Ієрархічне управління великими системами

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Ієрархічне управління великими системами.
Велика система, як це коротко було описано в розділі 1, - це складна система, складена з безлічі компонентів або менших підсистем, які виконують свої функції, мають спільні ресурси, і керована взаємопов'язаними цілями та обмеженнями (Machmoud, 1977; Jamshidi, 1983). Хоча взаємодія підсистем може бути організовано в різних формах, одна з загальновідомих - це ієрархічна, яка природна для економіки, менеджменту, в управлінні підприємствами, в змішаних галузях промисловості, таких як роботобудування, виробництво нафти, сталі і паперу. У цих ієрархічних структурах, підсистеми розташовані на рівнях з різними ступенями ієрархічності. Підсистема на якому-небудь рівні управляє або координує підсистеми, розташовані на рівні нижче її, і, у свою чергу, управляється або координується підсистемою розташованої рівнем вище. Малюнок 4.1 показує типову ієрархічну (багаторівневу) систему. Верхній рівень управління, іноді його називають координатор вищого рівня (sudivmal coordinator), можна порівняти з радою директорів корпорації, в той час як інші рівні можна порівняти з президентом, віце-президентом, директорами і т.д. Нижчий рівень може бути, наприклад, керуючим заводу, директором магазину, і т.д. тоді як сама велика система - це корпорація. Незважаючи на те, що подання ієрархічної структури здається цілком природним, її точне поведінка ще не зовсім вивчений, із за того, що зроблено мало досліджень в області великих систем (March and Simon, 1958). Mesarovic та ін (1970) представили один з самих ранніх формальних кількісних підходів до ієрархічної (багаторівневої) сістеме.С тих пір було зроблено багато робіт у цій галузі (Schoeffler and Lasdon, 1966; Benveniste et al., 1976; Smith and Sage, 1973; Geoffrion, 1970; Schoeffler, 1971; Pearson, 1971; Cohen and Jolland, 1976; Sandell et al., 1978; Singh, 1980; Jamshidi, 1983; Huang and Shao, 1994a, b). Зацікавлений читач може знайти відносно вичерпну інформацію про управління багаторівневими системами та їх застосування в роботі Mahmoud (1977).
У цьому розділі дано опис поняття «ієрархія», властивостей і типів ієрархічних процесів і представлені деякі причини для їхнього існування. Повна оцінка ієрархічних методів представлена ​​в розділі 4.6.
Нижче представлені основні властивості ієрархічних систем, хоча вони не загальноприйняті:
1. Ієрархічна система складається з керуючих блоків, які організовані за принципом піраміди.
2. У системи є спільна мета, яка може збігатися або не збігатися з метою окремих компонентів системи.
3. Різні рівні ієрархії системи багаторазово обмінюються інформацією між собою (зазвичай вертикально).
4. Зі збільшенням рівня тимчасової діапазон теж збільшується, тобто компоненти нижніх рівнів швидше, ніж компоненти верхніх.
В ієрархічних (багаторівневих системах) можна виділити три основні структури, в залежності від параметрів моделі, шуканих змінних, поведінки та навколишнього середовища, мінливості та існування безлічі взаємовиключних цілей і завдань.
1. Многопластовой ієрархічна структура. У цій багаторівневій структурі рівні називають пластами. Підсистеми нижнього рівня дають більш точний опис великої системи, ніж підсистеми верхнього рівня.
2. Багатошарову ієрархічну структуру. Ця структура є результатом складності процесу регулювання. Завдання управління розподілені вертикально, як показано на малюнку 4.2 (Singh and Titli, 1978). У багатошаровій системі, яка зображена на малюнку, регулювання (на першому рівні) є прямим управлінням, а за ним слідує оптимізація (обчислення контрольних точок регуляторів), адаптація (безпосередня адаптація закону управління та моделі управління) і самоорганізація (вибір моделі і управління як функція параметрів навколишнього середовища).
3. Багатоланкова ієрархічна система. Це найпоширеніша з усіх трьох структур; вона складається з декількох підсистем, які розташовуються на рівнях таким чином, що кожен рівень (як описано вище) може керувати підсистемами нижнього рівня, і управляється підсистемами верхніх рівнів. Ця структура, зображена на рис 4.1, бере до уваги взаємовиключні цілі та завдання різних підрівнів. Іншими словами, щаблі вищого рівня досягають взаємовиключних цілей шляхом послаблення взаємодії між ступенями нижчого рівня. Розподіл завдання управління даної структури показано на малюнку 4.2 і, на відміну від багатошарової структури, - горизонтально.
Крім вертикального і горизонтального розподілу завдань управління, існує третій спосіб - тимчасове або функціональний розподіл. Цей розподіл, що дає підсистемам функціональну оптимізацію проблеми, полягає в декомпозиції задачі на кінцеве число простих завдань оптимізації на нижньому рівні і в результаті дає чимале скорочення обчислень. Ця схема використовувалася для ієрархічного управління дискретними системами у Jamshidi (1983).
Далі в цій главі йдеться про те, як можна ефективно керувати ієрархічними системами, використовуючи процеси, відомі як декомпозиція та узгодження. Ці два процеси представлені на рис 4.3. У підсумку, визначення ієрархічного управління: (а) декомпозиція - поділ системи на безліч підсистем, і (б) узгодження роботи цих підсистем, доки не буде досягнуто оптимальне управління всією системою (за допомогою багаторівневого ітеративного алгоритму).
У розділі 4.2 описана можливість застосування погодження для ієрархічних систем. розділ 4.3 присвячений управлінню з розімкненим контуром. Управлінню по замкнутому контуру присвячений розділ 4.4, так само в ньому дано визначення «interaction divdiction» і методу структурних збурень. У розділі 4.5 описано ієрархічне управління, засноване на розкладання на ряди Тейлора і Чебишева. Проблема управління вирішується лінійними алгебраїчними рівняннями. На прикладах показані різні методи рішень. Оптимізація лінійних і нелінійних ієрархічних систем описана в главі 6. розділ 4.6 містить подальший розвиток методів ієрархічного управління.

