Аналітична геометрія Декарта і проблеми філософії техніки
Глибокі зміни в науці XVI-XVII століття, що закріпили за цим періодом назву "наукової революції", торкнулися не тільки науки про природу, але і математичних дисциплін. Творцям диференціального й інтегрального числення, аналітичної геометрії, теорії ймовірностей належало подолати серйозні перешкоди. Складність полягала не тільки у суто технічних, узконаучних моментах, - вже античність уміє по-своєму інтегрувати і проводити дотичні, - але і в загальнофілософської плані. На шляху створення математичного аналізу та аналітичної геометрії стояли класичні уявлення давнини і середньовіччя про природу числа, континууму, про норми строгості, доказовості в математиці, - коротше, про все те, чим повинна бути математика в рамках деякої світоглядної перспективи. Піонерам новоєвропейської математики - Валліс, Ферма, Декарту, Паскалю та ін - довелося долати не тільки узкоматематіческіе труднощі, але і вести суперечку з тисячолітніми філософськими традиціями. Слід також зазначити, що складні гносеологічні проблеми, супутні народженню новоєвропейської математики, мають не лише історичний інтерес. Ключові проблеми математики XX століття - інтуїционізма, логіцизм, конструктивні напрямки, нестандартний аналіз та ін - найтіснішим чином пов'язані з науковими суперечками XVI-XVII століть.
У плані чистої історії математики винахід Декарта не було "потрясінням основ". Весь XVI століття математика Західної Європи переживає бурхливий процес алгебраизации. Витоки ж цього руху потрібно шукати ще раніше, в пізньому середньовіччі. З XII століття, коли в Європі починають переводити на латину твори Евкліда, Птолемея, Аль-Хорезмі, разом з перекладами з арабської в західноєвропейську культуру транслюється і особливий образ математики, який зіграв формуючу, що заправляє роль. З математики ісламської культури приходить підкреслене пристрасть до алгоритмічним методам, до знання, сформульованому у вигляді правил і рецептів.
Декарт, демонструючи у своїй книзі міць нового методу аналітичної геометрії, істотно преакцінтірует саме розуміння геометрії - і в сенсі методу, і в сенсі предмету. Причини цієї трансформації - і тягнуться аж до нашого часу наслідки її - пов'язані з глибокими змінами філософського і загальнокультурного горизонту, всередині якого тільки й існує математика будь-якої епохи, з новими ціннісними орієнтирами, характерними для науки XVII століття.
Щоб краще зрозуміти сенс декартівського перевороту в математиці, нам потрібно згадати, як усвідомлюється в античності пізнавальний статус геометрії. Піфагорійський-платонівська традиція розуміє геометрію як науку двоїсту, зобов'язану своїм існуванням двом принципам: інтелекту і уяві.
Грецька геометрія, що розвивалася в руслі платонівської-піфагорейської традиції, робила особливий акцент на споглядальному характері геометричних методів, підкреслювала важливість цілісного осягнення геометричних образів, небайдуже ставилася і до естетичного аспекту геометрії.
Сутність декартівської новації була її алгебраізація. Новим, що принесла з собою картезіанська "геометрія", було принципове, систематичне зведення геометричних завдань до алгебраїчних. Мова щла не про нові вдалих прийоми розв'язання задач, а про зміну самої точки зору на геометрію. Зрозуміти цю трансформацію можна лише звернувшись до декартівського філософському вченню про метод. Дійсно, існує дивна безперервність у переході від суто філософських побудов "Міркувань про метод" до геометричних конструкцій в "Геометрії".
