Гутнера Г.
1 Основні стратегії докази існування
Важливим завданням, яку ми повинні вирішити, проводячи дослідження онтології математичного дискурсу, полягає у з'ясуванні тих традиційних способів, якими математика встановлює існування своїх предметів. Для цього слід звернути увагу на математичні пропозиції, які стверджують про що-небудь, що воно "існує". Розгляд доказів таких пропозицій дозволяє зрозуміти, в якому сенсі вжито в ньому це слово. Спосіб докази існування прояснює, перш за все, інтерпретацію існування в тому чи іншому затвердження.
Якщо спробувати розібрати основні математичні тексти (тобто тексти, вироблені математиками різного класу і рівня і читані в співтоваристві, що має до математики якесь відношення), то при самому поверхневому аналізі можна побачити три способи докази існування і, відповідно, три способи визначити онтологічний статус предмета дослідження.
Перший (і, можливо, найбільш поширений) спосіб доказу у безпосередньому побудові об'єкта, в існуванні якого належить переконатися. Одним з класичних областей застосування такого роду доказів прийнято вказувати евклидову геометрію, алгебру і, почасти, теорію чисел [18]. Однак, важливо розуміти, що його вживання цілком природно і для цілком "нефінітних" областей, наприклад, для функціонального аналізу. Щоб звернути увагу на деякі важливі особливості такого способу докази, доречно звернутися до прикладу. Одна з відомих теорем функціонального аналізу стверджує, що для будь-якого стискає відображення довільного повного метричного простору в себе існує єдина нерухома точка цього відображення. Це твердження доводиться так: у метричному просторі вибирається довільна точка, дане стискуюче відображення застосовується спочатку до цієї точки, потім до одержали в результаті його застосування образу цієї точки, потім до образу образу і т.д. З'ясовується, що виникає при цьому послідовність має межу і ця межа - точка простору, що не змінюється при застосуванні до неї даного відображення.
Як у формулюванні цієї теореми, так і в її доказі фігурують лише загальні терміни. Доказ, проте, проведено так, що всі загальні терміни в ньому можна замінити на одиничні. Так, задавши певний повне метричний простір (припустимо, фіксований відрізок прямої лінії), тобто вказавши цілком певний одиничний предмет, що володіє всіма необхідними властивостями, і задавши якесь конкретне стискуюче відображення на ньому, ми можемо, користуючись прописаної в доказі схемою, вказати на деякий, також цілком певний, одиничний предмет, що володіє всіма необхідними властивостями (тобто . є нерухомою точкою відображення). Вказівка одиничного предмета - найважливіший момент такого роду міркувань. Хоча саме воно і проводилося як би абстрактно, тобто безвідносно будь-яких единичностей, однак можливість роботи з ними і становить його реальний зміст. Будь-який, включений у міркування індивідуальний предмет отримує в ході його повну визначеність (ясність онтологічного статусу) у силу його відмінність від будь-якого іншого предмета, зазначеного яким-небудь іншим способом. Отже, про будь-який предмет можна сказати, що він існує, якщо наведена кінцева схема, яка, будучи застосована до зазначеного цілком певного об'єкту (або кінцевому набору об'єктів), призводить до побудови розглянутого предмета. Той факт, що схема, на яку ми посилалися у нашому прикладі, містила побудова нескінченної послідовності, ще не порушує конструктивності визначення існування. Межа послідовності є цілком певний об'єкт, побудова якого, при заданій збіжної послідовності, зовсім не потребує таких позамежних абстракцій, як актуальне пред'явлення всієї нескінченної послідовності. З'ясувати, наприклад, що послідовність xn = 1/2n сходиться до 0, можна за допомогою легко завершується процедури. Останнє вірно, звичайно, не для будь-якій послідовності. Але в розібраному нами прикладі таку послідовність вказати можна. (Наприклад, якщо задати відображення, яке кожній точці відрізка буде ставити у відповідність точку, розташовану в два рази ближче до фіксованого кінця відрізка.) Але саме ця можливість і важлива для визначення існування в конструктивному сенсі. Слово "існує" у рамках розглянутої нами інтерпретації має бути прочитане саме як "існує одиничний предмет, на який можна безпосередньо вказати".
Звичайно ж математичне міркування не обмежується такими, зав'язаними на цілком певний одиничний предмет, побудовами. Математичний аналіз постійно має справу з такими предметами, які не можуть бути цілком визначені за допомогою кінцевої процедури побудови. Найхарактерніший приклад - ірраціональне число, яке визначається або як послідовність раціональних чисел, або як перетин на безлічі раціональних чисел. У будь-якому випадку таке визначення предмета припускає пред'явлення якийсь нескінченної сукупності і про його існування вже неможливо говорити в розглянутому вище сенсі. Тим більше це неможливо, якщо мова йде про послідовності або про нескінченні множинах дійсних чисел. Названі предмети, тим не менш, дуже активно вивчаються в аналізі. У математиці прийнято два способи говорити про існування цих неконструіруемих предметів.
Перший неконструктивний спосіб інтерпретації існування пов'язаний із законом виключеного третього. На ньому базуються всі докази від протилежного. Наведемо ще один приклад. Одна з центральних теорем аналізу стверджує, що якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має межу. Доказ цього факту часто проводять, припустивши, що дана послідовність нефундаментальна (тобто не відповідає критерію Коші). З цього припущення легко виводиться, що послідовність у такому випадку і не обмежена, що суперечить умовам теореми. Далі ж на підставі закону виключеного третього затверджується фундаментальність аналізованої послідовності, а відповідно і наявність межі. Ніяких вказівок на яке-небудь конкретне число, що може бути межею послідовності, так само як і на спосіб його обчислення, немає ні у формулюванні, ні в доведенні теореми. Ми, звичайно, можемо побачити тут якусь схему, яка може бути застосована до заданої послідовності, тобто до певного одиничного предмету. Але до побудови іншого одиничного предмета (в існуванні якого і потрібно упевнитися) запропонована схема не приведе. Це предмет залишиться предметом гіпотетичним. Немає ніяких реальних критеріїв для того, щоб відрізнити його від будь-кого іншого. Брауер, про погляди якого на проблему існування ми будемо більш докладно говорити надалі, вважав, що філософським підставою для такого типу міркувань є реалізм (або "платонізм"), неправомірно перенесений на математичні об'єкти [65]. Стверджуючи, що нескінченна послідовність (яку ми не побудували і не можемо побудувати) повинна бути або фундаментальної, або нефундаментальной, ми віримо в деяке дійсне положення справ, що існує незалежно від нас у якомусь ідеальному світі. Наше судження про це положення справ може бути істинним або хибним, сама ж реальність, ніяк не пов'язана з нашими власними діями. Брауер вважав неправомірним використання закону виключеного третього тому, що на його переконання математичні об'єкти і їх відносини не є незалежна від суб'єкта реальність, про яку можна лише істинно або хибно судити, а є продукт власної діяльності суб'єкта. Можна не приймати таку точку зору, але важко, мабуть, заперечувати, що онтологічний статус предмета, певний подібним чином, залишається досить сумнівним. Ми починаємо оперувати з предметом, присутність якого безпосередньо не посвідчено. Можна сказати, що такий предмет не існує в повному розумінні, а як ніби існує. Не маючи можливості пред'явити його в нашому міркуванні, ми розмірковуємо так, як якщо б він існував (як якщо б був побудований). Встановивши існування з допомогою закону виключеного третього, часто імітують безпосереднє зазначення на цей предмет, вводячи для нього ім'я, бере участь далі у всіх міркуваннях. Інший спосіб розуміння існування у відношенні предметів математики також пов'язаний скоріше з припущенням про існування (принаймні, якщо зіставляти його з конструктивним пред'явленням індивіда). Введення цілих класів предметів здійснюється за допомогою розумового ходу, подібного тому, який був зроблений при введенні негативних чисел для обліку витрат і боргів у різних фінансових операціях або введення ірраціональних (а потім і комплексних) чисел при вирішенні алгебраїчних рівнянь. Всякий раз на міркування вводиться якийсь квазі-об'єкт, який не вказується конструктивно. Про нього лише йдеться, що він може брати участь у різних маніпуляціях з числами нарівні з числами "справжніми" (наприклад, раціональними). Для нього придумується спеціальний значок, який підставляється в формули. Причому результатом застосування до нього цих формул виявляється цілком певне, яке обчислюється число. Сам же цей квазі-об'єкт по суті виявляється ототожнений з тим значком, який підставляється замість нього у формулу.
Що ж дозволяє вважати такі квазі-об'єкти існуючими. Тут виявляється доречні та інтерпретація існування, на якій наполягав Пуанкаре: критерієм існування є свобода від протиріччя. Всі ті формули, в які підставляються введені для таких предметів значки, не повинні суперечити один одному. Більш ясним цей критерій стає при зверненні до аксіоматичної побудови математики. Паункаре писав: "Якщо ми ... маємо систему постулатів, і якщо ми можемо довести, що ці постулати не містять в собі протиріччя, то ми маємо право розглядати їх як визначення одного з тих понять, які фігурують у цій системі пропозицій" ([48 ] с.373). Ще ясніше така інтерпретація стає очевидно, якщо вдатися до більш пізньої термінології. Предмет існує, якщо він виявляється термо в несуперечливої теорії. Такий підхід до проблеми існування відразу ж ставить проблему несуперечності. Ми обговоримо це докладніше, коли будемо розбирати погляди Гільберта.
Нашої найближчим завданням буде поглиблення названих тут інтерпретацій існування. Кожна з них має досить солідну філософсько-математичну базу. Побудова такої бази вимагає виявлення ряду передумов, неявно присутніх у будь-якому математичному дискурсі. Свідоме прописування такого роду передумов (тобто робота, яку можна назвати вже чисто філософської) не раз робилося провідними математиками. До аналізу поглядів деяких з них ми зараз звернемося.
2 Концепція існування у Кантора
У роботах Георга Кантора є ряд пасажів, у яких він досить точно пояснює, що слід вважати існуючим в математиці. Звернемо увагу, перш за все, на наступний вислів.