4.2. Узгодження ієрархічних структур.
Як було сказано в попередньому параграфі, великі системи можуть бути ієрархічно керовані, для чого спочатку треба провести декомпозицію на підсистеми і, потім погодити отримані підзадачі, перетворюючи складну систему в багаторівневу. Цього перетворення можна досягнути різними шляхами. Однак, всі ці шляхи, по суті, є комбінація від двох окремих підходів: узгодження моделі (feasible) та узгодження мети (dual-feasible). і методи описані в наступних двох параграфах, на прикладі статичної оптимізації системи, що складається з двох підсистем (динамічне програмування).
4.2.1 Метод узгодження моделі.
Розглянемо наступну статичну оптимізаційну задачу:
(4.2.1)
(4.2.2)
де x - вектор стану системи, u - вектор управління, y - вектор взаємодії між підсистемами. Декомпозіруем завдання і його цільову функцію на дві підсистеми:
(4.2.3)
і
(4.2.4)
де xi, ui, yi - керуючі вектори системи та вихідні вектори i-й підсистеми, відповідно. Така декомпозиція дає функцію продуктивності (функціонал) для кожної підсистеми. Однак, вектора yi, i = 1,2 підсистем взаємопов'язані. Мета методу узгодження моделі - перетворити загальну задачу в дворівневу завдання установки значень векторів y1 і y2 до деяких значення wi, i = 1,2:
(4.2.5)
Дане завдання поділяється на дві послідовні підзадачі:
Перший рівень підсистеми i:
(4.2.6)
(4.2.7)
Другий рівень:
(4.2.8)
Цю мінімізацію можна представити як:
(4.2.9)
(4.2.10)
У цій процедурі узгодження мінлива wi, яка фіксує зміни змінної yi, називається змінною узгодження. Крім того, внутрішні зміни фіксуються додаванням вимушеної складової мат моделі, ця процедура називається узгодженням моделі. Іншими словами, сам факт подання всіх проміжних значень змінних x, u і y, так само називається метод точної декомпозиції. Отже, система може оперувати з тими проміжними перемінними, які ведуть до локальної оптимізації. Перший рівень завдання фіксується точним взаємодією змінних з первинним завданням оптимізації, поки визначається завдання виділення узгоджуючих змінних другого рівня.

