Аксіоматика теорії ймовірностей

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Введення

Математика - цариця наук. Цей вираз у своєму житті чув, напевно, кожна людина. Освічений юрист теж повинен мати уявлення про те, що таке вища математика. Так, за родом своєї діяльності йому не потрібно виводити якісь формули, вираховувати інтеграли. Але все-таки знати, що таке синуси, косинуси, матриці та інші математичні визначення йому необхідно.

При цьому не слід забувати, що школа дає лише елементарні математичні знання, наприклад, додавання і віднімання, множення і ділення, таблиця множення, тобто те, без чого людина не може обійтися в своєму повсякденному житті. Наявність же вищої освіти має на увазі під собою щось більше, зокрема, знання з вищої математики.

У даній роботі ми не будемо заглиблюватися в різноманітні математичні терміни, не станемо інтегрувати диференціальні рівняння, вираховувати матриці. Ми розглянемо теорію ймовірностей, яка, на наш погляд, найбільш наближена до юридичних наук, тому що вона розвиває логічне мислення людини.

Отже, ми дамо визначення випадковим подіям, познайомимося з імовірністю подій, дізнаємося статичне і класичне визначення вірогідності, загостримо увагу на обмеженості класичного визначення, наведемо приклади обчислення ймовірностей і зробимо висновки про виконану роботу.

1. Аксіоматика теорії ймовірностей

1.1 Коротка історична довідка

Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й інші в XVI - XVII ст.).

Наступний етап розвитку теорії ймовірностей пов'язаний з ім'ям Якоба Бернуллі (1654-1705). Доведена їм теорема, що отримала згодом назву «Закону великих чисел», була першим теоретичним обгрунтуванням накопичених раніше фактів.

Подальшими успіхами теорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону та ін

Новий, найбільш плідний період пов'язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821-1894) та його учнів А.А. Маркова (1856-1922) і А.М. Ляпунова (1857-1918). У цей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою. Її подальший розвиток зобов'язана в першу чергу російським і радянським математикам (С. Н. Бернштейн, В. І. Романовський, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов та ін ). В даний час ведуча роль у створенні нових гілок теорії ймовірностей також належить російським математикам.

1.2 Предмет теорії ймовірностей

Спостережувані нами події (явища) можна підрозділити на наступні три види: достовірні, неможливі і випадкові.

Достовірним називають подія, яке обов'язково відбудеться, якщо буде здійснена певна сукупність умов S. Наприклад, якщо в посудині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20 °, то подія «вода в судині знаходиться в рідкому стані» є достовірне. У цьому прикладі задані атмосферний тиск і температура води становлять сукупність умов S.

Неможливим називають подія, яке явно не станеться, якщо буде здійснена сукупність умов S. Наприклад, подія «вода в судині знаходиться у твердому стані» явно не станеться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього прикладу.

Випадковим називають подія, яка при здійсненні сукупності умов S може або відбутися, або не відбутися. Наприклад, якщо кинута монета, то вона може впасти так, що зверху буде або герб, або напис. Тому подія «при киданні монети випав« герб »- випадкове. Кожне випадкове подія, зокрема випадання «герба», наслідком дії дуже багатьох випадкових причин (у нашому прикладі: сила, з якою кинута монета, форма монети і багато інших). Неможливо врахувати вплив на результат всіх цих причин, оскільки число їх дуже велика і закони їх дії невідомі. Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою завдання передбачити, станеться одиничне подія чи ні, вона просто не в силах це зробити.

Ще приклад, випадання снігу в Москві 30 листопада є випадковою подією. Щоденний схід Сонця можна вважати достовірним подією, а випадання снігу на екваторі - неможливою подією.

По-іншому йде справа, якщо розглядаються випадкові події, які можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні одних і тих же умов S, тобто якщо мова йде про масові однорідних випадкових подіях. Виявляється, що достатньо велика кількість однорідних випадкових подій незалежно від їхньої конкретної природи підпорядковується певним закономірностям, а саме імовірнісним закономірностям. Встановленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей.

Отже, предметом теорії ймовірностей є вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

Знання закономірностей, яким підкоряються масові випадкові події, дозволяє передбачати, як ці події будуть протікати. Наприклад, хоча, як було вже сказано, не можна наперед визначити результат одного кидання монети, але можна передбачити, причому з невеликою, похибкою, число появ «герба», якщо монета буде кинуто досить багато раз. При цьому передбачається, звичайно, що монету кидають в одних і тих же умовах.