"Під методом ж, - пише Декарт, - я розумію точні і прості правила, суворе дотримання яких завжди перешкоджає прийняттю помилкового за істинне і, без зайвої витрати розумових сил, але поступово і безперервно збільшуючи знання, сприяє тому, що розум досягає істинного пізнання всього , що йому доступно ". Сформулюємо спеціально ці характерні риси декартівського методу: достовірність, простота, механічність, продуктивність, повнота. Метод, одного разу знайдений, вже не вимагає для своєї експлуатації особливих інтелектуальних зусиль. Користування ним у науці призводить останню до своєрідної "механічній роботі", байдужість якої, як неухильне незворушний проходження запропонованим правилам, служить навіть гарантом правильності одержуваних результатів і, отже, їх істинності. У "Правилах" метод Декарта розпадається на безліч приписів різного ступеня спільності. У "Міркуваннях про метод" ці приписи зведені до чотирьох основних. Але для нас зараз важливіше інше. Оскільки правила методу виводяться з розгляду "структури" самого людського розуміння взагалі, безвідносно до будь-якої конкретної науки, то вони мають трансцендентальний характер. Іншими словами, ці правила характеризують пізнання з його апріорної боку, з точки зору його форми і відіграють роль у будь-яких науках. Так, вже арифметика і геометрія древніх, пише Декарт, "є не чим іншим, як мимовільними плодами, що виникли з вроджених почав цього методу ...". Саме це, почасти вже втрачене "мистецтво людської мудрості", намагалися воскресити, на думку Декарта, і його сучасники під ім'ям алгебри. "... Таким чином, - пише Декарт, - повинна існувати якась загальна наука, яка пояснює все що відноситься до порядку та мірі, не входячи в дослідження ніяких приватних предметів, і ця наука повинна називатися не іноземним (тобто арабським" алджебер " .), але старим, вже увійшли у вжиток ім'ям загальної математики ...".
Ідея "загальної математики" (mathesis universalis) була найвищою мірою популярною в XVI-XVII століттях. Ідея ця сходить ще до того образу математики, під яким вона культивувалася в древніх цивілізаціях Єгипту, Вавилона, Індії.
З цього алгоритмічного розуміння математики природно виростає ідея про універсальний алгоритм - правилі, прийомі, який би дозволив чисто механічно, "без зайвої витрати розумових сил" вирішити будь-які проблеми. "Природно", говоримо ми, але тільки за однієї умови. Передумовою цього переходу є загальна прагматична орієнтація в розумінні сутності знання. Знання, як сукупність прийомів і методів для досягнення тих чи інших цілей. XIII століття є свідком м набагато серйознішою новації: францисканський місіонер Раймонд Луллій створює своє знамените "Велике мистецтво", як одну з перших спроб "автоматизації" процесу логічних міркувань (надруковано було Ars magna тільки в 1480 році). Весь XVI століття проходить під знаком наполегливих пошуків зручною алгебраїчної символіки, яка дозволила б створити якесь "числення" для вирішення завдань (К. Рудольф, М. Штіфель, Р. Бомбеллі, П. Рамус, С. Стевін, Ф. Вієт та ін ). У 80-х роках XVI століття Дж. Бруно люто захищає свій платонізірованний варіант луллізма в Сорбонні. У XVII столітті ідея mathesis universalis приваблює не тільки Декарта, але і Лейбніца, який серйозно починає будувати формальну мову своєї "загальної характеристики". Ця потужна традиція (в європейській культурі висхідна, ймовірно, ще до ідеї "Органон" у Аристотеля) доходить і до XX століття, оновлюючись (і радикалізуючи) в проблемах, пов'язаних з комп'ютеризацією, "штучним інтелектом", логіцісткім обгрунтуванням математики.
Декарт робить рішучий крок: він об'єднує арифметику і геометрію в загальну науку на підставі операційного подібності їх предметів. Це більш загальна наука, що займається вже не числом і не протяжністю, а властивостями операцій над ними, і називається алгеброю. Алгебра в цьому сенсі виступає як абстрактна алгебра, як наука, систематично вивчає не якісь реальності, а окремі виділені властивості цих реальностей безвідносно до цілісності останніх. Цей спосіб, особливо кут зору на математичні об'єкти, аж ніяк не природний сам по собі і для античних математиків був би надзвичайно надуманим і марним. Чисто гносеологічно він полягає у переміщенні уваги з об'єкта пізнання на його суб'єкт, в тотальності діяльнісної установки якого стираються відмінності в маніпульованим об'єктах. Для вироблення цієї установки було потрібно духовне зусилля цілої культурної епохи, що тягнеться від пізнього середньовіччя до XVII століття. Алгебраізація математики є лише внутріматематіческое вираження цієї більш широкої філософської (і, ширше, світоглядної) тенденції.