                        Метод узгодження мети.
Розглянемо завдання статичної оптимізації (4.2.1) - (4.2.2). У методі узгодження мети видаляються всі зв'язки між підсистемами. Вихідну змінну i-й підсистеми позначимо як yi, а вхідні - zi. Нехай всі зв'язки між підсистемами відсутні, тобто . При цьому умови, zi діє як випадково керована змінна і оптимізує підсистему подібно x, u і y. Крім того, завдання оптимізації, розглянута в попередньому параграфі, вирішена для вже розділеної на дві підсистеми системою, де розділені взаємодії підсистем і їх цільові функції. Далі необхідно переконатися, що всі підсистеми разом вирішують первинне завдання, для цього має виконуватися правило врівноваженого взаємодії, тобто незалежного вибору yi і zi для вирішення (Mesarovic та ін, 1969; Schoeffler, 1971).
Опишемо процедуру декомпозиції задачі на окремі підзадачі, які містять завдання першого рівня. Другий рівень вирішення управляє першим, спираючись на правило врівноваженого взаємодії. З точки зору математики, це багаторівневу формулювання можна записати з допомогу параметра ваги , Який визначає штраф системи, де не збалансовано взаємодію. Цільова функція набуде вигляду:
(4.2.11)
де - Вектор параметрів ваги (позитивних і негативних), які змінюють цільову функцію в залежності від різниці yz. Введемо змінну z, тоді рішення системи прийме вигляд:
(4.2.12)
(4.2.13)
Набір допустимих системних змінних визначається так:
(4.2.14)
Цільова функція мінімізується за допомогою S0:
(4.2.15)
Прийнявши за штраф та враховуючи (4.2.11) - (4.2.13), завдання першого рівня формулюється як:
Підсистема 1:
(4.2.16)
(4.2.17)
Підсистема 2:
(4.2.18)
(4.2.19)
Другий рівень управляє узгодженням змінної , Виходячи з нев'язки по виходу:
(4.2.20)
З завдання другого рівня ясно, що узгоджує змінної х керують до тих пір, поки помилка е не досягне нуля, тобто баланс взаємодії підтримується за допомогою цільової функції завдань першого рівня (4.2.16) і (4.2.18) і через змінну , Звідси й назва - узгодження мети. На рис 4.4 зображено дворівневе рішення через узгодження мети. Читач може порівняти схеми 4.4 і 4.5.
Пізніше ми побачимо, що змінну узгодження а можна витлумачити як вектор управління Лагранжа і завдання другого рівня можна вирішити через добре відомі ітеративні пошукові алгоритми, такі як метод градієнта, Ньютона і швидкісного градієнта.
4.3 Ієрархічне управління лінійними системами.
У цьому розділі формулювання узгодження мети для багаторівневих систем застосовується до великих лінійним безперервним систем у контексті управління з розімкненим циклом. Крім підходу з балансом взаємодії обговорюється також інша схема, відома як метод спостереження взаємодії.
Нехай велике динамічне взаємопов'язана система представлена ​​у вигляді наступного рівняння стану:
(4.3.1)
де х і u - це вектори стану (nxl) та управління (mxl). Прийнято вважати, що система може бути розкладена на N взаємопов'язаних підсистем si, i = 1, ..., N, і управління стану i-й підсистеми може бути представлено як:
, (4.3.2)
де x, u, xi, ui - мають розмірність n, m, ni, mi, відповідно, а gi - представляє взаємозв'язки в i-й підсистемі, і:
(4.3.3)
(4.3.4)
Завданням оптимального управління є пошук векторів, u1, ..., uN, таких, що оцінна функція
(4.3.5)
мінімізує об'єкт (4.3.1) і відповідна область:
(4.3.6)
З огляду на можливість декомпозиції системи (4.3.1) на N з'єднаних підсистем (4.3.2), можна розкласти цінову функцію (4.3.6) та взаємозв'язку gi (x, t) (4.3.2), як:
(4.3.7)
(4.3.8)
(4.3.9)
де zi - вектор містить лінійну (або нелінійну) комбінацію станів N підсистем. Виходячи з описаних припущень, задача оптимального управління великою системою може бути записана як:
(4.3.10)
(4.3.11)
(4.3.12)
(4.3.13)
Ця проблема, відома як ієрархічне управління, була вирішена дворівневої оптимізацією статистичної завдання в попередньому параграфі. Застосування дворівневого узгодження мети для великих лінійних систем описано далі.

