Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Аналіз якісних характеристик стежить системи"
МІНСЬК, 2008

Показники якості стежить системи

Якість роботи стежить системи оцінюється наступними показниками якості: точності, запасу стійкості і швидкодії.
За перехідною характеристиці можуть бути оцінені: швидкодія і перерегулювання, що визначає запас стійкості.
Перерегулювання визначається як відносна величина максимального відхилення керованої величини y (t) від сталого значення в перехідному процесі (рис.1):

.

Рис.1. Перехідна характеристика.
Рекомендовані значення перерегулювання складають (10 ... 30)%. Додатково до величини перерегулювання іноді задається число коливань на тривалості перехідного процесу (від 1-2 до 3-4). За кількістю коливань може бути якісно оцінено запас стійкості.
Швидкодія системи оцінюється тривалістю перехідного процесу. Тривалість перехідного процесу - інтервал часу від моменту подачі на вхід системи одиничного сигналу, до моменту, після якого виконується нерівність (1).
; (1)
де .
, (2)

Рис.2. Амплітудно-частотна характеристика замкнутої системи.
До частотних показників якості відносяться: запас стійкості по фазі і амплітуді і показник коливальності. Показником коливальності називають абсолютний максимум АЧХ замкнутої системи (рис.2), віднесений до її значенням на нульовій частоті. Для систем, що містять інтегруючі ланки, у яких Н (0) = 1, показником коливальності є абсолютний максимум АЧХ (рис.2):
.
Рекомендовані значення показника коливальності - 1,1 ... 1.5.
Аналіз усталеною (динамічної) помилки
Оцінка показників якості стежить системи проводиться при наступних типових впливах:
- Лінійне;
- Квадратичне;
- Поліноміальний.
Лінійне вплив має місце, зокрема, в системі спостереження за затримкою під час стеження за об'єктом, що переміщається з постійною радіальною швидкістю, в системі ФАПЧ при постійній частотної расстройке вхідного і опорного сигналів.
Квадратичне - час стеження за об'єктом, що переміщається з прискоренням, в системі ФАПЧ - при лінійно змінюється частотної розладі і т.д.
При проектуванні систем виникає необхідність оцінки помилки стеження в усталеному режимі при поліномінальної вхідній дії, що є апроксимацією реальних впливів на обмеженому інтервалі часу. Залежно від виду передавальної функції фільтра системи ця помилка може мати кінцеве значення або змінюватися з часом.
Якщо помилка має кінцеве стале значення, для її оцінки використовують теорію перетворень Лапласа, зокрема, теорему про граничний значенні оригіналу:
,
де ; - Передатна функція від впливу до помилки.
Якщо помилка змінюється з плином часу, для її розрахунку використовується метод розкладання помилки за похідними вхідного впливу. Розглянемо цей метод.
Величина може бути визначена за допомогою інтеграла згортки:
. (3)
Передавальна функція пов'язана з ваговою функцією перетворенням Лапласа:
. (4)
Уявімо що задає вплив статечним рядом з обмеженим числом членів:
. (5)
Підставивши формулу (5) в (3), отримаємо:
. (6)
Якщо ( ─ тривалість перехідного процесу), то в цьому випадку і можна замінити верхню межу інтегралів в (6) на нескінченність, оскільки збільшення межі не змінює значення інтеграла. Тоді (5.6) можна записати у вигляді:
, (7)
де - Коефіцієнти помилки:
; ; ; .
- Коефіцієнт помилки по положенню;
- Коефіцієнт помилки по швидкості;
- Коефіцієнт помилки щодо прискорення;
- Коефіцієнт помилки по l-ої похідної вхідного впливу.
- Помилка по положенню; - Помилка по швидкості;
- Помилка щодо прискорення.
Неважко бачити, що
.

Поняття астатизма системи

З величиною коефіцієнтів помилки пов'язане поняття астатизма системи.
Порядок астатизма системи визначається індексом першого, відмінного від нуля коефіцієнта помилки. Якщо система має астатизмом 0-го порядку і називається статичною, якщо ; ─ система має астатизмом 1-го порядку.
; ; - Система з астатизмом 2-го порядку і т.д.
Астатические системи мають наступну властивість: якщо на вхід системи з астатизмом k-го порядку подається вхідний вплив, що описується поліномом k-го ступеня, значення помилки в усталеному режимі постійно і не рівне нулю.
Якщо порядок астатизма більше ступеня полінома, стале значення помилки дорівнює нулю ( ). Якщо порядок астатизма менше ступеня полінома, що визначає задає вплив, помилка змінюється з плином часу і в межі буде дорівнює нескінченності.
Порядок астатизма визначається числом інтегруючих ланок у контурі стежить системи. Отже, для зменшення помилки необхідно збільшувати кількість інтегруючих ланок. Але це збільшення має обмеження, тому що зі збільшенням числа ланок погіршується стійкість системи (кожне інтегруюча ланка вносить фазовий зсув, рівний ). Тому для систем, що мають порядок астатизма вище другого, для забезпечення стійкості необхідно використовувати спеціальні методи корекції.
Порядок астатизма також залежить від точки прикладання впливу (рис.3).