За допомогою "обчислення пана Декарта" людина, аж ніяк не володіє особливими математичними здібностями, може вирішувати завдання, які в рамках традиційних методів античної геометрії були доступні лише професіоналам високого рівня. Рішення завдання вимагає лише акуратною її формалізації-перекладу на мову символів і далі чисто механічної роботи, пов'язаної з перетворенням алгебраїчних виразів. Алгебра виступає майже універсальним посередником при рішенні геометричних (як і арифметичних) завдань. Сама по собі алгебра є лише наука операцій, вироблених над відрізками: кожному алгебраическому висловом відповідає послідовність дій над геометричними (або арифметичними) величинами. У цьому відношенні алгебра є не що інше (не що більше), як техніка геометричних операцій. І саме тому ми приводимо до необхідності розглянути усіма алгебру на тлі більш загальних питань, що стосуються природи техніки.
Методу: "без зайвої витрати розумових сил", механічно дотримуючись простих правил деякого обчислення, мати можливість вирішувати різноманітні завдання. Алгебраїчна техніка не вимагає ні особливих зусиль уяви, ні тим більше "інтелектуального споглядання".
Техніка пов'язана з владою, технічне знання є сила. "Техніка - це вміння, методи якого є по відношенню до мети зовнішніми. Це вміння-здатність робити і мати, а не творити і надавати ростить ". Дійсно, застосування алгебри в геометрії виступає як щось зовнішнє по відношенню до самої "матерії" цієї науки. Алгебраїчний "механізм" ріже, комбінують, вважає, але свого елемента, свого "простого" - відрізка, як безперервної величини, як дійсного числа - він не знає (та й не хоче знати).
Техніка перебудовує і створює новий світ. "Створення знарядь праці підпорядковано ідеї деякої єдності, а саме єдності в рамках постійно розширюється при своїй замкнутості перетворення людиною навколишнього його середовища". І ця риса функціонування техніки знаходить собі паралель у "Геометрії" Декарта. Загальна тенденція технічної цивілізації, що виявляється у пристосуванні навколишнього середовища (і навіть людини) до способу функціонування машини - прокладка автомобільних і залізниць, експансія формальних мов в усі сфери культури, формалізація мистецтва, пристосування людини до ритму роботи машини і т.д., - знаходить повну аналогію і в декартівського "революції в геометрії". Зрозумілим, раціональним, науковим стає тільки те, що доступно обробці за допомогою апріорного методу. Все інше виштовхується за межі науки, оголошується ірраціональним, а то і безглуздим, а то й - при деякій навичці ... неіснуючим.
З механічним, відчуженим характером діяльності людини, втіленої в техніці, пов'язані і виникають на грунті технізації серйозні проблеми. "Там, де методи, що допускають практичне засвоєння і вхідні в саму сутність технічної діяльності, перетворюються на самоудовлетворяющуюся рутину, це засвоєння сприяє не збагачення життя ... а її збідніння ". Те ж можна повторити і у відношенні алгебраизации в "Геометрії". Рішення задач, зведене до механічного обчислення, обессмислівает геометрію як таку. Чисто алгебраїчні обчислення вимагають лише певного типу уваги, як би не потребують вже в "цілу людину". Позбавлена творчого зусилля, ця діяльність сама по собі втомлює, нудна й антигуманність за своєю суттю. Людина тут воістину виявляється лише придатком - придатком машини алгебраїчного методу.
Цей кидається в очі паралелізм між характеристиками матеріальної технікою і алгеброю не випадковий. Алгебра, як ми вже підкреслювали, початково є наука операцій, техніка маніпулювання числами і геометричними величинами. Будучи по суті своєю технікою, вона породжувала (і породжує) всі основні проблеми, супутні техніці.
Сенс зближення алгебри і техніки можна зрозуміти з наступного зіставлення. Вищою, граничної завданням техніки є створення універсального механізму - універсального робота. В даний час, час могутнього технологічного вибуху, тотальної автоматизації на основі сучасних комп'ютерних засобів, регулятивний характер цієї ідеї виявляється все більш очевидно. Цікаво, що і на зорі новоєвропейської цивілізації в XV-XVI століттях ідеї гомункулуса, "голема", людиноподібного автомата були дуже популярні (і мали наслідком навіть спроби їх технічного втілення). З іншого боку, "ідеальної" метою алгебри - і одночасно, як ми вже відзначали, її витоком-служить ідея універсального алгоритму. Пишно розрослося "древо" абстрактної алгебри вже виділив із себе до XX століття спеціальну дисципліну-математичну логіку. На базі останньої створюються різні штучні мови, що дозволяють в тій чи іншій мірі "формалізувати" деякі людські дії, тобто представити і як сукупність операцій, доступних машинному моделюванню. Це дві ідеї-ідея машини, автомата та ідея алгоритму, - продовжені до свого логічного межі, взяті у своїй повноті, в межі "перетинаються". Цим перетином служить ідея штучно створеного істоти, за своїми фізичними можливостями перевершує, а за інтелектуальними, як мінімум, рівного людині. Причому універсальний алгоритм являв би собою як би "душу" цієї істоти.
Декарт при визначенні простого й складного побудови йде від свого методу, від раціональної конструкції. Але так як метод є геометричний вираз законів загальної людської "мудрості", що лежить в основі всіх наук, то просте, в сенсі методу, є оптимальне, істинне. Просте рішення, в сенсі простоти геометричної побудови завдання, є для Декарта лише "епіфеномен", погана звичка приймати випадкове за основне, за справжнє. І цю звичку має подолати. У цьому сенсі ми зазначали вище, що метод Декарта, впровадження алгебри є не просто новий технічний прийом. Він є нова культура, культивування нових цінностей, зокрема нового критерію простоти і складності. Він є створення нового світу, в боротьбі зі старим, традиційним затверджує нові цінності. Саме від імені цього "старого світу", старого порядку цінностей - втім, не просто "природного", але й освяченого двухтисячілетней математичної традицією - і виступає Ньютон.
Нова геометрія була невіддільна від нової культури, нової, стає формації, нової людини. І "Новий органон" Ф. Бекона, і експериментальний метод Г. Галілея, соціальна "інженерія" Т. Кампанелли, і неприборкана воля драматичних героїв П. Корнеля - все свідчило про народження нової людини, активного, діяльного, перебудовуються світ.
Декартівський філософ, який занурюється в "безодню" сумніви, досить швидко намацує в цій "безодні" дно, точку опори, і на ній, як на фундаменті, починає будувати Вавілонську вежу своєї універсальної науки. Рух наукового знання після цього вже виключно екстенсивне-складне складається з відомих простих елементів-і в принципі може бути механізовано. "Життя", звичайно, чинила опір цій програмі знання, "не працювали" деякі алгоритми, та й самі елементи знання аж ніяк не були так безперечно зрозумілі, як вимагала цього сама ж декартівської програма. Потрібно було або відмовлятися від упереджених епістемологічних схем, або ... перебудовувати саму дійсність, підганяючи її під обрану заздалегідь модель (ми бачили, як це робив Декарт в геометрії). Прикладів останнього пишне дерево механіцісткіх конструкцій XVII-XVIII століть дає чимало. "Дух діяльності" часто-густо відтісняв "дух мудрості". Це прагнення чудово виражено у Гете в завершальній частині "Фауста". Фауст роздратований безплідною і безглуздою, на його думку, Катрін чергування припливів і відливів моря. Має впорядкувати все це випадкове - на думку Фауста! - "Коловороті" стихій, приборкати їх-побудувати греблю. На іронічне зауваження Мефістофеля, що Фауст шукає слави, останній відповідає:
Не в славі суть. Мої бажання-
Влада, власність, переважання.
Моє стремленье - справа, праця.
Пафос справи, праці, влади ньому свою славу в самому собі. Техніка ж як би служила головним символом, втілення цього пафосу. До кінця нашого століття ми вже почали трохи усвідомлювати, що титанічне бажання частини перебудувати ціле відповідно до своєї волі може призвести до катастрофи і що часто-густо смиренне слідування природі, згідно максими "не зашкодь", виявляється набагато мудріший. Тоді ж, коли все це починалося, в XVII столітті, духовна ситуація була іншою. "Фаустовский" дух діяльності ставав всепронізивающім. Він проникав навіть в теоретичні дисципліни, розбудовував їх, орієнтував їх розвиток у новому напрямку.