"По-перше, ми можемо вважати цілі числа дійсними (тут, очевидно, мається на увазі" реальне "- Г.Г.) остільки, оскільки вони займають на основі визначень цілком певне місце в нашому розумі, цілком ясно відрізняються від всіх інших складових частин нашого мислення, знаходяться до них у певних відносинах і, таким чином, певним чином видозмінюють субстанцію нашого духу. " Такого роду реальність Кантор називає "інтрасуб'ектівной" або "іманентної", яку він відрізняє від реальності "транссуб'ектівное" або "транзієнтної". Остання приписується числах "остільки, оскільки їх доводиться розглядати як вираження або відображення процесів у зовнішньому світі, що протистоїть інтелекту". Зовнішній світ, що важливо, включає як "тілесну", так і "духовну природу". "Для мене - пише далі Кантор - не підлягає ніякому сумніву, що обидва ці види реальності завжди збігаються в тому сенсі, що яке-небудь поняття, яке приймається за існуюче в першому відношенні, має у відомих, навіть нескінченно багатьох відносинах транзієнтної реальністю." ([31], c.79)
Отже "транзієнтної реальність", будучи трансцендентним інтелекту зовнішнім світом, все ж абсолютно адекватно представлена певними поняттями. Ця визначеність і повинна служити свого роду критерієм існування. Оскільки основні зусилля Кантора спрямовані на обгрунтування реальності об'єктів створюваної ним теорії нескінченних множин, то мова повинна йти, головним чином про визначеність цих множин та їх елементів. Якщо нам вдасться встановити їх ясну "відмінність від всіх інших складових частин нашого мислення", то ми можемо бути впевнені, що вони абсолютно адекватно представляють предмети зовнішнього світу (причому, швидше за "духовної" ніж "тілесної" природи - оскільки мова йде про нескінченні множинах ). Тому математика "при розвитку своїх ідей повинна вважатися єдино лише з іманентною реальністю своїх понять і не зобов'язана зовсім перевіряти також їх транзієнтної реальність" (с. 79-80; курсив Кантора). Тут доречно наступне міркування, проведене Кантором дещо раніше. "Різноманіття (сукупність, безліч) елементів, що належать будь-якій сфері понять, я називаю цілком певним, якщо на основі його визначення і внаслідок логічного принципу виключеного третього стає можливим розглядати внутрішньо визначеним як те, є чи не є його елементом будь-який об'єкт з цієї сфери понять , так і те, рівні чи ні один одному два належать безлічі об'єкта, незважаючи на формальні відмінності у способах їх завдання. " ([31], c. 50-51; Курсив Кантора).
З'ясовувати належить даний предмет вказаною безлічі, а також встановлювати його тотожність з іншим предметом на підставі закону виключеного третього, можна лише припустивши у нього наявність певних властивостей. Останнє означає, що предмет розглядається як сутність, яка може виступати в якості суб'єкта судження. Такий предмет повинен бути введений в міркування за допомогою родо-видового визначення, тобто знову ж таки через вказівку його істотних властивостей. Отже Кантор схильний розглядати безліч саме як клас сутностей об'єднаних на підставі визначеної спільності ознак. Оскільки в його теорії самі безлічі можуть розглядатися як елементи інших множин, то значить і самі ці класи слід вважати сутностями. Будь-яка сутність-безліч задається за допомогою набору визначальних властивостей своїх елементів, через які встановлюються також і властивості самої цієї сутності.
Об'єкти своєї теорії Кантор вводить за допомогою відволікання загальних ознак, властивих класу подібних предметів. Саме так він визначає поняття потужності і порядкового типу. Обидві названі характеристики він розглядає як загальна властивість множин "виникає шляхом абстрагування від всіх особливостей". Зокрема Кантор пише: "Тим, що ми мислимо тільки про те, що є загальним для всіх множин, що належать одному і тому ж класу, ми отримуємо поняття потужності або валентності" ([31], c. 248; курсив Кантора). Точно також пише він і про порядкові типах: "Я розглядаю цілі числа і порядкові типи як універсалії, які відносяться до множинам і виходять з них, коли абстрагуються від властивостей елементів" (c. 269). З останнього уривка очевидно, що Кантор намагається розглядати трансфінітної числа по аналогії з кінцевими цілими числами. Останні дійсно можна розглядати як результат абстрагування від особливих властивостей кінцевих множин. Так число чотири є те спільне, що притаманне чотирьом яблукам, чотирьом ніжок стільця, чотирьох кутах квадрата і т.д. - Це вельми традиційне уявлення, що сходить від Аристотеля. Кантор ж схильний розглядати будь-яке безліч як сутність. Воно повинно вважатися існуючим, якщо кожен його елемент цілком визначений. Тоді й саме безліч цілком визначено і його суттєва ознака (тобто його порядкове число) також розглядається як цілком визначене. Кантор, мабуть, схильний субстантивовані і ці істотні ознаки. Він навіть намагається описати їх у аристотелевских категоріях матерії і форми, стверджуючи, що сукупність елементів безлічі слід розглядати як матерію порядкового числа, а порядок, який існує між цими елементами, як форму (c. 270-271). (Див. примітку 1)
3 Брауеровская інтерпретація існування
Вище ми виділили таке розуміння існування предмета в математиці, яке засноване на можливості безпосередньо вказати на цей предмет за допомогою певної завершеної процедури. Іншими словами, предмет існує тоді, коли може бути сконструйований. Твердження, що така інтерпретація існування є атрибутом інтуіціоністской школи (суттєвою ознакою, що відрізняє її від інших шкіл) давно стало загальним місцем. Виразна формула - "esse = construi" - розглядається (і, очевидно, не без підстави) як девіз всього цього напрямку. Важливо, втім, мати на увазі, що наведена фраза належить Карлу Поппера, вельми критично ставився до інтуїционізма ([46], c. 473-479). Як би точно ні характеризувало попперовской вираз інтуіціоністской розуміння існування, воно потребує серйозного поглиблення.
