1   2   3   4   5   6   7
Ім'я файлу: КУРСОВА РОБОТА.docx
Розширення: docx
Розмір: 73кб.
Дата: 30.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
Оператори проектування.doc

Перші твердження Леми Шури


Твердження 3. Нехай − незвідні зображення групи G, і нехай − таке лінійне відображення простору у просторі , що = для кожного . Тоді

  1. якщо і не ізоморфні, то ;

  2. якщо то є гомотетією (тобно множенням на деяке число).

Д о в е д е н н я. Випадок тривіальний. Будемо припускати, отже, що і нехай – ядро (тобто множина таких елементів Якщо то )= звідки і підпростір інваріантний відносно . Але так як зображення незвідне, то або збігається з усім простором , або дорівнює нулю. Перший випадок виключається (він відповідає ). Отже, . Так само доводиться, що образ відображення (тобто множина елементів де збігається з усім простором Звідси слідує, що є ізоморфізмом простору на простір , що доводить твердження (1).

Припустимо тепер, що , і нехай – деяке власне значення відображення . Принаймні одне таке існує, оскільки поле скалярів є полем комплексних чисел. Покладемо = . Так як – власне значення відображення , то ядро відображення відмінно від нуля. З іншого боку, = Перша частина доведення показує тоді, що це можливо тільки у тому випадку, коли =0, тобто , що і треба було довести.
Збережемо припущення, що і незвідні, і позначимо через порядок групи .


Наслідок 1. Нехай – деяке лінійне відображення простору у простір . Покладемо



(22)

Тоді,
(1) якщо і не ізоморфні, то
(2) якщо то є гомотетією з множником де


Д о в е д е н н я. Маємо = . Справді,



(23)

Застосовуючи припущення 3 до , ми бачимо, що у випадку (1) = , а у випадку (2) збігається з множенням на скаляр . