РЕФЕРАТ

Тема "Інформація. Моделі. Математичне моделювання »

Виконав:

Перевірив:

Новосибірськ 2003р.

Зміст

1 Вступні поняття. 3
2 Класифікація моделей. 6
3 Класифікація об'єктів (систем) за їх здатності використовувати інформацію. 9
4 Етапи створення моделі. 12
5 Поняття про життєвий цикл систем. 13
6 Моделі прогнозування. 15
7 Висновки ... 19
Список літератури: 20

Інформація. Моделі. Математичне моделювання.

1 Вступні поняття.

Під моделюванням розуміються методи отримання та дослідження моделей. Можна дати кілька визначень моделі.
Модель - це деякий об'єкт, який на різних етапах дослідження може замінювати досліджуваний об'єкт.
Модель - це цільовий образ об'єкта оригіналу, що відображає найбільш важливі властивості для досягнення поставленої мети.
Модель - це або подумки яка надається, або матеріально реалізована система, яка може відображати або відтворювати об'єкт дослідження, а також заміщати його з метою вивчення та подання нової інформації про об'єкт. Таким чином, створення кожної моделі завжди має якусь мету.
Під метою розуміється кінцевий стан, при якому досліджуваний об'єкт досягає певного відповідності в часі і просторі з іншим об'єктом.
Серед основних цілей створення моделі можна виділити наступні:
- Гносеологічні (пізнавальні);
- Навчальні;
- Управлінські;
- Експериментальні;
- Творчі (проектування).
Для досягнення поставлених цілей модель повинна володіти деякими властивостями, які одночасно є і критеріями оцінки якості побудови моделі.
Серед властивостей моделі можна виділити наступні:
- Ефективність;
- Універсальність;
- Стійкість;
- Змістовність;
- Адекватність;
- Обмеженість;
- Повнота;
- Динамічність.
Властивість ефективності показує, наскільки правильним було створення і використання моделі для досягнення поставленої мети. Під універсальністю моделі розуміється можливість її застосування в інших завданнях і для досягнення інших цілей. Стійкість моделі означає її правильну роботу в мінливих зовнішніх умовах і екстрених ситуаціях. Властивість змістовності визначає кількість функції моделі.
Серед функцій моделі виділяють описову, інтерпретаторскую, пояснювальну, предсказательную, вимірювальну функції.
Адекватність визначає відповідність моделі поставленій задачі. Модель завжди відображає об'єкт-оригінал не у всіх його властивості і функції. Таким чином, модель є обмеженою. Під повнотою моделі розуміється наявність відомостей про об'єкт-оригіналі, необхідних для досягнення поставленої мети. Динамічність визначає зміну моделі з плином часу.
Історія моделювання визначається серединою 20 століття, коли була опублікована монографія Норберта Вінера «Кібернетика або управління і зв'язок в тварині і машині».
Найважливішим у моделюванні є поняття інформації. Під інформацією можна розуміти наступне:
- Це позначення змісту отриманого з зовнішнього світу в процесі нашого пристосування до нього. При цьому процес отримання та використання інформації є процесом нашого пристосування до випадковостей нашого середовища і нашої життєдіяльності в цьому середовищі.
- Це сукупність, відчужена від творця і усуспільнення форма знання.
- Це модель, тобто спрощений неадекватне уявлення знань.
Приміром, інформаційною моделлю знання можна вважати текст, закріплений на матеріальному носії. При цьому інформаційна модель дозволяє відокремити цінну інформацію від несуттєвою, вибрати аналоги серед різних видів об'єктів і вибрати в якості робочої гіпотези одне з можливих рішень.

2 Класифікація моделей.