Глибокі зміни в науці XVI-XVII століття, що закріпили за цим періодом назву "наукової революції", торкнулися не тільки науки про природу, але і математичних дисциплін. Творцям диференціального й інтегрального числення, аналітичної геометрії, теорії ймовірностей належало подолати серйозні перешкоди. Складність полягала не тільки у суто технічних, узконаучних моментах, - вже античність уміє по-своєму інтегрувати і проводити дотичні, - але і в загальнофілософської плані. На шляху створення математичного аналізу та аналітичної геометрії стояли класичні уявлення давнини і середньовіччя про природу числа, континууму, про норми строгості, доказовості в математиці, - коротше, про все те, чим повинна бути математика в рамках деякої світоглядної перспективи. Піонерам новоєвропейської математики - Валліс, Ферма, Декарту, Паскалю та ін - довелося долати не тільки узкоматематіческіе труднощі, але і вести суперечку з тисячолітніми філософськими традиціями. Слід також зазначити, що складні гносеологічні проблеми, супутні народженню новоєвропейської математики, мають не лише історичний інтерес. Ключові проблеми математики XX століття - інтуїционізма, логіцизм, конструктивні напрямки, нестандартний аналіз та ін - найтіснішим чином пов'язані з науковими суперечками XVI-XVII століть.
У плані чистої історії математики винахід Декарта не було "потрясінням основ". Весь XVI століття математика Західної Європи переживає бурхливий процес алгебраизации. Витоки ж цього руху потрібно шукати ще раніше, в пізньому середньовіччі. З XII століття, коли в Європі починають переводити на латину твори Евкліда, Птолемея, Аль-Хорезмі, разом з перекладами з арабської в західноєвропейську культуру транслюється і особливий образ математики, який зіграв формуючу, що заправляє роль. З математики ісламської культури приходить підкреслене пристрасть до алгоритмічним методам, до знання, сформульованому у вигляді правил і рецептів.
Декарт, демонструючи у своїй книзі міць нового методу аналітичної геометрії, істотно преакцінтірует саме розуміння геометрії - і в сенсі методу, і в сенсі предмету. Причини цієї трансформації - і тягнуться аж до нашого часу наслідки її - пов'язані з глибокими змінами філософського і загальнокультурного горизонту, всередині якого тільки й існує математика будь-якої епохи, з новими ціннісними орієнтирами, характерними для науки XVII століття.
Щоб краще зрозуміти сенс декартівського перевороту в математиці, нам потрібно згадати, як усвідомлюється в античності пізнавальний статус геометрії. Піфагорійський-платонівська традиція розуміє геометрію як науку двоїсту, зобов'язану своїм існуванням двом принципам: інтелекту і уяві.
Грецька геометрія, що розвивалася в руслі платонівської-піфагорейської традиції, робила особливий акцент на споглядальному характері геометричних методів, підкреслювала важливість цілісного осягнення геометричних образів, небайдуже ставилася і до естетичного аспекту геометрії.
Сутність декартівської новації була її алгебраізація. Новим, що принесла з собою картезіанська "геометрія", було принципове, систематичне зведення геометричних завдань до алгебраїчних. Мова щла не про нові вдалих прийоми розв'язання задач, а про зміну самої точки зору на геометрію. Зрозуміти цю трансформацію можна лише звернувшись до декартівського філософському вченню про метод. Дійсно, існує дивна безперервність у переході від суто філософських побудов "Міркувань про метод" до геометричних конструкцій в "Геометрії".
