1 2 3 4 5 6 7 Ім'я файлу: КУРСОВА РОБОТА.docx Розширення: docx Розмір: 73кб. Дата: 30.05.2021 скачати Пов'язані файли: Оператори проектування.doc Перші твердження Леми ШуриТвердження 3. Нехай − незвідні зображення групи G, і нехай − таке лінійне відображення простору у просторі , що = для кожного . Тоді якщо і не ізоморфні, то ; якщо то є гомотетією (тобно множенням на деяке число). Д о в е д е н н я. Випадок тривіальний. Будемо припускати, отже, що і нехай – ядро (тобто множина таких елементів Якщо то )= звідки і підпростір інваріантний відносно . Але так як зображення незвідне, то або збігається з усім простором , або дорівнює нулю. Перший випадок виключається (він відповідає ). Отже, . Так само доводиться, що образ відображення (тобто множина елементів де збігається з усім простором Звідси слідує, що є ізоморфізмом простору на простір , що доводить твердження (1). Припустимо тепер, що , і нехай – деяке власне значення відображення . Принаймні одне таке існує, оскільки поле скалярів є полем комплексних чисел. Покладемо = . Так як – власне значення відображення , то ядро відображення відмінно від нуля. З іншого боку, = Перша частина доведення показує тоді, що це можливо тільки у тому випадку, коли =0, тобто , що і треба було довести. Збережемо припущення, що і незвідні, і позначимо через порядок групи . Наслідок 1. Нехай – деяке лінійне відображення простору у простір . Покладемо
Тоді, (1) якщо і не ізоморфні, то (2) якщо то є гомотетією з множником де Д о в е д е н н я. Маємо = . Справді,
Застосовуючи припущення 3 до , ми бачимо, що у випадку (1) = , а у випадку (2) збігається з множенням на скаляр . Більш того, в останньому випадку ми маємо
і так як ( =n , то . Наслідок доведено. Випишемо явно результат наслідку 1, припускаючи, що зображення і задані в матричній формі
Нехай лінійне відображення задається матрицею і матрицею ). Тоді за визначенням
Права сторона цієї рівності є лінійною формою відносно У випадку (1) ця форма перетворюється в нуль при кожній системі значень . Отже, всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. Звідси отримуємо Наслідок 2. У випадку (1) має місце рівність
Аналогічно в випадку (2) ми отримаємо , тобто , (де – символ Кронекера) із або, що еквівалентно . Звідки і випливає рівність:
Прирівнявши коефіцієнти при , ми отримуємо наступне наслідок: Наслідок 3. В випадку (2) має місце рівність:
З а у в а ж е н н н я. Припустимо, що матриці – унітарні (чого можна завжди добитися, підбором правильного базису , за пр. 2.3) Тоді і наслідки 2 та 3 утворюють відношення ортогональності (відносно скалярного добутку, котрий буде означений в наступному пункті). |