В останні роки основи теорії ймовірностей все ширше і ширше проникають в різні галузі науки і техніки, сприяючи їх прогресу.

2. Класифікація випадкових подій

2.1 Види випадкових подій

Вище подія названо випадковим, якщо при здійсненні певної сукупності умов S воно може або відбутися, або не відбутися. Надалі, замість того щоб говорити «сукупність умов S здійснена», будемо говорити коротко: «проведено випробування». Таким чином, подія буде розглядатися як результат випробування.

Наприклад, стрілець стріляє по мішені, розділеної на чотири області. Постріл - це випробування. Попадання в певну область мішені - подія.

Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.

Приклад. Кинута монета. Поява «герба» виключає появу напису. Події «з'явився герб» і «з'явився напис» - несумісні.

Кілька подій утворюють повну групу, якщо в результаті випробування з'явиться хоча б одне з них. Іншими словами, поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірна подія. Зокрема, якщо події, що утворюють повну групу, попарно несумісні, то в результаті випробування з'явиться одне і тільки одне з цих подій. Цей окремий випадок представляє для нас найбільший інтерес, оскільки використовується далі.

Приклад. Стрілок зробив постріл по цілі. Обов'язково відбудеться одна з наступних двох подій: попадання, промах. Ці два несумісних події утворюють повну групу.

Події називають рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодне з них не є більш можливим, ніж інше.

Приклад. Поява «герба» і поява напису при киданні монети - рівноможливими події. Дійсно, передбачається, що монета виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму та наявність карбування не впливає на випадання тієї чи іншої сторони монети.

Приклад. Поява того чи іншого числа очок на кинутої гральної кістки - рівноможливими події. Дійсно, передбачається, що гральна кістка виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має форму правильного багатогранника та наявність очок не впливає на випадання будь-якої грані.

2.2 Визначення ймовірності

Імовірність - одне з основних понять теорії ймовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення і наведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо приклад. Нехай в урні міститься 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них - червоні, 3 - сині і 1 - білий. Очевидно, можливість вийняти навмання з урни кольоровий (тобто червоний або синій) куля більше, ніж можливість отримати біла куля. Чи можна охарактеризувати цю можливість числом? Виявляється, можна. Це число і називають ймовірністю події (появи кольорового кулі). Таким чином, вірогідність є число, що характеризує ступінь можливості появи події.

Класичне визначення ймовірності пов'язане з поняттям благоприятствующего результату. Вихід називається сприятливим даної події, якщо його поява тягне за собою настання цієї події.

Поставимо перед собою завдання дати кількісну опеньку можливості того, що взятий навмання кулю кольоровий. Поява кольорового кулі будемо розглядати як події А. Кожен з можливих результатів випробування (випробування полягає у витяганні кулі з урни) назвемо елементарним результатом (елементарним подією). Елементарні результати позначимо через w 1, w 2, w 3 і т.д. У нашому прикладі можливі наступні 6 елементарних фіналів: w 1 - з'явився білий кулю; w 2, w 3 - з'явився червоний кулю; w 4, w 5, w 6 - з'явився синій куля. Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливими (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Ті елементарні результати, в яких нас цікавить подія настає, назвемо благоприятствующими цій події. У нашому прикладі сприяють події А (появі кольорового кулі) наступні 5 результатів: w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.

Таким чином, подія А спостерігається, якщо у випробуванні настає один, байдуже який, з елементарних фіналів, благоприятствующих А; в нашому прикладі А спостерігається, якщо настане w 2, або w 3, w 4, або w 5, або w 6. У цьому сенсі подія А підрозділяється на кілька елементарних подій (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); елементарне ж подія не підрозділяється на інші події. У цьому полягає відмінність між подією А і елементарним подією (елементарним результатом).

Відношення числа благоприятствующих події А елементарних фіналів до їх загального числа називають ймовірністю події А і позначають через Р (А). У розглянутому прикладі всього елементарних фіналів 6; з них 5 сприяють події А. Отже, вірогідність того, що взятий куля виявиться кольоровим, дорівнює Р (А) = 5 / 6. Це число і дає ту кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорового кулі, яку ми хотіли знайти. Дамо тепер визначення ймовірності.

Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх равновозможних несумісних елементарних фіналів, що утворюють повну групу. Отже, ймовірність події А визначається формулою:

Р (А) = m \ n, де m - число елементарних результатів, що сприяють А, n - число всіх можливих елементарних фіналів випробування.