4.3.1 Дворівневе узгодження лінійних систем
Розглянемо велику лінійну стаціонарну систему:
(4.3.14)
Система може бути декомпозирована як:
(4.3.15)
де вектор взаємодії (kxl), записаний як:
(4.3.16)
це лінійна комбінація станів N-1 підсистем, і Gij - це матриця ni x nj. Початкове завдання оптимального управління системою зводиться до оптимізації N підсистем, які задовольняють (4.3.15) - (4.3.16) і мінімізують:
(4.3.17)
де Qi - це невід'ємне певна матриця ni x ni, Ri і Vi - це позитивно певні матриці mi x mi і ki x ki, де
(4.3.18)
Фізична інтерпретація останнього доданка в інтегралі (4.3.17) - це неточність в даній точці. Фактично, визначаючи це складова, як буде видно далі, ми уникаємо виражених управлінь. «Узгодження мети» і «баланс взаємодії» використані у Mesarvic та ін (1970), так само відомі як завдання «linear-quadratic» у Pearson (1971) і передача у Singh (1980) та Jamshidi (1983).
У цій декомпозиції великий взаємозалежної лінійної системи загальні коефіцієнти зв'язку між її N підсистемами - це змінна взаємозв'язку zi (t), які, разом з (4.3.15) - (4.3.16), утворюють обмеження зв'язку. Це формулювання називається глобальної і позначається SG. Можна зробити наступне припущення. Глобальна проблема SG замінюється групою N підзадач, з'єднаних разом через вектор параметрів a = (a1, ..., aN) і позначених si (a), i = 1, ..., N. Іншими словами, глобальна системна завдання SG включена в групу підсистемні проблем si (a) через внутрішній параметр (Sandell та ін, 1978) таким чином, що для певного значення a *, підсистеми Si (a *), і i = 1, ... , N, дають бажане рішення для SG. Використовуючи позначення ієрархічного управління, ця внутрішня ідея це і є поняття узгодження, але використовуючи термінологію математичного програмування завдань, вона називається основною проблемою (Geoffrion, 1970). На малюнку 4.6 зображена дворівнева структура управління великою системою. Під цією стратегією, на i-й ітерації кожен місцевий контролер i отримує від координатора (другий рівень ієрархії), вирішує і передає (повідомляє) деяку функцію цього рішення координатору.
Координатор, у свою чергу, оцінює таке значення , Тобто:
(4.3.19)
де ei - це l-й розмір кроку ітерації, і новий компонент dl, як ми незабаром побачимо, часто береться за функцію помилка взаємодії:
(4.3.20)
Внутрішню змінну взаємодії zi (*) в (4.3.20) можна вважати частиною керуючої змінної доступною для контролера i, в цьому випадку вектор параметра a (t) є набором подвійних змінних або множником Лагранжа, який відповідає обмеженням рівняння взаємодії (4.3.16) . Фундаментальна ідея, яка стоїть за цим підходом повинна перетворити задачу пошуку мінімуму первісної системи в легшу задачу пошуку максимуму, рішення якої можна отримати за допомогою дворівневої ітеративної схеми. Яка обговорювалася вище.
Введемо подвійну функцію
(4.3.21)
до об'єкта (4.3.15), де лагранжіану L (*) визначено як:
(4.3.22)
де вектор параметра а складається з k множників Лагранжа. Таким чином, спочатку обмежена (взаємодією підсистем) оптимізаційна задача перетворюється на необмежену, іншими словами обмеження (4.3.16) задовольняється через визначення набору множників Лагранжа ai, i = 1, ..., k. У таких випадках, коли функції обмежень опуклі, теорема сильної подвійності Лагранжа (Geoffrion, 1971a, b; Singh, 1980) показує, що
(4.3.23)
визначаючи, що мінімізація J в (4.3.17) для об'єкта (4.3.15) - (4.3.16) еквівалентна максимуму подвійний функції q (a) у (4.3.21) за параметром a. Щоб полегшити вирішення цього завдання, відмічено, що для певного набору цих множників Лагранжа а = а *, лагранжіану можна переписати у вигляді:
(4.3.24)
який виявляє, що декомпозицію застосовують до Лагранжіану таким чином, що, подлагранжіан Li існує для кожної підсистеми. Кожна підсистема буде прагнути мінімізувати свій власний подлагранжіан Li, як визначено в (4.3.24) для об'єкта (4.3.15) і використовуючи множники Лагранжа a *, які вважаються відомими функціями на першому рівні ієрархії. Результат кожної такої мінімізації дозволить визначити подвійну функцію q (a *) у (4.3.21). На другому рівні, на якому рішення всіх підсистем першого рівня відомі, значення q (a *) буде змінено типовою необмеженої оптимізацією, наприклад метод Ньютона, градієнта або швидкісного градієнта. Градієнтні методи використовуються тому, що градієнт q (a) визначається:
(4.3.25)
це помилки взаємодії підсистем, що відомі з рішень першого рівня і визначає градієнт f по х. На другому рівні вектор a змінюється за формулою (4.3.19) і малюнку 4.6. Якщо застосовується градієнтний метод (з крутим схилом), вектор dl в (4.3.19) є просто l-й ітеративної помилкою взаємодії el (t). Однак, для підвищення точності обчислень визначимо швидкісний градієнт як:
(4.3.26)
де
(4.3.27)
і d0 = e0. Як тільки вектор помилки e (t) досягає нуля, з'являється оптимальне ієрархічне управління s. Нижче дана покрокова процедура обчислення для методу узгодження мети ієрархічного управління.
Алгоритм 4.1. Метод узгодження мети.
Крок 1. Для кожної підсистеми першого рівня, мінімізуємо кожен подлагранжіан Li, використовуючи відомий множник Лагранжа a = a *, так як підсистеми лінійні, може бути використано рівняння Риккати. Збережемо рішення. (Читачі не знайомі з рівнянням Риккати можуть прочитати розділ 4.3.2, метод прогнозування взаємодії).
Крок 2. На другому рівні використовується ітеративний метод швидкісного градієнта, схожий на (4.3.26) - (4.3.27), щоб змінити траєкторії a * (t) як в (4.3.19). Як тільки загальна помилка взаємодії системи буде нормалізована з
(4.3.28)
і буде достатньо мала, буде досягнуто оптимальне рішення для системи. Тут - Розмір кроку інтегрування.
Два приклади нижче ілюструють метод узгодження мети або балансу взаємодії. Перший приклад, який був запропонований Pearson (1971), і пізніше розглянуто Singh (1980) та Jamshidi (1983), використаний в ізменненія формі. Другий приклад показує модель многоколенной завдання забруднення річки (Beck, 1974; Singh, 1975). Повна оцінка багаторівневих методів дана в секції 4.6, а опис нелінійних багаторівневих нелінійних систем в главі 6. Дві альтернативи вирішення цього ієрархічного управління засновані на розширених лавах Тейлора і Чебишева в розділі 4.6.
Приклад 4.3.1. Розглянемо систему 12-го порядку введену Pearson (1971) і показану на рис 4.7 до рівняння стану:
(4.3.29)
і квадратичною функцією оцінки:
(4.3.30)
з

де

Вектор виходу системи представлений як:
(4.3.31)
Необхідно знайти стратегію ієрархічного управління за методом балансу взаємодій (погодження мети).
Рішення: З схеми системи, показаної на малюнку 4.7 (пунктирні лінії) та матриці стану (4.3.29) ясно, що є чотири підсистеми третього порядку з'єднаних через шість обмежують рівнянь (по числу пунктирних ліній на рис. 4.7):
(4.3.32)
де ei, i = 1, ..., 6 представляє помилки взаємодії між чотирьох підсистемами. Завдання підсистем першого рівня були вирішені через набір з чотирьох матричних рівнянь Риккати третього порядку:
(4.3.33)
де Ki (t) - це позитивно певна матриця Риккати ni x ni і . Методи «без взаємодії» і «подвоєння» вирішують диференціальне матричне рівняння Риккати, запропоновані Davison і Maki у 1973 та розглянуто Jamshidi в 1980, були використані для комп'ютерного рішення (4.3.33). Рівняння стану підсистем були вирішені стандартним методом Рунге-Кутта четвертого порядку, а ітерації другого рівня були виконані за схемою швидкісного градієнта (4.3.19), (4.3.26) - (4.3.27), використовуючи кубічну сплайн інтерполяції (Hewlett-Packard, 1979) для оцінки відповідних чисельних інтегралів. Розмір кроку був обраний = 0.1, як і в попередніх розглядах цього прикладу (Pearson, 1971; Singh, 1980). Алгоритм швидкісного градієнта дозволив зменшити помилку з 1 до за шість ітерацій, як показано на малюнку 4.8, який був у тісному зв'язку з результатами попередніх досліджень модифікованої версії системи (4.3.29), отриманими Singh (1980). Розглянемо другий приклад.
Приклад 4.3.2. Розглянемо двухколенний модель задачі управління забрудненням річки.
(4.3.34)
де кожне коліно (підсистема) річки має два стани - x1 - це концентрація біохімічної потреби в кисні (БПК) (біохімічна потреба в кисні представляє собою рівень вмісту кисню отриманого в результаті розпаду органічної речовини) і х2 - це концентрація розчиненого кисню (РК) - і керування u1 - це БПК вод втікають у річку. Для квадратичної функції оцінки
(4.3.35)
З Q = diag (2,4,2,4) і R = diag (2,2), необхідно знайти оптимальне управління, яке оптимізує (4.3.35) для об'єкта (4.3.34) при x (0) = (11 -11) T.
Рішення: Як видно з (4.3.34) - (4.3.35), два завдання першого рівня ідентичні, і матричне рівняння Риккати другого порядку вирішується інтегруванням (4.3.33) використовуючи метод Рунге-Кутта четвертого порядку при = 0.1. Помилка взаємодії в цьому прикладі знижена до за 15 ітерацій, як показано на малюнку 4.9. Оптимальні концентрації БПК і РК двох колін річки показані на малюнку 4.10.
4.3.2. Метод прогнозування взаємодії.
Альтернативний підхід до оптимального управління ієрархічними системами, який має як відкритий, так і закритий контур управління, - це метод прогнозування взаємодії, який грунтується на роботі Takahara (1965), який уникає згадки про градієнтні ітераціях другого рівня. Розглянемо велику лінійну взаємозв'язану систему, яка декомпозирована на N підсистем, кожна з яких може бути описана
(4.3.36)
Де вектор взаємодії zi:
(4.3.37)
Задача оптимального управління на першому рівні - знайти керування ui (t), яке задовольняє (4.3.36) - (4.3.37), мінімізуючи звичайну квадратичну функцію оцінки:
(4.3.38)
Це завдання можна вирішити введенням безлічі множників Лагранжа ai (t), і векторів косостоянія pi (t), щоб збільшити обмеження рівняння взаємодії (4.3.37) і підсистем динамічного обмеження (4.3.36) до підінтегральної функції оцінки, тобто Гамільтоніан i-й підсистеми буде визначений як:
(4.3.39)
Потім повинно бути написано кілька необхідних умов:
(4.3.40)
(4.3.41)
(4.3.42)
(4.3.43)
де вектори ai (t) і zi (t) - вже не вважаються невідомими на першому рівні, і фактично ai (t) збільшує zi (t), щоб утворити шірокоразмерний вектор узгодження, який ми розглянемо нижче. Для вирішення завдання першого рівня, треба прийняти як відому. Заметі, що ui (t) можна виділити з (4.3.43):
(4.3.44)
і підставити в (4.3.40) - (4.3.42), отримавши:
(4.3.45)
(4.3.46)
який утворює лінійну двоточкову крайову (ДТК) завдання, і, як в (4.3.33) . Можна побачити, що ДТК завдання може бути розкладена введенням матриці Риккати. Це виглядає як:
(4.3.47)
де gi (t) - це розімкнутий зв'язаний або компенсуючий вектор, розмірністю ni. Якщо обидві частини рівняння (4.3.47) продифференцировав і і з (4.3.46) і (4.3.45) підставлені в нього, можна знову використовувати (4.3.47) і зрівняльні коефіцієнти для першого і нульового порядку xi (t), отримавши такі матричні і векторні диференціальні рівняння:
(4.3.48)
(4.3.49)
де кінцеві умови Ki (tf) і gi (tf) випливають з (4.3.41) і (4.3.47).
(4.3.50)
У результаті даного рівняння оптимальне рівняння першого рівня стає
(4.3.51)
який має часткову закриту зворотний зв'язок і пряму (відкриту) зворотний зв'язок. Можна зробити два висновки. Перший, рішення диференціального, симетричного матричного рівняння Риккати, в яке включено ni (ni +1) / 2 нелінійних скалярних рівнянь не залежить від початкового стану xi (0). Другий, на відміну від Ki (t), gi (t) в (4.3.49) за допомогою zi (t) залежить від xi (0). Ця властивість буде використано в розділі 4.4, щоб отримати абсолютно закрите управління в ієрархічній структурі.
Завдання другого рівня сильно змінює новий вектор узгодження . Для цієї мети визначте адитивно відокремлюваний лагранжіану:
(4.3.52)
Значення ai (t) і zi (t) можна отримати з:
(4.3.53)
(4.3.54)
тобто:
(4.3.55)
Процедура погодження другого рівня на ітерації (l +1) має вигляд:
(4.3.56)
Метод прогнозування взаємодії формулюється наступним алгоритмом:
Алгоритм 4.2 Метод прогнозування взаємодії для безперервних систем:
Крок 1. Вирішити N незалежних диференціальних рівнянь матричних Риккати (4.3.48) з кінцевим умовою (4.3.50) і збережіть Ki (t), i = 1,2 ..., N. Ініціалізує ai (t) випадковими числами і знайдіть відповідне значення для zi (t).
Крок 2. На l-й ітерації використовуйте значення щоб вирішити поєднане рівняння (4.3.49), з кінцевим умовою (4.3.50). Збережіть gi (t), i = 1,2, ..., N.
Крок 3. Розв'яжіть рівняння стану
(4.3.57)
І збережіть xi (t), i = 1,2, ..., N.
Крок 4. На другому рівні використовуйте результати кроків 2 і 3 і (4.3.56) щоб змінити узгоджувальний вектор:

Крок 5. Перевірте збіжність на другому рівні, оцінивши загальну помилку взаємодії:
(4.3.58)
Крок 6. Якщо необхідна збіжність досягнута - зупиніться. Інакше, встановіть l = l +1 і перейдіть до кроку 2.
Важливо відзначити, що в залежності від типу цифрового комп'ютера, і його операційної системи, розрахунки підсистем можуть здійснюватися паралельно, а також N-матричне рівняння Риккати на кроці 1 не залежить від xi (0), і отже їх необхідно обчислити один раз, не залежно від числа ітерацій другого рівня в алгоритмі прогнозування взаємодії (4.3.56). На відміну від методів узгодження мети, zi (t) не потрібен у функції оцінки, який був необхідний, щоб уникнути однорідності, про що буде написано в наступному розділі.
Метод прогнозування взаємодії, введений Tokahara (1965), був розглянутий багатьма дослідниками, які внесли до нього істотний внесок. Серед них Titli (1972) який назвав цей метод змішаним (Singh, 1980) та Cohen та ін (1974), який надав більш переконливі докази збіжності ніж запропоновані раніше. Smith і Sage (1973) розглянули цю схему для нелінійних систем, яка буде розглянута в Главі 6. Порівняння методів прогнозування взаємодії, узгодження мети і підходів без інтеграції, розглянутих у розділі 4.4, дано у розділі 4.5. Наступні два приклади, а потім приклад в САПР ілюструє метод прогнозування взаємодій.
Приклад 4.3.3. Розглянемо систему четвертого порядку
(4.3.59)
Де x (0) = (-1,0.1,1.0, -0.5) T, квадратична функція оцінки Q = daig (2,1,1,2), R = diag (1,2) і немає граничного штрафу. Треба використовувати метод прогнозування взаємодії і знайти оптимальне керування для tf = 1.
Рішення: Систему розділили на дві підсистеми другого порядку і застосували методи, описані в алгоритмі 4.2. На першому кроці вирішили два незалежних диференціальних матричних рівняння Риккати використовуючи як дублюючий алгоритм Davison і Maki (1973), так і стандартний метод Рунге-Кутта. Елементи матриці Риккати були представлені у вигляді квадратичного полінома в ряді Чебишева (Newhouse, 1962), для зручності обчислень:
(4.3.60)
На першому рівні були вирішені два сполучених рівняння другого порядку у вигляді (4.3.49) і два рівняння стану підсистем, як показано в алгоритмі 4.2 в кроці 3, використовуючи метод четвертого порядку Рунге-Кутта і початкові значення
(4.3.61)
На другому рівні вектори взаємодії [a11 (t), a12 (t), z11 (t), z12 (t)] і [a21 (t), a22 (t), z21 (t), z22 (t)] T були спрогнозовані з використанням рекурсивних відносин (4.3.56), і на кожній ітерації проводився обмін інформацією з підрахунком загальної помилки взаємодії (4.3.58) для і програми кубічної сплайн інтерполяції. Помилку взаємодії знизили до за шість ітерацій, як показано на малюнку 4.11. Були отримані оптимальні значення виходу для Ci = (1 1) і сигналу управління. Потім для порівняння початкову систему (4.3.59) оптимізували, вирішивши нестаціонарне матричне рівняння Риккати четвертого порядку зворотним інтегруванням, і для хi (t), i = 1,2,3,4; yj (t) і uj (t), j = 1,2. Значення виходу і сигнали управління як для випадку ієрархічного управління, так і для централізованого, показані на малюнку 4.12. Відзначте щодо точну відповідність між значеннями виходу для початкової з'єднаної та ієрархічної роз'єднаною систем. Але як і очікувалося, ці два рівняння різні.
Тепер розглянемо другий приклад.
Приклад 4.3.4. Розглянемо систему восьмого порядку