Конструктивність математичних об'єктів не з'являється в математиці інтуіціоністской школи як щось само собою зрозуміле. Принаймні для Брауера (про який ми і будемо говорити у подальшому) вона виявляється необхідним наслідком аналізу когнітивної діяльності людини. Структура математичного міркування (як він представляє Брауер) відбиває насамперед цю діяльність, більше того, є найбільш чистим її виразом.
Брауеровская математика (як і вся математика інтуіціоністской школи) найчастіше розглядається у контексті кризи підстав, викликаного виявленням відомих парадоксів і антиномій. Тому у вимозі конструктивності математичних об'єктів бачать, головним чином, спробу усунути з математики саму можливість протиріччя. Однак сам Брауер, очевидно, йде набагато далі цієї спроби. У цілому ряді його робіт виявляється не стільки математичний, скільки суто філософський інтерес автора. У всякому разі в тих статтях, на які ми маємо намір надалі спиратися, Брауер стурбований не обгрунтуванням коректності математичних процедур, а дослідженням когнітивної діяльності думки як такої. При цьому він має явний намір заснувати принцип існування в математиці на вихідних структурах думки. Їм робиться спроба трансцендентального аналізу, покликаного обгрунтувати основні математичні поняття як похідні від форм інтелектуальної діяльності.
Брауер представляє когнітивну активність людини у вигляді послідовності ясно відмітних один від одного сприйнять. У роботі "Про підстави математики" він писав так: "Людина спостерігає у світі послідовності подій, причинні ланцюги, розгортається в часі. Основним феноменом цього спостереження є сама інтуїція часу, в якій відбувається повторення сприйнять або дій. Ця інтуїція виявляється як послідовність моментів, розбивають життя на послідовність речей, якісно відрізняються одне від одного "([65], c. 99). Не саме по собі сприйняття визначає структуру думки. Брауер виділяє дещо, зване "елементарний акт думки", який описує як "поділ моментів життя на якісно різні частини, які, будучи розділені лише згодом, може бути знову об'єднані". (Див. примітку 2) З цього, не дуже ясного висловлювання можна зробити висновок, що акт думки не є проста дія або сприйняття, пов'язане з певним моментом часу. Елементарний акт думки полягає саме в розрізненні моментів. Іншими словами елементарний акт думки виробляє виділення деяких відмінних один від одного індивідів, причому відмінність їх визначається розділяють їх тимчасовими проміжками. Виробляється, таким чином, організація часу, в якому, як в деякій аморфної середовищі, виділяються фіксовані дискретні моменти. Це означає, що діяльність думки визначена двома основними інтуїціями: дискретна послідовність і безперервна середовище (лінійний континуум).
Природним прикладом такої розчленоване діяльності є розподіл відрізка прямій лінії при нанесенні на нього послідовності точок. Саме побудова відрізка, які відрізняються від інших відрізків, його виділення як окремого сприйняття можна вважати елементарним актом думки. Але серія інших елементарних актів, які перебували у розподілі побудованого відрізка, дозволяє розрізняти в його межах інші сприйняття, частини цього відрізка. Самі сприйняття, (Див. примітку 3) будучи обмежені якимись кордонами (кінці відрізка) можуть бути безмежно подільні. Ми вважаємо, що саме це мав на увазі Брауер, коли писав: "Можливість уявного об'єднання кількох одиниць, пов'язаних деяким проміжком, ніколи не вичерпується вставленим нових одиниць" ([55], c. 245). У результаті процедури розподілу відрізка ми структуруємо раніше нерозчленованим єдність і створюємо певну дискретну послідовність у межах безперервної середовища. Таким чином ми все більше визначаємо цю саму середу, встановлюючи відносини її частин.
Дві основні інтуїції думки знаходяться, отже, в стані постійного взаємного визначення та доповнення. Дискретна послідовність моментів структурує аморфну середу, щось постійно недовизначеність, яке залишається між названими моментами. (Див. примітку 4) Наведений нами геометричний приклад є парадигмальним для опису будь-якої когнітивної діяльності. Остання, як видно, полягає в розрізненні моментів сприйнять в безперервній часовому середовищі і розчленування і уточнення самих сприйняттів.