Єдиної класифікації моделей не існує, але можна виділити наступні типи моделей:
2.1 За способом моделювання:
- Символічні або мовні;
- Дійсні або матеріальні.
2.2 За збігом природи:
- Фізичні збіги;
- Приладові.
2.3 За призначенням:
- Гносеологічні, для встановлення законів природи;
- Інформаційні, для розробки методів управління;
2.4 За способом побудови моделей:
- Теоретичні (аналітичні) - за даними про внутрішню структуру;
- Формальні - по залежності між входом і виходом у систему;
- Комбіновані.
2.5 За типом мови опису:
- Текстові або дескриптивні;
- Графічні (креслення, схеми);
- Математичні;
- Змішані.
2.6 За залежності параметрів моделі від просторових координат:
- З розподіленими змінними (змінюються в просторі);
- З зосередженими змінними (не змінюються в просторі).
2.7 За залежно від змінних:
- Незалежні;
- Залежні.
2.8 За принципом побудови:
- Стохастичні або імовірнісні;
- Детерміновані (причинно зумовлені).
2.9 По зміні вихідних змінних у часі:
- Статичні або стаціонарні;
- Динамічні або нестаціонарні.
2.10 За пристосовності моделі:
- Адаптивні;
- Неадаптивное
2.11 За способом пристосування, налаштування (для адаптивних моделей):
- Пошукові (по мінімуму помилки);
- Безпошукове.
2.12 За ступенем відповідності оригіналу:
- Ізоморфні (строго відповідні об'єкту);
- Гомоморфним (відображає деякі істотні властивості об'єкта).
2.13 За природою:
- Матеріальні або геометричної подоби (малюнок);
- Знакові, в тому числі графічні і математичні;
- Дескриптивна.
2.14 За принципом моделювання:
- Фізичні моделі, в тому числі геометричні (модель літака);
- Аналогові моделі мають або подібну структуру зі структурою об'єкта (структурна модель) або виконують подібні функції об'єкту (функціональна модель). Принцип аналогії є основним принципом моделювання. Прикладом аналогії є дослідження економічних систем за допомогою дослідження «потоку» електрики в ланцюзі.
- Символічні моделі - це абстрактні математичні рівняння (нерівності).
За допомогою даної класифікації можна визначити модель з різних точок зору.
У результаті сучасних досліджень можна створити управлінську (кібернетичну) модель, у якій відбиваються аспекти структурної, функціональної, інформаційної та математичної моделі.
При цьому будь-яку систему можна вивчати на двох рівнях:
- Теоретичному, або фундаментальними методами;
- Емпіричне, або прикладними методами.
Фундаментальні методи пояснюють і пророкують майбутні відкриття, а прикладні методи дозволяють вирішувати окремі, не глобальні проблеми.
На емпіричному рівні система вивчається через зв'язки з зовнішнім середовищем, через властивості і відносини між об'єктами системами. На першому етапі вивчення системи створюється дескриптивна модель, яка не містить керуючих факторів. На другому етапі створюється конструктивна модель, яка дозволяє виявити існуючі фактори з метою ефективного управління ними.

3 Класифікація об'єктів (систем) за їх здатності використовувати інформацію.

Система являє собою обмежене і взаємопов'язане єдність різних об'єктів живої та неживої природи.
Користуючись цією класифікацією можна виділити 7 типів систем:
3.1 Просте перетворення.

де, I - вхідна інформація;
O - вихідна інформація.
Власна мета відсутня. Безперервні вказівки йдуть від зовнішнього джерела, і при цьому реалізуються 3 операції:
- Прийом;
- Переробка, або перетворення;
- Вихідна вплив.
Приклад: процес перетворення замовлення на товари, звукові підсилювачі.
3.2 Проста сортування.

O ₁

O ₂

Система має два виходи та один вхід. Правила сортування реалізовані в блоці перетворення. Це прості операції пошуку і розпізнавання.
3.3 Зворотній зв'язок.

А - блок отримання помилки.
С - блок формування сигналу зворотного зв'язку.
В - виконавчий механізм.
Дуга СА - зворотний зв'язок.
Дуга АВ - помилка.
Частина вихідного сигналу порівнюється зі встановленим на вході сигналом, і аналізуються неузгодженості. Зазвичай зворотній зв'язок зменшує помилку і називається негативним зворотним зв'язком, тому що спрямована протилежно дії. Прикладом є система планування, де аналізується стійкість, час запізнювання і здійснюється контроль. Також прикладом є рух антени радара.
3.4 Сортування зі зворотним зв'язком.

O ₁

O ₂

3.5 Система з автоматичним зміною мети, чи зворотній зв'язок другого порядку.