Необхідно використовувати метод прогнозування взаємодії для знаходження u *.
Рішення: Система була розкладена на дві підсистеми четвертого порядку і були вибрані tf = 2, = 0.1, Q1 = Q2 = I4, R1 = R2 = 1. Початкові значення , I = 1,2 і стан х0 були прийняті за , і . Збіжність була дуже швидкою, як видно на малюнку 4.13. Всього за чотири ітерації другого рівня помилка взаємодії була знижена до . Фактично була швидка збіжність для різних x0 і .
САПР приклад 4.3.1. Розглянемо систему четвертого порядку в прикладі 4.3.1 в (4.3.59):

Де x (0) = (-1,0.1,1.0, -0.5) T, квадратична функція оцінки Q = diag (2,1,1,2), R = diag (1,2) і немає граничного штрафу. Необхідно використовувати LSSPAK або подібне програмне забезпечення та метод прогнозування взаємодії і знайти оптимальне керування для tf = 2.
Рішення: Як і раніше, система ділиться на дві підсистеми другого порядку, і рівняння Риккати для підсистем вирішуються з використанням RICRKUT від LSSPAK / PC, а їх вирішення представлені у вигляді полінома четвертого порядку для зручності обчислень. Використовуючи програму INTRPRD від LSSPAK / PC реалізують алгоритм прогнозування взаємодії і сходження досягається за п'ять ітерацій. Точні вибірки з виконання цього САПР приклад наведено нижче. Інструкції для креслення програми прогнозування взаємодії з'являються, коли на екрані з'явиться креслення; натисніть Enter, щоб повернутися до меню.
Якщо ви хочете вивести креслення через принтер відкрийте DOS файл GRAPHICS до запуску програми, коли ви захочете вивести креслення, натисніть shift-PrtScr.
Optimization via the interaction divdiction method.
Initial time (to): 0
Final time (tf): 2
Step size (Dt): .1
Total no. of 2nd level iterations = 6
Error tolerance for multi-level iterations - .00001
Order of overall large scale system = 4
Order of overall control vector (r) = 2
Number of subsystems in large scale system = 2
Matrix Subsystem state orders-n sub i 0.200D +01 0.200D +01
Matrix Subsystem input orders-r sub i 0.100D +01 0.100D +01
Polynomial approximation for the Ricatti matrices to be used.
Matrix Ricatti coefficients for SS # 1
0.453D +01
-. 259D +01
0.794D +01
-762D +01
O.186D +01
0.978D-01
-. 793D-01
0.252D +00
.233 D +00
0.571D-01
0.490D +00
0.759D-02
-. 109D +00
0.975D-01
-. 531D-01

Matrix Ricatti coefficients for SS # 2
0.112D +01
-. 815D +01
0.361D +01
0.455D +01
0.105D +01
-0.149D +00
-. 322D-01
0.697D-01
.284 D-01
0.183D-01
0.815D +00
0.642D-01
-. 295D +00
0.305D +00
-. 138D +00
System Matrix A
0.200D +01
0.100D +00
0.100D-01
0.000D +00
0.200D +00
0.100D +01
0.100D +00
0.500D +00
0.500D-01
0.150D +00
0.100D +01
0.500D-01
0.000D +00
-0.200D +00
0.250D +00
-0.120D +01
Matrix Input Matrix B
0.100D +01
O. OOOD +00
0.100D +00
O. OOOD +00
O. OOOD +00
O.250D + O0
Matrix Input Cost Function R
0.100D +01
O. OOOD + OO
0.000D + O0
0.200D +01
Matrix Lagrange Multiplier Initial Values
0.100D +01
O. IOOD + Ol
0.100D +01
0.100D +01

Matrix Initial conditions vector xO
-. 100D +01
0.100D +00
0.100D +01
-. 500D +00
Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 1
Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 1
At second level iteration no. 1 interaction error = 0.347D +00
Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 2
Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 2
At second level iteration no. 2 interaction error = 0.771D - 03
Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 3
Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 3
At second level iteration no. 3 interaction error = 0.507D - 03
Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 4
Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 4
At second level iteration no. 4 interaction error = 0.323D - 04
Subsystem no. 1 at 2nd level iteration no. 5
Subsystem no. 2 at 2nd level iteration no. 5
At second level iteration no. 5 interaction error = 0.310D - 05
Оптимальні відгуки показані на малюнку 4.14, а сходження на малюнку 4.15.
Інші застосування методу прогнозування взаємодії представлені в розділі завдань.