"Під методом ж, - пише Декарт, - я розумію точні і прості правила, суворе дотримання яких завжди перешкоджає прийняттю помилкового за істинне і, без зайвої витрати розумових сил, але поступово і безперервно збільшуючи знання, сприяє тому, що розум досягає істинного пізнання всього , що йому доступно ". Сформулюємо спеціально ці характерні риси декартівського методу: достовірність, простота, механічність, продуктивність, повнота. Метод, одного разу знайдений, вже не вимагає для своєї експлуатації особливих інтелектуальних зусиль. Користування ним у науці призводить останню до своєрідної "механічній роботі", байдужість якої, як неухильне незворушний проходження запропонованим правилам, служить навіть гарантом правильності одержуваних результатів і, отже, їх істинності. У "Правилах" метод Декарта розпадається на безліч приписів різного ступеня спільності. У "Міркуваннях про метод" ці приписи зведені до чотирьох основних. Але для нас зараз важливіше інше. Оскільки правила методу виводяться з розгляду "структури" самого людського розуміння взагалі, безвідносно до будь-якої конкретної науки, то вони мають трансцендентальний характер. Іншими словами, ці правила характеризують пізнання з його апріорної боку, з точки зору його форми і відіграють роль у будь-яких науках. Так, вже арифметика і геометрія древніх, пише Декарт, "є не чим іншим, як мимовільними плодами, що виникли з вроджених почав цього методу ...". Саме це, почасти вже втрачене "мистецтво людської мудрості", намагалися воскресити, на думку Декарта, і його сучасники під ім'ям алгебри. "... Таким чином, - пише Декарт, - повинна існувати якась загальна наука, яка пояснює все що відноситься до порядку та мірі, не входячи в дослідження ніяких приватних предметів, і ця наука повинна називатися не іноземним (тобто арабським" алджебер " .), але старим, вже увійшли у вжиток ім'ям загальної математики ...".
Ідея "загальної математики" (mathesis universalis) була найвищою мірою популярною в XVI-XVII століттях. Ідея ця сходить ще до того образу математики, під яким вона культивувалася в древніх цивілізаціях Єгипту, Вавилона, Індії.
З цього алгоритмічного розуміння математики природно виростає ідея про універсальний алгоритм - правилі, прийомі, який би дозволив чисто механічно, "без зайвої витрати розумових сил" вирішити будь-які проблеми. "Природно", говоримо ми, але тільки за однієї умови. Передумовою цього переходу є загальна прагматична орієнтація в розумінні сутності знання. Знання, як сукупність прийомів і методів для досягнення тих чи інших цілей. XIII століття є свідком м набагато серйознішою новації: францисканський місіонер Раймонд Луллій створює своє знамените "Велике мистецтво", як одну з перших спроб "автоматизації" процесу логічних міркувань (надруковано було Ars magna тільки в 1480 році). Весь XVI століття проходить під знаком наполегливих пошуків зручною алгебраїчної символіки, яка дозволила б створити якесь "числення" для вирішення завдань (К. Рудольф, М. Штіфель, Р. Бомбеллі, П. Рамус, С. Стевін, Ф. Вієт та ін ). У 80-х роках XVI століття Дж. Бруно люто захищає свій платонізірованний варіант луллізма в Сорбонні. У XVII столітті ідея mathesis universalis приваблює не тільки Декарта, але і Лейбніца, який серйозно починає будувати формальну мову своєї "загальної характеристики". Ця потужна традиція (в європейській культурі висхідна, ймовірно, ще до ідеї "Органон" у Аристотеля) доходить і до XX століття, оновлюючись (і радикалізуючи) в проблемах, пов'язаних з комп'ютеризацією, "штучним інтелектом", логіцісткім обгрунтуванням математики.
Декарт робить рішучий крок: він об'єднує арифметику і геометрію в загальну науку на підставі операційного подібності їх предметів. Це більш загальна наука, що займається вже не числом і не протяжністю, а властивостями операцій над ними, і називається алгеброю. Алгебра в цьому сенсі виступає як абстрактна алгебра, як наука, систематично вивчає не якісь реальності, а окремі виділені властивості цих реальностей безвідносно до цілісності останніх. Цей спосіб, особливо кут зору на математичні об'єкти, аж ніяк не природний сам по собі і для античних математиків був би надзвичайно надуманим і марним. Чисто гносеологічно він полягає у переміщенні уваги з об'єкта пізнання на його суб'єкт, в тотальності діяльнісної установки якого стираються відмінності в маніпульованим об'єктах. Для вироблення цієї установки було потрібно духовне зусилля цілої культурної епохи, що тягнеться від пізнього середньовіччя до XVII століття. Алгебраізація математики є лише внутріматематіческое вираження цієї більш широкої філософської (і, ширше, світоглядної) тенденції.