Тут передбачається, що елементарні результати несумісні, рівноможливими і утворюють повну групу.

З визначення ймовірності випливають такі її властивості:

Властивість 1. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Дійсно, якщо подія достовірно, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. У цьому випадку m = n отже,

Р (А) = m \ n = n \ n = 1.

Властивість 2. Ймовірність неможливого події дорівнює нулю.

Дійсно, якщо подія неможливо, то жоден з елементарних фіналів випробування не сприяє події. У цьому випадку m = 0, отже,

Р (А) = m \ n = 0 \ n = 0.

Властивість 3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.

Дійсно, випадковим події сприяє лише частина із загального числа елементарних фіналів випробування. У цьому випадку 0 <m <n, значить, 0 <m \ n <1, отже,

0 <Р (А) <1.

Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійному нерівності:

0 <або = Р (А) <або = 1.

Далі наведені теореми, які дозволяють за відомими ймовірностями одних подій знаходити ймовірності інших подій.

Зауваження. Сучасні суворі курси теорії ймовірностей побудовані на теоретико-множинній основі. Обмежимося викладом мовою теорії множин тих понять, які розглянуті вище.

Нехай в результаті випробування настає одне і тільки одне з подій w i (i = 1, 2, ..., n). Події w i - називають елементарними подіями (елементарними наслідками). Вже звідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч всіх елементарних подій, які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подій Q, а самі елементарні події - точками простору Q.

Подія А ототожнюють з підмножиною (простору Q), елементи якого є елементарні результати, сприятливі А; подія В є підмножина Q, елементи якого є результати, сприятливі В, і т.д. Таким чином, безліч всіх подій, які можуть настати у випробуванні, є безліч всіх підмножин Q. Само Q настає при будь-якому результаті випробування, тому Q - достовірна подія; пусте підмножина простору Q - неможлива подія (воно не настає ні при якому кінець випробування).

Зауважимо, що елементарні події виділяються з числа всіх подій тим, що кожне з них містить тільки один елемент Q.

Кожному елементарного результату w i ставлять у відповідність позитивне число p i - ймовірність цього результату, причому сума p i (по i) = 1.

За визначенням, ймовірність Р (А) події А дорівнює сумі ймовірностей елементарних фіналів, благоприятствующих А. Звідси легко отримати, що ймовірність події достовірного дорівнює одиниці, неможливого - нулю, довільного - укладена між нулем і одиницею.

Розглянемо важливий окремий випадок, коли всі результати рівноможливими. Число випадків одно n, сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці, отже, ймовірність кожного результату дорівнює 1 / n. Нехай події А сприяє m результатів. Ймовірність події А дорівнює сумі ймовірностей фіналів, благоприятствующих А:

P (A) = 1 / n + 1 / n + 1 / n.

Враховуючи, що число доданків одно m, маємо:

Р (А) = m \ n.

Отримано класичне визначення ймовірності.

Класичне визначення ймовірності припускає, що кількість елементарних фіналів випробування звичайно. На практиці ж дуже часто зустрічаються випробування, число можливих результатів яких нескінченно. У таких випадках класичне визначення застосовується. Вже ця обставина вказує на обмеженість класичного визначення. Зазначений недолік може бути подолана, зокрема, введенням геометричних ймовірностей і, звичайно, використанням аксіоматичної ймовірності.

Найбільш слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо уявити результат випробування у вигляді сукупності елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні події рівноможливими. Зазвичай про рівноможливими елементарних фіналів випробування говорять з міркувань симетрії. Так, наприклад, припускають, що гральна кістка має форму правильного багатогранника (куба) і виготовлена ​​з однорідного матеріалу. Проте завдання, в яких можна виходити з міркувань симетрії, на практиці зустрічаються дуже рідко. З цієї причини поряд з класичним визначенням ймовірності використовують і інші визначення, зокрема статистичне визначення: як статистичної ймовірності події приймають відносну частоту або число, близьке до неї. Наприклад, якщо в результаті досить великого числа випробувань виявилося, що відносна частота дуже близька до числа 0,4, то це число можна прийняти за статистичну ймовірність події.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, що випливають з класичного визначення, зберігаються і при статистичному визначенні ймовірності. Дійсно, якщо подія достовірно, то m = n і відносна частота

m \ n = n \ n = 1, тобто статистична ймовірність достовірної події (так само як і у випадку класичного визначення) дорівнює одиниці.