Математика представляє собою найбільш чисте і, мабуть, найбільш розгорнуте вираження такої діяльності. Френкель і Бар-Хіллел наводять наступне висловлювання Брауера: "Початкова інтуїція математики і будь-якої інтелектуальної діяльності являє собою основу всіх спостережень за якими-б то не було змінами, оскільки при цих змінах ігноруються всі якісні властивості" ([55], c. 240; курсив наш - Г.Г.).
Відволікання від усякого чуттєвого змісту дискретної послідовності различающих актів думки і створює уявлення цілого числа, точніше, послідовності цілих чисел, рахунки. При цьому континуум, який Брауер також називає основною інтуїцією, виявляється як би в підлеглому положенні. Він повинен бути визначений у ході розгортання дискретної (числовий) послідовності.
Числова послідовність виявляється для Брауера основним математичним об'єктом. Конструювання, яке, згідно з зауваженням Поппера, є єдиним онтологічно значущим для математики процесом, слід розглядати саме як конструювання числових послідовностей. Втім, таке конструювання часто є не самоціллю, а скоріше способом визначення безперервного протяжного предмета. Останній, звичайно, не є реальність, дана до всякого побудови. Він - середовище, а не річ. Існує те, що відбувається в цьому середовищі, точніше, що створюється суб'єктом, що діє в межах, заданих цим середовищем. Створюється ж їм дискретна числова послідовність. Основоположним відношенням для будь-якій послідовності є відношення "до-після '(відношення порядку). Це відображає провідну роль інтуїції часу в математиці. Структура відмінності, що вноситься суб'єктом у середу, є тимчасовою структурою. Основним розрізненням, що існують між створюваними елементами, є розрізнення в часі. Визначеність предмета виникає, однак ще за однієї умови, що і робить, на наш погляд, остаточно ясною роль конструктивності. Необхідно взяти до уваги ще одну важливу характеристику когнітивної діяльності, на яку вказує Брауер. "Людське поведінка включає спробу утримувати достатньо довгий ланцюг 'речей' з тим, щоб мати можливість перейти подумки від останньої до більш ранньої. Результатом такої дії є виявлення правила, закону, що формує послідовність" ([65], с. 99).
Коль скоро когнітивна діяльність має на увазі утримання в думці деякої єдності, чогось цілого, явленого в послідовних сприйняттях (або діях), то математика повинна, висловлюючи цю здатність, конструювати єдиний предмет з багатьох елементів послідовності. "Людське розуміння грунтується на конструюванні звичайних математичних систем так, що кожен індивідуальний елемент життя пов'язаний з відповідним елементом системи" (Там же). Конструкція, таким чином, виявляється необхідна тому, що створює єдність багатьох конструктивних елементів (розрізнених елементів чи сприйняття). Конструювання, отже, лежить в основі людського розуміння будь-якого предмета взагалі. Завдяки створеної конструкції, предмет постає людині як існуючий. Особливо це важливо якщо мова йде про видовженому предметі, представлення якого пов'язане з дленіе, з безперервно триваючим сприйняттям. Сенс конструювання тоді полягає у створенні цілісної структури помітних елементів в текучій і невизначеною середовищі.
Брауером, отже, була реалізована трансцендентальна установка, причому в тому вигляді, в якому вона прописана у Канта. До онтологічної проблематики він підходить з боку аналізу міркування і з'ясовує як має бути влаштований предмет, щоб фігурувати в міркуванні в якості існуючого. Більш того, Брауер з'ясовує, що предмет повинен бути для цього створено внаслідок конструктивної діяльності, що розгортається в часі. Така конструктивна діяльність зводиться до створення єдиної структури - саме так зрозумілий математичний об'єкт може розглядатися як існуючий. Єдина структура, з іншого боку, розгортається відповідно до закону, правилу, що встановлюється для ряду "речей" або сприйнять. Мабуть важко інтерпретувати це правило інакше, як дія здатності судження, як встановлення узагальнюючої гіпотези для сукупності встановлених раніше фактів.
4 Інтерпретація існування у філософії математики Гільберта
Розуміння існування математичного предмета в рамках формального напрямку в математиці видається, на перший погляд, абсолютно протилежним інтуіціоністской. У книзі Френкеля і Бар-Хіллела ([55], c. 322), стверджується, що Гільберт швидше за все солідаризувався б у цьому питанні з Пуанкаре, ототожнюючи існування зі свободою від протиріччя. Наступний пасаж з роботи Гільберта "Про поняття числа" уточнює і підтверджує цю точку зору.
"У доказі несуперечності встановлених аксіом я вбачаю разом з тим і доказ існування сукупності дійсних чисел або - вживаючи вислів Кантора - доказ того, що система дійсних чисел є 'консистентним' (готовим) безліччю ..." І далі: "... під безліччю дійсних чисел ми повинні, згідно з цією точкою зору, розуміти не сукупність різноманітних законів, яким будуть слідувати елементи фундаментальних послідовностей, а швидше - як це було викладено вище - систему речей, взаємини яких задаються за допомогою раніше вказаної кінцевої і замкнутої системи аксіом. " ([15], c. 320).