За допомогою "обчислення пана Декарта" людина, аж ніяк не володіє особливими математичними здібностями, може вирішувати завдання, які в рамках традиційних методів античної геометрії були доступні лише професіоналам високого рівня. Рішення завдання вимагає лише акуратною її формалізації-перекладу на мову символів і далі чисто механічної роботи, пов'язаної з перетворенням алгебраїчних виразів. Алгебра виступає майже універсальним посередником при рішенні геометричних (як і арифметичних) завдань. Сама по собі алгебра є лише наука операцій, вироблених над відрізками: кожному алгебраическому висловом відповідає послідовність дій над геометричними (або арифметичними) величинами. У цьому відношенні алгебра є не що інше (не що більше), як техніка геометричних операцій. І саме тому ми приводимо до необхідності розглянути усіма алгебру на тлі більш загальних питань, що стосуються природи техніки.
Методу: "без зайвої витрати розумових сил", механічно дотримуючись простих правил деякого обчислення, мати можливість вирішувати різноманітні завдання. Алгебраїчна техніка не вимагає ні особливих зусиль уяви, ні тим більше "інтелектуального споглядання".
Техніка пов'язана з владою, технічне знання є сила. "Техніка - це вміння, методи якого є по відношенню до мети зовнішніми. Це вміння-здатність робити і мати, а не творити і надавати ростить ". Дійсно, застосування алгебри в геометрії виступає як щось зовнішнє по відношенню до самої "матерії" цієї науки. Алгебраїчний "механізм" ріже, комбінують, вважає, але свого елемента, свого "простого" - відрізка, як безперервної величини, як дійсного числа - він не знає (та й не хоче знати).
Техніка перебудовує і створює новий світ. "Створення знарядь праці підпорядковано ідеї деякої єдності, а саме єдності в рамках постійно розширюється при своїй замкнутості перетворення людиною навколишнього його середовища". І ця риса функціонування техніки знаходить собі паралель у "Геометрії" Декарта. Загальна тенденція технічної цивілізації, що виявляється у пристосуванні навколишнього середовища (і навіть людини) до способу функціонування машини - прокладка автомобільних і залізниць, експансія формальних мов в усі сфери культури, формалізація мистецтва, пристосування людини до ритму роботи машини і т.д., - знаходить повну аналогію і в декартівського "революції в геометрії". Зрозумілим, раціональним, науковим стає тільки те, що доступно обробці за допомогою апріорного методу. Все інше виштовхується за межі науки, оголошується ірраціональним, а то і безглуздим, а то й - при деякій навичці ... неіснуючим.
З механічним, відчуженим характером діяльності людини, втіленої в техніці, пов'язані і виникають на грунті технізації серйозні проблеми. "Там, де методи, що допускають практичне засвоєння і вхідні в саму сутність технічної діяльності, перетворюються на самоудовлетворяющуюся рутину, це засвоєння сприяє не збагачення життя ... а її збідніння ". Те ж можна повторити і у відношенні алгебраизации в "Геометрії". Рішення задач, зведене до механічного обчислення, обессмислівает геометрію як таку. Чисто алгебраїчні обчислення вимагають лише певного типу уваги, як би не потребують вже в "цілу людину". Позбавлена творчого зусилля, ця діяльність сама по собі втомлює, нудна й антигуманність за своєю суттю. Людина тут воістину виявляється лише придатком - придатком машини алгебраїчного методу.
Цей кидається в очі паралелізм між характеристиками матеріальної технікою і алгеброю не випадковий. Алгебра, як ми вже підкреслювали, початково є наука операцій, техніка маніпулювання числами і геометричними величинами. Будучи по суті своєю технікою, вона породжувала (і породжує) всі основні проблеми, супутні техніці.
