомо, сума будь-якого числа приватних рішень лінійного диференціального рівняння також задовольняє цього рівняння. Тому тепло кожного джерела поширюється по тілу незалежно від дії інших джерел, тобто так, як і тепло від одиночного джерела. Процеси поширення тепла окремих джерел не взаємодіють між собою, а просто накладаються один на одного. Принцип накладення полягає в тому, що температура в процесі поширення тепла при спільній дії ряду джерел розглядається, як сума температур від дії кожного з джерел окремо.
Принцип накладення непридатний, якщо:
а) коефіцієнти теплофізичних властивостей матеріалу λ, з γ і коефіцієнт тепловіддачі α вважати залежними від температури;
б) враховувати що відбуваються в тілі зміни агрегатного стану, пов'язані з поглинанням чи виділенням тепла (плавлення, тужавіння, структурні перетворення).
Якщо тепер скористатися принципом накладання, то, комбінуючи миттєві точкові джерела, можемо отримати безліч інших джерел теплоти.
Миттєвий лінійний джерело. Миттєвий лінійний джерело теплоти представляє собою комбінацію миттєвих точкових джерел, що діють одночасно і розташованих по лінії.
Температурне поле в пластині від миттєвого лінійного джерела при відсутності тепловіддачі виходить шляхом інтегрування температурних полів від миттєвих точкових джерел
(4.3)
Після перетворення і заміни Q 1 = Q / δ, [дж / см] знаходимо
(4.4)
тут r 2 = x 2 + y 2 - квадрат відстані від джерела тепла OZ до точки тіла A (x, y, z). Процес (4.4) симетричний щодо осі OZ, і задовольняє диференціальному рівнянню теплопровідності для плоского поля. Температурне поле є плоским, тобто температура не залежить від координати z, так як розміри джерела в напрямку осі OZ необмежені; ізотермічні поверхні - кругові циліндри з віссю OZ.
Миттєвий плоский джерело. Миттєвий плоский джерело теплоти являє собою сукупність миттєвих точкових джерел теплоти, що діють одночасно і розташованих в одній площині. Під миттєвим плоским джерелом звичайно розуміють рівномірний розподіл Q по перерізу.
Температурне поле від миттєвого плоского джерела Q 2 = Q / F, [Дж/см2] в стержні без тепловіддачі виражається рівнянням
(4.5)
Процес симетричний відносно площини YOZ і задовольняє диференціальному рівнянню теплопровідності (4.5) для лінійного поля. Так як розміри джерела в площині YOZ не обмежені, температурне поле є лінійним, тобто температура залежить тільки від координати х. Ізотермічні поверхні-площині, паралельні YOZ.
Миттєвий об'ємний джерело теплоти являє собою сукупність миттєвих точкових джерел, розподілених за будь-яким законом у тілі. Використовуючи принцип накладення, вдається отримати різні миттєві джерела, що відрізняються за розподіленості. По суті тільки точкове джерело є зосередженим по відношенню до всіх координатним осям.
Лінійний джерело є зосередженим по відношенню до двох координатних осях і розподіленим в третьому напрямі. Плоский джерело є зосередженим лише в одному напрямку. Об'ємний джерело може служити прикладом розподіленого джерела в усіх напрямках.