Звернемо, перш за все, увагу на серйозність розбіжності Гільберта з Брауером. Він (Гільберт) цілком недвозначно говорить про безліч дійсних чисел, як про вже наявне об'єкті. Таке припущення абсолютно неможливо для Брауера, оскільки безліч дійсних чисел, зрозуміле до того ж як сукупність "речей", начисто виключається будь-якої інтуїцією і не може бути сконструйоване. Ми очевидно маємо справу з принципово іншої філософської установкою, що виражається, зокрема, у спробі інакше (чому базуючись на понятті конструктивності) визначити онтологічний статус предмета.
З іншого боку, однак, не потрібно глибокого проникнення в суть формальної математики, щоб побачити безліч рис, які зближують її з інтуіціоністской. Перш за все, звертає на себе увагу слово "фінітної", використане самим Гільбертом в якості основної характеристики свого методу міркування. Сам цей термін, явно вказує на завершеність здійснюваних процедур (тобто, по суті, на конструктивність), міг би бути застосований і до інтуіціоністской математики. Якщо ж говорити про спроби визначення фінітного, предпринимавшихся саме в рамках гильбертовськой школи, то вони часом викликають повне відчуття того, що мова йде про основні посилках інтуїционізма. Френкель і Бар-Хіллел, наприклад, в якості остаточної формули фінітного методу міркування приводять таку цитату з Ж. Ербрана (відомого математика - учня Гільберта): "Завжди розглядається лише кінцеве і певне число предметів і функцій, функції ці точно визначені, причому визначення дозволяє провести однозначне обчислення їх значень; ніколи не стверджується існування будь-якого об'єкта без вказівки способу побудови цього об'єкта; ніколи не розглядається (як цілком певне) безліч всіх предметів X будь-якої нескінченної сукупності "([55], c.321). Напевно будь-який представник інтуіціоністской або конструктивного напряму упізнав б у наведеному уривку опис свого власного методу міркування. Мова проте йде про основні принципи формального методу. Зауважимо, до речі, що наведене визначення явно суперечить цитованому вище міркування Гільберта про існування безлічі всіх дійсних чисел. Остання ніяк не є об'єктом, для якого можна вказати спосіб побудови, проте Гільберт вважає його існуючим. Пояснюється таке протиріччя лише тим, що наведене тут опис належить не Гільберт, а математику, який міг у чомусь розходиться зі своїм учителем? Чи слова Ербрана про існування потрібно розуміти трохи інакше, ніж ті ж самі слова, написані інтуіціоністи?
У книзі Гільберта і Бернайса [18] також є опис фінітного методу міркування. Важливим уточненням по відношенню до визначення Ербрана є, перш за все, вказівка на наочність фінітного об'єкта. Кращим прикладом, який ілюструє цю наочність, є міркування, що проводиться у формальній алгебри ([18], c. 56-58). Маючи запас літер (змінних) і спеціальних знаків, ми, діючи в рамках цієї дисципліни, конструюємо об'єкти (поліноми), керуючись заздалегідь заданими правилами. Починаючи з найпростіших об'єктів, що складаються з однієї літери, ми можемо побудувати безліч різноманітних і досить складних об'єктів. У рамках, обумовлених правилами процедур, можуть доводитися різні твердження і встановлюватися властивості конструйованих об'єктів. Але яким би не було проведене міркування, його справедливість може бути перевірена наочно, оскільки воно завжди безпосередньо представлено перед очима. Дізнатися що-небудь про предмет означає побудувати його, будь-який предмет алгебри виникає під руками дослідника і процедура його виникнення повністю доступна спостереженню. Фінітної міркування характеризується в [18] як "пряме змістовне міркування, що відбувається у вигляді уявних експериментів над наочно уявленим об'єктами." (С. 59).
Якщо б, займаючись математикою, ми могли б постійно залишатися в рамках фінітного міркування, то природно було б розуміти існування математичного об'єкта в сенсі його конструктивності. Проте предмети математики дуже часто не є фінітними об'єктами. У [18] наводиться цілий ряд прикладів того, як у математиці виникають предмети, які неможливо сконструювати і які не можуть бути представлені наочно. Вже арифметика вимагає використання нефінітних міркувань, вдаючись до "tertium non datur" для обгрунтування висловлювань про цілих числах. Число, про властивості якого ми судимо на підставі закону виключеного третього, не представлено наочно, і може не бути доступно конструювання за допомогою кінцевої процедури (с. 62-64).
Математичний аналіз, у його класичному викладі, практично повністю заснований на міркуваннях про нефінітних предметах. Нефінітним є дійсне число (про що ми говорили вище), яке визначається через нескінченну сукупність цілих чисел (с. 64-67). Але аналіз не обмежується розглядом нескінченної сукупності цілих чисел - він звертається до предметів "ще більш нефінітним" (якщо можна так висловитися), розглядаючи нескінченні сукупності дійсних чисел як актуально даних предметів. Міркування, що використовуються при цьому, ніяк не можуть апелювати до наочності. Природно, що звернення до конструктивності, як критерію існування, виявляється безглуздим для математичного аналізу. Кажучи точніше, цей критерій змушує вважати названі (нефінітние) предмети свого роду химерами, дивними вигадками математиків, які просто не існують.