Сенс зближення алгебри і техніки можна зрозуміти з наступного зіставлення. Вищою, граничної завданням техніки є створення універсального механізму - універсального робота. В даний час, час могутнього технологічного вибуху, тотальної автоматизації на основі сучасних комп'ютерних засобів, регулятивний характер цієї ідеї виявляється все більш очевидно. Цікаво, що і на зорі новоєвропейської цивілізації в XV-XVI століттях ідеї гомункулуса, "голема", людиноподібного автомата були дуже популярні (і мали наслідком навіть спроби їх технічного втілення). З іншого боку, "ідеальної" метою алгебри - і одночасно, як ми вже відзначали, її витоком-служить ідея універсального алгоритму. Пишно розрослося "древо" абстрактної алгебри вже виділив із себе до XX століття спеціальну дисципліну-математичну логіку. На базі останньої створюються різні штучні мови, що дозволяють в тій чи іншій мірі "формалізувати" деякі людські дії, тобто представити і як сукупність операцій, доступних машинному моделюванню. Це дві ідеї-ідея машини, автомата та ідея алгоритму, - продовжені до свого логічного межі, взяті у своїй повноті, в межі "перетинаються". Цим перетином служить ідея штучно створеного істоти, за своїми фізичними можливостями перевершує, а за інтелектуальними, як мінімум, рівного людині. Причому універсальний алгоритм являв би собою як би "душу" цієї істоти.
Декарт при визначенні простого й складного побудови йде від свого методу, від раціональної конструкції. Але так як метод є геометричний вираз законів загальної людської "мудрості", що лежить в основі всіх наук, то просте, в сенсі методу, є оптимальне, істинне. Просте рішення, в сенсі простоти геометричної побудови завдання, є для Декарта лише "епіфеномен", погана звичка приймати випадкове за основне, за справжнє. І цю звичку має подолати. У цьому сенсі ми зазначали вище, що метод Декарта, впровадження алгебри є не просто новий технічний прийом. Він є нова культура, культивування нових цінностей, зокрема нового критерію простоти і складності. Він є створення нового світу, в боротьбі зі старим, традиційним затверджує нові цінності. Саме від імені цього "старого світу", старого порядку цінностей - втім, не просто "природного", але й освяченого двухтисячілетней математичної традицією - і виступає Ньютон.
Нова геометрія була невіддільна від нової культури, нової, стає формації, нової людини. І "Новий органон" Ф. Бекона, і експериментальний метод Г. Галілея, соціальна "інженерія" Т. Кампанелли, і неприборкана воля драматичних героїв П. Корнеля - все свідчило про народження нової людини, активного, діяльного, перебудовуються світ.
Декартівський філософ, який занурюється в "безодню" сумніви, досить швидко намацує в цій "безодні" дно, точку опори, і на ній, як на фундаменті, починає будувати Вавілонську вежу своєї універсальної науки. Рух наукового знання після цього вже виключно екстенсивне-складне складається з відомих простих елементів-і в принципі може бути механізовано. "Життя", звичайно, чинила опір цій програмі знання, "не працювали" деякі алгоритми, та й самі елементи знання аж ніяк не були так безперечно зрозумілі, як вимагала цього сама ж декартівської програма. Потрібно було або відмовлятися від упереджених епістемологічних схем, або ... перебудовувати саму дійсність, підганяючи її під обрану заздалегідь модель (ми бачили, як це робив Декарт в геометрії). Прикладів останнього пишне дерево механіцісткіх конструкцій XVII-XVIII століть дає чимало. "Дух діяльності" часто-густо відтісняв "дух мудрості". Це прагнення чудово виражено у Гете в завершальній частині "Фауста". Фауст роздратований безплідною і безглуздою, на його думку, Катрін чергування припливів і відливів моря. Має впорядкувати все це випадкове - на думку Фауста! - "Коловороті" стихій, приборкати їх-побудувати греблю. На іронічне зауваження Мефістофеля, що Фауст шукає слави, останній відповідає:
Не в славі суть. Мої бажання-
Влада, власність, переважання.
Моє стремленье - справа, праця.
Пафос справи, праці, влади ньому свою славу в самому собі. Техніка ж як би служила головним символом, втілення цього пафосу. До кінця нашого століття ми вже почали трохи усвідомлювати, що титанічне бажання частини перебудувати ціле відповідно до своєї волі може призвести до катастрофи і що часто-густо смиренне слідування природі, згідно максими "не зашкодь", виявляється набагато мудріший. Тоді ж, коли все це починалося, в XVII столітті, духовна ситуація була іншою. "Фаустовский" дух діяльності ставав всепронізивающім. Він проникав навіть в теоретичні дисципліни, розбудовував їх, орієнтував їх розвиток у новому напрямку.