Якщо подія неможливо, то m = 0 і, отже, відносна частота

0 / n = 0, тобто статистична ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Для будь-якої події 0 <або = m <і = n і, отже, відносна частота

0 <або = m / n <або = 1, тобто статистична ймовірність будь-якої події укладена між нулем і одиницею.

Для існування статистичної ймовірності події А потрібно:

а) можливість, хоча б принципово, виробляти необмежено число випробувань, в кожному з яких подія А настає або не настає;

б) стійкість відносних частот появи А в різних серіях досить великого числа випробувань.

Недоліком статистичного визначення є неоднозначність статистичної ймовірності; так як в якості ймовірності події можна прийняти не тільки 0,4, але та 0,39; 0,41 і т.д.

2.3 Умовна ймовірність

У багатьох випадках ймовірності появи одних подій залежать від того, відбулося інша подія чи ні. Наприклад, ймовірність своєчасного випуску машини залежить від постачання комплектуючих виробів. Якщо ці вироби вже поставлені, то значення шуканої ймовірності буде одним. Якщо ж вона визначається до поставки комплектуючих, то її значення, очевидно, буде іншим.

Ймовірність події А, обчислена за умови, що мало місце інша подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р (А / В).

У тих випадках, коли ймовірність події А розглядається за умови, що сталися два інших події В і С, використовується умовна ймовірність щодо твору подій В і С:

Р (А / ВС).

3. Формули множення і додавання ймовірностей

3.1 Основні формули комбінаторики

Комбінаторика вивчає кількості комбінацій, підлеглих певним умовам, які можна скласти з елементів, байдуже який природи, заданого кінцевого безлічі. При безпосередньому обчисленні ймовірностей часто використовують формули комбінаторики. Наведемо найбільш вживані з них.

Перестановками називають комбінації, що складаються з одних і тих же n різних елементів і відрізняються лише порядком їх розташування. Число всіх можливих перестановок

P n = n!,

де n! = 1 * 2 * 3 ... n.

Зауважимо, що зручно розглядати 0!, Вважаючи, за визначенням, 0! = 1.

Приклад. Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, якщо кожна цифра входить в зображення числа тільки один раз?

Рішення. Шукане число тризначних чисел

Р 3 = 3! = 1 * 2 * 3 = 6.

Розміщеннями називають комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, які відрізняються або складом елементів, або їх порядком. Число всіх можливих розміщень:

A m n = n (n -1) (n -2) ... (n - m +1).

Приклад. Скільки можна скласти сигналів з ​​6 прапорців різного кольору, взятих по 2?

Рішення. Шукане кількість сигналів: А 2 6 = 6 * 5 = 30.

Поєднаннями називають комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, які відрізняються хоча б одним елементом. Число сполучень

C m n = n! / (M! (N - m)!).

Приклад. Скількома способами можна вибрати дві деталі з ящика, що містить 10 деталей?

Рішення, що шукалося число способів: З 2 10 = 10! / (2! * 8!) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 / 1 * 2 * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 45 .

Підкреслимо, що числа розміщень, перестановок і поєднань пов'язані рівністю

A m n = P m * C m n.

При вирішенні завдань комбінаторики використовують такі правила:

Правило суми. Якщо певний об'єкт А може бути вибраний з сукупності об'єктів m способами, а інший об'єкт У може бути обраний n способами, то вибрати або А, або В можна m + n способами.

Правило твору. Якщо об'єкт А можна вибрати з сукупності об'єктів m способами і після кожного такого вибору об'єкт В можна вибрати n способами, то пара об'єктів (А, В) у вказаному порядку може бути обрана m * n способами.

3.2 Приклади обчислення ймовірностей

Приклад 1. Набираючи номер телефону, абонент забув одну цифру і набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що набрана потрібна цифра.

Рішення. Позначимо через А подію - набрана потрібна цифра. Абонент міг набрати будь-яку з 10 цифр, тому загальне число можливих елементарних фіналів дорівнює 10. Ці результати несумісні, рівноможливими і утворюють повну групу. Сприяє події А лише один результат (потрібна цифра лише одна). Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа фіналів, благоприятствующих події, до числа всіх елементарних фіналів:

Р (А) = 1 / 10.

Приклад 2. Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри.