4.3.3 Узгодження мети і однорідність
Коли в (4.3.15) - (4.3.17) обговорювалося метод узгодження мети, було відмічено, що позитивно певні матриці Si були введені в функцію оцінки (4.3.17) для того, щоб уникнути однорідності. Щоб переконатися в цьому, звернемося до задачі мінімізації Li в (4.1.24) для об'єкта (4.3.15). Нехай i-й Гамільтоніан підсистеми має вигляд:
(4.3.62)
Одне з необхідних рівнянь для розв'язання задачі i-й підсистеми на першому рівні
(4.3.63)
або
(4.3.64)
де однорідне рішення з'являється, якщо не з'являється у функції оцінки. Щоб уникнути однорідності на першому рівні можливі два альтернативних підходи. Наступний приклад ілюструє два підходи.
Приклад 4.3.5. Розглянь наступну систему:
(4.3.65)
Необхідно знайти (u1, u2), такі, щоб вони задовольняли (4.3.65), а квадратична функція оцінки
(4.3.66)
мінімізувалася методом узгодження мети.
Рішення: З (4.3.65) - (4.3.66) ясно, що систему можна розділити на дві підсистеми першого порядку.
(4.3.67)
(4.3.68)
з обмеженням взаємодії
(4.3.69)
Завдання зараз має наступний Гамільтоніан:
(4.3.70)
в якому мінлива взаємодії з'являється лінійно. Застосування методу узгодження цілі для даної формулювання призведе до однорідності, оскільки z1 з'являється лінійно в (4.3.70). Наступна системна переформулировка завдань допоможе уникнути однорідності.
Частина а - підсистема 1, змінні стану
Частина б - підсистема 1, змінні управління
Частина в - підсистема 2, змінні стану
Частина г - підсистема 2, змінні управління

4.3.3.а. Переформулювання 1.
Bauman (1968) запропонував переписати обмеження взаємодії квадратичної форми
(4.3.71)
яка дасть наступне необхідна умова для оптимізації на першому рівні:
(4.3.72)
для першої підсистеми і
(4.3.73)
для другої підсистеми. Після введення формули Риккати (4.3.72) і (4.3.73) ми отримаємо:

і

де ki (t) - i-а скалярна нестаціонарна матриця Риккати для підсистеми. Погодження на другому рівні досягається через наступні ітерації:

Ця переформулировка допомагає уникнути однорідності, але робить сходження ітерацій другого рівня дуже повільним.

4.3.3.б. Переформулювання 2.
Singh (1980) запропонував альтернативну формулювання, яке не тільки дозволить уникнути однорідності, але і дасть гарний сходження процедура грунтується на тому, щоб знайти х через вектор взаємодії z і підставити його у функцію оцінки, тобто z можна представити як:

де G - вважається неоднорідною і переформулювати Гамільтоніан представлений у вигляді:

У цьому прикладі матриця G - однорідна, але рішення можна отримати. Гамільтоніан має вигляд:

А завдання підсистеми першого рівня має вигляд

і

другий підсистему можна вирішити відразу ж, так як рівняння p2 - косостояніе відокремлено від х2 і може бути вирішено в зворотному порядку і підставлено в рівняння х2, що призведе до того, що рішення рівняння Риккати в даному прикладі не потрібно. Але для першої підсистеми, виходячи з формулювання завдань першого рівня у прогнозуванні взаємодії (4.3.40) - (4.3.51), необхідно як рівняння Риккати, так і відкрите поєднане (компенсує) векторне рівняння. Для цього прикладу завдання першої підсистеми має вигляд

де два диференціальних рівняння для ki (t) і gi (t) потрібно вирішити в зворотному порядку. У той час як для другої підсистеми не потрібно вирішувати допоміжне рівняння, треба вирішити два таких рівняння для першої підсистеми. Загалом ця переформулировка потребує вирішення
(4.3.74)
що означає, що рівняння вектора косостоянія p відокремлено від х і може бути вирішено в зворотному порядку (без рішення рівняння Риккати) і підставлено у верхнє рівняння для знаходження х. Так як матриці A, B, Q і R - блок-діагональні, завдання (4.3.74) можна розділити на N завдань підсистем з умовою, що отделяемо від z, де V = G-1.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Лекція
112.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Управління великими компаніями
Управління логістичними системами
Управління освітніми системами
Управління складними системами 2
Принципи управління педагогічними системами
Управління багатовимірними автоматичними системами
Модель і методи управління організаційними системами
Основні засади управління операційними системами
Управління освітніми системами в різних країнах
© Усі права захищені
написати до нас