Відношення ортогональності для характерів

Спочатку, введемо позначення. Нехай і – дві функції з групи на поле комплексних чисел. Покладемо:

(30)

де – порядок групи . Визначений таким чином добуток задовольняє всім аксіомам скалярного добутку: він полілінійний по , та лінійний по , та > 0 для кожної функції Такий добуток називається скалярним добутком функції, визначених на групі.

Теорема 3. (1) Нехай – характер деякого незвідного зображення. Тоді (інакше кажучи має “довжину 1”).

(2) Нехай і – характери неізоморфних незвідних зображень, тоді (інакше кажучи та ортогональні).

Д о в е д е н н я. Нехай – незвідне зображення з характером , і нехай – його степінь, тоді

(31)

(за твердженням 1). Якщо ж зображення задано в матричній формі , то , звідки

(32)

Використовуючи наслідок 3 тверження 3, бачимо, що дорівнює 0 при і дорівнює при . Але так як індекс приймає значень, то ми отримуємо звідси, що .

Теорема 4. Нехай –- лінійне зображення групи з характером ; припустимо, що розкладається в пряму суму незвідних зображень,

.

(33)

Тоді, якщо ­– деяке незвідне зображення з характером , то число ізоморфних зображенню , дорівнює скалярному добутку .

Д о в е д е н н я. Нехай – характер зображення . Тоді на основі твердження 2 ми маємо:

.

(34)

Звідки = . Але за попередньою теоремою дорівнює 1 або 0 в залежності від того, чи ізоморфне зображення зображенню , чи ні. Що і доводить теорему.

Наслідок 1. Число зображень , ізоморфних даному зображенню , не залежить від вибору розкладу.

(Це число називається кратністю входження в зображення .)

Д о в е д е н н я. Дійсно, скалярний добуток не залежить від вибраного розкладу.

Згідно з попередніми результатами вивчення зображень ототожнюється з вивченням їх характерів. Нехай ­ – усі різні характери незвідних зображень групи і ­ - відповідні незвідні зображення, тоді кожне зображення ізоморфно прямій сумі вигляду:

,

(33)

де ­– цілі числа. В такому випадку характер зображення дорівнює сумі і . (Зокрема такі зображення можна застосувати до тензорного добутку двох незвідних зображень та і показати що добуток розкладається, як

(34)

де всі – цілі числа, та усі

Із відношення ортогональності між випливає, що

(34)

Теорема 5. Якщо характер деякого зображення , то є цілим числом і = 1 тоді і тільки тоді, коли ­– незвідна.

Справді, – ціле число, що дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли одне з дорівнює 1, а всі інші 0, тобто ізоморфно одному з .

4. ВИСНОВОК

5. Список використаної літератури

1. 
   Винберг Э.Б. Линейные представления групп. Наука, 1985.
   
2. 
   Дрозд Ю.А., Кириченко В.В. Конечномерные алгебры. Вища школа, 1980.
   
3. 
   Наймарк М.А. Теория представлений групп. М., Наука, 1976.
   
4. 
   Ж.-П. Серр. Линейные представления конечных групп. Мир, 1970.
   
5. 
   Холл М. Теория групп. М., изд-во иностр. л-ры, 1962. − 468 с.