У цій системі реалізується вибір при зміні зовнішніх умов.
А - рецептор.
B - ефектор.
З - прийняття рішень.
D - вибірка з пам'яті.
E - пам'ять.
За такою схемою реалізується процес навчання будь-якої організації.
3.6 Система з свідомим зміною мети, чи зворотний зв'язок третього порядку.

F - переробка інформації.
Свідомість - це уявлення про об'єкт, про мету, про управління рецептором і ефекторів; про процеси, пов'язаних з пам'яттю.
Пам'ять - це колективне знання, де реалізуються зберігання, пошук, обробка даних.
У цих системах з великого обсягу зовнішньої інформації вибирається така, яка необхідна суб'єкту (людині, організації). Така система може управляти власним ростом і розвитком.
3.7 Комбіновані.

1
2
3
4
5
6
7
8
4 Етапи створення моделі.

1 - система (об'єкт, явище, процес).
2 - опис системи.
3 - постановка задачі.
4 - математична модель.
5 - несуперечність висновків у рамках моделі.
6 - рішення задачі.
7 - перевірка адекватності
8 - уточнення моделі.
При вивченні будь-якого об'єкта шляхом моделювання потрібно виконувати ряд обов'язкових, перерахованих вище етапів.
Дуга (1 - 2) - спостереження експерименту.
Дуга (2 - 3) - формалізація абстракції, тобто опис істотних факторів та зв'язків між ними.
Дуга (3 - 4) - конструювання елементів моделі.
Дуга (4 - 5) - вивчення моделі.
Дуга (5 - 6) - вибір методів рішення.
Дуга (6 - 7) - порівняння висновків з реальними фактами.
Рішення, отримане на моделі, дійсна тільки до тих пір, поки некеровані параметри зберігають свої значення, і співвідношення між параметрами моделі залишаються постійними. Якщо рішення виходить з-під контролю, то втрачається можливість керування ним, тоді встановлюється процедура підстроювання рішення.
Так як модель завжди лише частково відображає дійсність, то вона може бути хорошою, якщо буде точно передбачати вплив змін в системі на загальну ефективність всієї системи. Рішення можна оцінити, порівнявши результати, отримані за моделлю, з раніше отриманими даними, або з даними практичних випробувань.
Багатокритеріальні задачі зазвичай вирішуються як послідовність однокритеріальних завдань. Критерій оптимізації, в даному випадку, називається цільовою функцією. Потім формуються обмеження, і вибирається один з наступних методів рішення:
- Дедуктивний, або аналітичний.
- Індуктивний, або чисельний.
- Метод Монте-Карло, або статистичних випробувань.

5 Поняття про життєвий цикл систем.

Під життєвим циклом будь-якої системи розуміється проміжок часу, який проходить між усвідомленням необхідності в цьому виробі і усвідомленні його непотрібність. Між цими моментами існує ряд етапів.

Наприклад, в економіці це наступна послідовність:
- Маркетинг.
- Проектування та розробка.
- Матеріально-технічне постачання виробничих процесів.
- Підготовка і розробка технологічних процесів.
- Виробництво.
- Контроль, проведення випробувань і спостережень.
- Упаковка та зберігання.
- Реалізація виробу.
- Монтаж, експлуатація.
- Технічна допомога.
- Утилізація.
Модель об'єкта повинна будуватися так, щоб будь-який фрагмент був доступний на кожному етапі життєвого циклу.
Взаємодія моделі і об'єкту дослідження відбувається на декількох етапах:
- Моделювання у віртуальному світі об'єктів реального світу.
- Створення та розвиток віртуального світу.
- Втілення об'єктів віртуального світу в реальному світі.

W
Z
Y
U
Будь-який об'єкт можна представити як «чорний ящик», на який впливають різні фактори.

