Алгебраїчне доказ теореми Піфагора
Теорема Піфагора формулюється наступним чином: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:З 2 = А 2 + В 2, / 1 /
де: С - гіпотенуза;
А і В - катети.
Існують прямокутні трикутники, у яких сторони А, В і С виражаються цілими числами. Такі числа називаються піфагорових.
Розглядаючи рівняння теореми Піфагора як алгебраїчне рівняння, доведемо, що існує нескінченна кількість прямокутних трикутників, в яких їх сторони виражаються цілими числами або, що одне і теж, рівняння / 1 / має нескінченну кількість рішень у цілих числах.
Суть теореми Піфагора не зміниться, якщо рівняння / 1 / запишемо наступним чином:
А 2 = З 2-В 2 / 2 /
Для доказу теореми Піфагора методами елементарної алгебри використовуємо два відомі в математиці методу розв'язання алгебраїчних рівнянь: метод рішення параметричних рівнянь і метод заміни змінних.
Рівняння / 2 / розглядаємо як параметричне рівняння з параметром A і змінними B і С. Рівняння / 2 / згідно з відомою залежністю для різниці квадратів двох чисел запишемо у вигляді:
А 2 = (CB) (C + B) / 3 /
Використовуючи метод заміни змінних, зазначимо:
CB = M / 4 /
З рівняння / 4 / маємо:
C = B + M / 5 /
З рівнянь / 3 /, / 4 / і / 5 / маємо:
А 2 = M ∙ (B + M + B) = M ∙ (2B + M) = 2BM + M 2 / 6 /
З рівняння / 6 / маємо:
А 2 - M 2 = 2BM / 7 /
Звідси: B =
З рівнянь / 5 / і / 8 / маємо:
C =
Таким чином:
B =
C
З рівнянь / 8 / і / 9 / слід, що необхідною умовою для того щоб числа В і С були цілими, є подільність числа A 2 на число M, тобто число M має бути одним із множників, що входять до складу множників числа А або A 2.
Числа А і M повинні мати однакову парність.
За формулами / 10 / і / 11 / визначаються числа B і C як змінні, що залежать від значення числа А як параметра і значення числа M.
З викладеного випливає:
Квадрат простого числа A дорівнює різниці квадратів однієї пари чисел B і C (при M = 1).
Квадрат складеного числа A дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар чисел B і C.
Всі числа є піфагорових.
Таким чином, існує нескінченна кількість трійок піфагорових чисел А, В і С і, отже, нескінченна кількість прямокутних трикутників, у яких сторони А, В і С виражаються цілими числами.