Такий жорсткий висновок і був, власне, зроблений інтуіціоністской школою, реалізація програми якої полягала в значному урізуванні всієї математики. Намір Гільберта було прямо протилежним: обгрунтувати коректність тих частин математики, для яких істотно звернення до принципово нефінітним предметів. Мабуть це і зумовило його звернення до тієї інтерпретації існування, яка була свого часу запропонована Пуанкаре. Розроблений Гільбертом аксіоматичний підхід дозволяв досить ясно сформулювати, що означає свобода від протиріччя як критерію існування (див. вище - про існування сукупності дійсних чисел). Доказ існування, таким чином перетворювалося на доказ несуперечності системи аксіом. Те, як Гільберт припускав доводити несуперечність, надає поняттю фінітного абсолютно новий сенс.
Суть стратегії Гільберта зводилася до того, щоб, формалізувати основні методи міркування в математиці, встановити їх несуперечність шляхом аналізу самого міркування (См, напр, [11], [12], [14], [18], [50], [55 ], [62]). Об'єктом вивчення стали не математичні предмети, а міркування про ці предмети. Але міркування в математиці, як і всяке людське міркування взагалі, навіть будучи звернена до нескінченного предмету, саме залишається кінцевим. Тому наука, що вивчає міркування, названа Гільбертом метаматематики, за визначенням має справу тільки з фінітним об'єктом. Сама математика може скільки завгодно оперувати з нескінченністю. Але це її оперування буде завжди виражено у вигляді кінцевого тексту, записаного за певними правилами. Вимога наочності виявляється тут особливо важливим. Ми можемо бути впевнені в вироблених нами математичних міркуваннях, якщо доведена їх несуперечність. Доказ же несуперечності, вироблене на метарівні, може і повинно бути наочним, безпосередньо очевидним. Об'єкт, конструюються в ході метарассужденія, виникає в нас на очах і його властивості (зокрема, властивість несуперечності) виявляється наочно уявленим і безпосередньо перевіряється. Тут особливу роль відіграє знакова природа математичного міркування. У ньому будь-(у тому числі і нескінченний) предмет представлений знаком, кінцевим, більше того, чуттєвим, доступним безпосереднього сприйняття об'єктом. Ця обставина спеціально підкреслювалося Гільбертом: "Дещо вже дано в нашому поданні для застосування логічних висновків і для виконання логічних операцій: об'єкти, які є в спогляданні до будь-якого мислення в якості конкретних переживань. Для того, щоб логічні висновки були надійні, ці об'єкти повинні бути доступні для огляду повністю, у всіх частинах; їх свідчення, їх відмінності, їхнє проходження, розташування одного з них поряд з іншим дається безпосередньо, наочно, одночасно з іншими об'єктами, як щось таке, що не може бути зведене до чого-небудь іншому і не потребує такого зведенні ... " І далі: "У математиці предметом нашого розгляду є конкретні знаки самі по собі, зовнішність яких, згідно нашій установці, безпосередньо ясний і може бути згодом пізнаний" ([15], c. 351).
Таким чином, по відношенню до метаоб'екту Гільберт висуває вимоги, мабуть, більш жорсткі, ніж Брауер по відношенню до всіх об'єктів математики. Останній не наполягає на "наочності". Гільберт і Бернайс характеризують установки інтуїционізма як "розширення" фінітної установки ([18], c. 71). При цьому важливо, що в кінцевому рахунку гильбертовськой математика також грунтується на певних базових інтуїціях. Френкель і Бар-Хіллел вказують, що такими інтуїціями для Гільберта є первинні уявлення про тотожність і відмінність, а саме про самототожності знака, який повинен бути розпізнаний як один і той же при різних входження у формули і при цьому відмінність від будь-якого іншого знака. Дійсно, будь-яке конструювання об'єкта, якщо воно зводиться до комбінувань деяких елементарних конфігурацій, має на увазі, перш за все, здатність бачити відмінності між різними конфігураціями і впевнено впізнавати одну і ту ж у різних обставинах. Тут однак доречні наступні два зауваження. По-перше, названі елементарні конфігурації, строго кажучи, не є вже знаками. Точніше, вони можуть бути названі знаками в силу їх походження, оскільки саме в якості знака виступали для математичного міркування. У ньому вони дійсно позначають щось інше - математичний об'єкт, про який ведеться міркування. Але як тільки саме математичне міркування перетворюється на об'єкт, тобто стає предметом метаматематіческого міркування, ці знаки вже нічого не означають. Вони виступають лише як первинні структурні елементи, з яких складається, як з деталей конструктора, досліджуване математичне міркування.