Z - вектор контрольованих збурень.
Y - неконтрольований вектор вихідних параметрів.
U - контрольований вектор керуючих впливів на технологічний процес.
W - вектор неконтрольованих збурень.
Потім виконується формалізація, і об'єкт представляється в наступному вигляді:

F (B, x)

Y - вектор вихідних параметрів.
X - вектор контрольованих вхідних змінних. (Об'єднує дії змінних U, Z).
E - випадкова адитивна перешкода (сумарна), яка характеризує вплив випадкових збурень.
F (B, x) - параметрична функція, яка здійснює перетворення значень Х в Y, або це модель досліджуваного об'єкта.
Предметом дослідження моделі є визначення виду моделі та параметрів моделі. Істинного значення параметрів системи дізнатися неможливо, можна отримати лише оцінку параметрів будь-якої моделі (вектора В). Змінюючи значення параметрів Х можна спостерігати зміну поведінки вихідних значень Y, або підтримувати Y на постійному рівні.
Зміна Х визначається або об'єктивними можливостями існування даного чинника, або нормативами. Чим менше кількість керованих факторів, тим краще управляти системою в цілому.
Вхідні параметри вважаються незалежними, або екзогенними.
Вихідні параметри вважаються залежними, або ендогенними.

6 Моделі прогнозування.

Існує безліч математичних моделей, за допомогою яких вирішуються ті, чи інші завдання. У всіх сферах діяльності людини важливим моментом є прогнозування подальших подій. Зараз існує більше 100 методів і методик прогнозування, Умовно їх можна розділити на фактографічні та експертні. Фактографічні методи засновані на аналізі інформації про об'єкт, а експертні - на судженнях експертів, які отримані при проведенні колективних чи індивідуальних опитувань. Серед фактографічних методів можна виділити наступні:
- Статистичні методи.
- Методи аналогії.
До статистичних методів відносяться апроксимація, інтерполяція,, методи дослідження часових рядів.
До методів аналогії відносяться моделі планування експерименту, а також математичні, історичні й інші аналогії.
Серед моделей прогнозування можна виділити наступні:
6.1 Моделі апроксимації.
Методи апроксимації застосовні до детермінованим і статистичними системам.
Апроксимація - наближення (з лат.).
Вибір апроксимуючої функції F (B, x) пов'язаний з рішенням оптимізаційної задачі. Для цього застосовується критерій мінімізації квадратичної помилки.
Постановка завдання.
Нехай проведено N (x _I, y _I) дослідів, де
x _I - вхідний параметр;
y _I - вихідний параметр.
Необхідно підібрати модель зв'язує x і y.

Через точки (x _I, y _I) можна провести криву, яка, у свою чергу, може проходити через ці точки або знаходитися поблизу даних точок.
У апроксимації для отримання параметрів моделі використовується МНК-критерій (метод найменших квадратів). Кращою вважається та модель, для якої сума квадратів відхилень досвідчених значень, від теоретичних буде мінімальною.
Для цього формується цільова функція або критерій оптимізації.
S = Σ (y _I - F (B, x _I)) ² - min.
Далі треба досліджувати функцію на екстремум. Невідомими будуть коефіцієнти моделі B. Найбільш просто знаходяться параметри, якщо F (B, x _I) являє собою поліном n-ної ступеня. При цьому формується система лінійних рівнянь, порядок якої на одиницю більше ступеня полінома.
Наприклад, для полінома 3-го ступеня система буде виглядати так:

N Σ x _I Σ x _I ² Σ y _I b ₀
С = Σ x _I Σ x _I ² Σ x _I ³ D = Σ x _I y _I B = b ₁
Σ x _I ² Σ x _I ³ Σ x _I ⁴ Σ x _I ² y _I b ₂
C - матриця коефіцієнтів системи.
D - вектор-стовпець вільних членів.
B - вектор невідомих.
У загальному випадку для знаходження параметрів формується система диференціальних рівнянь. У кінці формується система лінійних рівнянь, яку можна вирішувати точними методами (метод Крамера, Гауса, оберненої матриці). Коли система вирішена, тобто, знайдені параметри моделі, можна виконати прогнозування значень y.
Якщо обираєте x знаходиться всередині елементарного інтервалу Δx, то говорять про прогнозування в сьогоденні. Якщо x менше x _0, або x більше x _N, то мова йде про екстраполяції.
6.2 Моделі інтерполяції.
У інтерполяції, на відміну від апроксимації, проводиться мінімізація лінійної помилки. Також, на відміну від апроксимації, де крива по відношенню до точок дослідів може розташовуватися будь-яким чином, а саме знаходитися поблизу цих точок, або проходити через деякі з них, крива інтерполяції, або інтерполяційний поліном обов'язково проходить через всі точки кривої, які називаються вузлами.
Найбільш простий підхід до отримання інтерполяційної моделі був запропонований Лагранжем. Так як поліном проходить через кожну дослідну точку, то потрібно скласти стільки рівнянь, скільки проведено дослідів. У лівій частині рівняння формується поліном, що проходить через i-ту точку. У правій частині формується вектор значень y. У результаті виходить система лінійних рівнянь n-ого порядку, де n - число дослідів, а ступінь інтерполяційного полінома на одиницю менше числа дослідів.
Кількість дослідів повинне обов'язково бути більше п'яти, інакше результати інтерполяції будуть не придатні для прогнозування. Так як метод інтерполяції вимагає проходження моделі через всі точки, то накладаються певні умови на дослідні значення. Різниці i-ого порядку повинні бути приблизно однакові малі. Добре інтерполюються монотонні функції.
Обидва розглянутих методи відносяться до методів дослідження детермінованих моделей.
6.3 Аналіз тимчасових рядів.
Тимчасові ряди відбивають тенденцію зміни параметрів системи в часі, тому вхідним параметром х є момент часу.
Вихідний параметр y називається рівнем ряду. У разі відсутності яскраво виражених змін протягом часу, загальна тенденція зберігається. Ряд можна описати рівнянням виду
Y _T = F (t) + E _T, де
F (t) - детермінована функція часу.
E _T - випадкова величина
У тимчасових рядах проводиться операція аналізу і згладжування тренду, який відображає вплив деяких факторів. Для побудови тренду застосовується МНК-критерій.
Існують моментальні та інтервальні ряди. У моментальних лавах відображаються абсолютні величини, за станом на певний момент часу, а в інтервальних - відносні величини (показник за рік, місяць, і т.д.). Дослідження даних за допомогою рядів дозволяє у багатьох випадках більш чітко уявити детерміновану функцію. При цьому розраховуються базисні і ланцюгові показники (приріст, коефіцієнт зростання, коефіцієнт зростання, темп зростання, темп приросту, та ін.) Під базисними показниками розуміють, показники, які співвідносяться до початкового рівня ряду. Ланцюгові показники відносяться до попереднього рівня.
Прогноз явищ по часових рядах складається з двох етапів:
- Прогноз детермінованою компоненти.
- Прогноз випадкової компоненти.
Обидві проблеми пов'язані з аналізом результатів парних експериментів. На відміну від апроксимації та інтерполяції аналіз часових рядів включає в себе методи оцінки випадкових компонент. Тому прогнозування за допомогою тимчасових рядів є більш точним.
Дослідження рядів має велике значення і для технічних, і для економічних систем.

7 Висновки

Будь-яка інформація може бути отримана на підставі минулого досвіду, а саме теорії перевіреної практикою (наукові факти, методики і розрахунки, досвід кожної людини).
Нова інформація може бути отримана шляхом спостереження, тобто, вивченням системи без втручання в її функціонування. Також вона може бути отримана шляхом експерименту, тобто, вивчаючи систему при цілеспрямованому впливі на її параметри.
Модель досліджується для того, щоб можна було керувати досліджуваним об'єктом або системою, на підставі отриманої по моделі інформації. Управління системою пов'язані з поліпшенням його характеристик або її стабілізацією, тобто з можливістю прогнозування поведінки систем.

Список літератури:

Губарєв В.В. Концептуальні основи інформатики: Учеб. Посібник: Новосибірськ: Изд-во НГТУ, 2001р.
Івченко Б. П., Мартищенко Л.А. Інформаційна мікроекономіка Частина 1: Методи аналізу і прогнозування. СПб. Нордмед-Издат. 1997р.
Турчак К. Чисельні методи. М. - 1985р.
Шелобаев С.І. Математичні методи і моделі в економіці, фінансах і бізнесі: Учеб. Посібник для вузів. М. - 2000р.
Черчмен У., Акофа Р., Арноф Я. Введення в дослідження операції М. - Наука 1968р.

Інформація Моделі Математичне моделювання