Рішення. Позначимо через В подія - набрати дві потрібні цифри. Всього можна набрати стільки різних цифр, скільки може бути складено розміщень з десяти цифр по дві, тобто А 2 10 = 10 * 9 = 90. Таким чином, загальне число можливих елементарних фіналів одно 90. Ці результати несумісні, рівноможливими і утворюють повну групу. Сприяє події В лише один результат. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа фіналів, благоприятствующих події, до числа всіх елементарних фіналів:

Р (В) = 1 / 90.

Приклад 3. Вказати помилку «рішення» завдання: «кинуто дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума випали очок дорівнює 4 (подія А) ».

Рішення. Усього можливі 2 результати випробування: сума випали очок дорівнює 4, сума випали очок не дорівнює 4. Події А сприяє один результат: загальне число фіналів дорівнює двом. Отже, шукана ймовірність:

Р (А) = 1 / 2.

Помилка цього рішення полягає в тому, що розглянуті результати не є рівноможливими.

Правильне рішення. Загальне число равновозможних результатів випробування дорівнює 6 * 6 = 36 (кожне число окулярів, що випали на одній кістки може поєднуватися з усіма числами очок іншої кістки). Серед цих результатів сприяють події А тільки 3 виходи: (1, 3), (3; 1), (2, 2) (в дужках вказані числа випали очок). Отже, шукана ймовірність:

Р (А) = 3 / 36 = 1 / 12.

Приклад 4. У партії з 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед шести взятих навмання деталей 4 стандартних.

Рішення. Загальне число можливих елементарних фіналів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти 6 деталей з 10, тобто числу сполучень із 10 елементів по 6 елементів (C 6 10).

Визначимо число результатів, що сприяють цікавого для нас події А (серед шести взятих деталей 4 стандартних). Чотири стандартні деталі можна взяти з семи стандартних деталей З 4 7 способів, при цьому інші 6 - 4 = 2 деталі повинні бути нестандартними; взяти ж 2 нестандартні деталі з 10 - 7 = 3 нестандартних деталей можна З 2 3 способами. Отже, число благоприятствующих результатів одно: З 4 7 * З 2 3.

Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа фіналів, благоприятствующих події, до числа всіх елементарних фіналів:

Р (А) = (З 4 7 * З 2 3) / З 6 10 = ½.

Висновок

Отже, підводячи підсумок вищесказаному підкреслимо наступне. Випадковим подією називається подія, за певних умов може або відбутися, або не відбутися. Ці події можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні одних і тих же умов. Так ось теорія ймовірностей якраз і вивчає імовірнісні закономірності масових однорідних подій.

Існує кілька визначень ймовірності. Класичне визначення ймовірності пов'язане з поняттям благоприятствующего результату. Вихід називається сприятливим даної події, якщо його поява тягне за собою настання цієї події. Ймовірністю ж події називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх равновозможних несумісних елементарних фіналів, що утворюють повну групу (про те що таке повна група ми говорили раніше). Це визначення має свій недолік, тому що в ньому мається на увазі, що число елементарних фіналів випробування звичайно. На практиці ж часто зустрічаються випробування, число можливих результатів яких нескінченно, з цим і пов'язано інше визначення - статистичне, при якому події приймають відносну частоту або число, близьке до неї.

При обчисленні ймовірностей використовують певні формули. Наприклад, перестановки, розміщення або поєднання. За допомогою цих формул можна зробити багато обчислення ймовірностей і вирішити будь-яке завдання, що ми і зробили вище.

Список використаної літератури

1. Інформатика і математика для юристів / Под ред. Х.А. Андріашіна и др. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003.

2. Віленкін І.В., Гробер В.М. Вища математика для студентів економічних, технічних і природно-наукових спеціальностей вузів. Ростов - на - Дону: Фенікс, 2004. - 416 с.;

3. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навчальний посібник для вузів / В.Є. Гмурман - М.: Вища школа, 2003. - 479 с.;

4. Вища математика для економістів / Под ред. Н.Ш. Кремера и др. - М.: Біржі і банки, 1998 - 356 с.;

5. Загальний курс вищої математики для економістів: Підручник / за ред. В.І. Єрмакова. - М.: ИНФРА - М, 2005. - 656 с. - (Вища освіта).

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
71.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Основи теорії ймовірностей
Основи теорії ймовірностей
Основи теорії ймовірностей
Обчислення з теорії ймовірностей
Граничні теореми теорії ймовірностей
Основні поняття теорії ймовірностей
Основні теореми теорії ймовірностей
Граничні теореми теорії ймовірностей
Вклад АН Колмогорова у розвиток теорії ймовірностей
© Усі права захищені
написати до нас