По-друге, самі ці знаки (або псевдо-знаки) очевидно виявляються об'єктами. Вони конструюються як деякі графічні конфігурації і в якості таких вже самі є предметами міркування. Тут необхідно повернутися до питання про тотожність і відмінність, які у Френкеля і Бар-Хіллела названі первинними інтуїціями формальної математики. Такий підхід до інтерпретації елементарних об'єктів метаматематіческого міркування був підданий критиці, наприклад, в [57], де проблема тотожності і відмінності розглянута як суто логічна і не потребує посиланнях на інтуїцію. Ми вважаємо за краще підійти до цього питання інакше. Розрізнення знаків передбачає можливість винесення певного судження про тотожність або відмінність тих чи інших елементарних графічних конструкцій. Знак або комбінація знаків стає суб'єктом метаматематіческого судження, тоді як тотожність або відмінність виступає його предикатом. Причому цей предикат приєднується в судженні до суб'єкта залежно від того, як саме побудована (накреслена) дана конфігурація. Наприклад, судження про те, що графічні конфігурації 'n' і 'n', що знаходяться в двох різних позиціях формули xn = 2n, тотожні, засноване на тому, що обидва знака побудовані по одній і тій же графічній схемі. Таким чином, питання про тотожність або відмінність конструктивних елементів математичного міркування вирішується за допомогою судження, яке, втім, знаходиться в жорсткій кореляції з процедурою побудови наочно представимо, зримого предмета. Той факт, що ототожнюючи або розрізняючи знаки, ми як правило не робимо ніяких суджень, не змінює ситуацію в принципі. Можливість такого судження завжди присутній. Акт розрізнення або ототожнення знаків не є деяким первинним, нерозкладним актом. Він дійсно виражається на логічному рівні. Первинною інтуїцією є тут простір, оскільки саме в якості певної просторової конфігурації всякий знак може бути пізнаний і відмінний від іншого.
Схоже розгляд можна провести і щодо математичного міркування (виведення, докази), оскільки воно є об'єктом метаматематики. Міркування, будучи конструкцією, що з'являється в результаті комбінування знаків, являє собою чуттєво сприйманий об'єкт. Він постає у вигляді певної просторової конфігурації, яка визначається як способом поєднання складових його знаків, так і способом накреслення самих цих знаків. Як чуттєво сприйманий об'єкт міркування виступає в якості суб'єкта метаматематіческого судження. Завданням метаматематики виявляється встановлення ряду предикатів (наприклад, предиката несуперечності) для названого суб'єкта. Але такого роду предіцірованіе є не що інше як вираження певних просторових властивостей споглядаємо (точніше створюваного на папері або на дошці) об'єкта. (Див. примітку 5) Міркування або система аксіом виявляє себе як несуперечливе (володіє предикатом несуперечності) в ході його просторового (строго кажучи, просторово-часового) конструювання. Судження про несуперечність виявляється таким чином апріорним і синтетичним, у самому суворому кантівському сенсі. Гильбертовськой метаматематики містить у собі всі встановлені Кантом елементи знання: даний у спогляданні об'єкт, що є у просторі та часі, синтетичне судження про цей об'єкт і, нарешті, синтез продуктивної здатності уяви, в результаті якого цей об'єкт конструюється.
Таким чином дві конкуруючі математичні школи мають один і той же філософський корінь. Можна сказати, що кожна з них зробила більший акцент на одній з двох виділених Кантом інтуїцій. Якщо Брауер, як ми бачили, вважав вихідної інтуїцію часу, явно стверджуючи вторинність і производность простору, то Гільберт, взагалі нічого не кажучи про час, явно розглядав простір і просторове конструювання як основу математики. Очевидна кантіанської родовід двох впливових математичних традицій безсумнівно вимагає більш уважного аналізу кантівського тексту. Саме до розгляду проблеми існування в математики з позицій філософії Канта ми перейдемо в наступному розділі.
Примітки
1. Хоча Кантор і намагається вибудувати ієрархію математичних понять, подібну родо-видовий ієрархії, і розглянути всі побудовані так об'єкти як якісь субстантивовані універсалії, пропонована їм процедура виділення загальних властивостей має мало спільного з тим абстрагуванням, яке описує, наприклад, Боецій (див. Вступ) . Як потужність, так і порядковий тип нескінченної кількості неможливо визначити як його власну властивість. Воно не володіє цією властивістю як субстанція своїм атрибутом. Потужність нескінченної кількості визначається як властивість відносини множин. Сутності можна приписувати ознака, розглядаючи її саму по собі, незалежно від інших сутностей. Потужність множини (так само як його порядковий тип) встановлюється тільки для класу множин. Тому підвести канторівскої уявлення про існування під арістотелівський вчення про сутність неможливо без серйозних натяжок, хоча сам Кантор, мабуть, хотів саме цього.
2. Цитата наводиться за книгою [55], с. 245.
3. У різних місцях Брауер говорить про якісно помітних частинах або помітних речах. У будь-якому випадку мова йде про дискретної послідовності подій, які характеризують когнітивну діяльність. Ряд лежать на прямий (послідовно, один за одним) відрізків є природною математичної моделлю такої діяльності.
4. Математичне розвиток цих ідей міститься в брауеровской теорії континууму як середовища становлення для вільно стають послідовностей. Дискретні послідовності точок, які обирають з-поміж по деякому закону або згідно вільному вибору, розбивають континуум на все більш дрібні частини, встановлюючи певну структуру відносин між цими частинами. Докладно про це див [34].
5. Близький підхід до математики розробляється в [60] під назвою "пангеометрізм".