Рис.3. До визначення порядку астатизма системи.
Якщо астатизм визначається по відношенню до впливу , То його порядок визначається сумою інтегруючих ланок у (S) і (S).
Щодо порядок астатизма визначається числом інтегруючих ланок у (S) і не залежить від їх числа в (S). Відповідні передавальні функції, що зв'язують задає вплив і помилку стеження, визначаються виразами
; .
Таким чином, порядок астатизма системи визначається числом інтегруючих ланок, включених в ланцюг зворотного зв'язку між точкою докладання впливу і точкою вимірювання помилки стеження.
Методи обчислення коефіцієнтів помилки
Уявімо передавальну функцію у вигляді
. (8);
У розкладанні помилки за похідними вхідного впливу

замінимо операцію диференціювання символом р, тобто = P і винесемо формально загальний множник за дужки:
(9);
З іншого боку можна визначити диференціальним рівнянням, записаним у скороченій формі:
. (10)
Підставивши (8) в (10), прирівняємо вираження (9) і (10) (5.11)
Прирівнявши складові, що мають однакові ступеня р в правій і лівій частинах (11), отримаємо:
; ;
;
; .
На підставі отриманих виразів можна записати формулу для розрахунку коефіцієнтів помилки:
. (12)
Коефіцієнти помилки можуть бути також обчислені за формулами, складеним з коефіцієнтів поліномів чисельника і знаменника передавальної функції розімкнутого системи:
, (13)
де k - добротність системи; v - порядок астатизма.
Наведені в табл.1 формули отримані за вищевикладеною методикою підстановкою у вираз

передавальної функції розімкнутого системи у вигляді (13).
Динамічні помилки в системах, що стежать з астатизмом різного порядку

Для аналізу використовуємо узагальнену структурну схему (рис.4).
Рис.4. Узагальнена структурна схема стежить системи
В якості фільтрів використовуємо пропорційно-інтегруючий фільтр (мал. 5) з послідовно включеним інтегратором:
(14)
і фільтр з двома інтеграторами, що забезпечує системі астатизм другого порядку:
. (15)

Рис.5. Схема пропорційно-інтегруючого фільтра
(
Табліца.1
Значення коефіцієнтів помилки

V		Розрахункові формули
0
1		0
2		0
		0

Це досить поширений тип фільтра (на ВЧ - дільник, на НЧ - інтегруюча ланцюг); ланка забезпечує запізнювання по фазі.
Другий фільтр - з'єднані послідовно форсує ланка і два інтегратора.
Нехай задає вплив визначається виразом
,
а в якості фільтра використовуємо фільтр з функцією передачі (14).
Величину усталеною помилки визначимо за теоремою про граничному значенні оригіналу
;
; (16)
─ зображення вхідного впливу визначаємо по таблицях.
Позначимо (Добротність за швидкістю).
.
Таким чином, динамічна помилка прямо пропорційна швидкості зміни задає впливу і обернено пропорційна коефіцієнту підсилення розімкнутої системи.
Для ФАПЧ ─ значення расстройки номінальної частоти генератора і вхідного сигналу, отже,
.
Для знаходження можна використовувати й інші методи.
Відомо, що
.
У системі з астатизмом першого порядку ; ; .
Отже,
.
можна визначити, використовуючи передавальну функцію замкненої системи (16):
.
Отже,
Використовуючи передавальну функцію розімкнутої системи, можна також визначити по табл.1.
З фільтром (15) система є астатичними з астатизмом 2-го порядку і при лінійному впливі усталена помилка дорівнює нулю.
Нехай .
Визначимо величину усталеною помилки, використовуючи її розкладання за похідними вхідного впливу:
;
Оскільки ; ,
.
по табл.4.1. визначаємо і обчислюємо
Таким чином,
,
де .

ЛІТЕРАТУРА

1. Коновалов. Г.Ф. Радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Вищ. шк., 2000.
2. Радіоавтоматики: Учеб. посібник для вузів. / Під ред.В.А. Бесекерскій. - М.: Вищ. шк., 2005.
3. . Первак С. У радіоавтоматики: Підручник для вузів. - М.: Радіо і зв'язок, 2002.
4. Цифрові системи фазової синхронізації / Под ред. М.І. Жодзішского - М.: Радіо, 2000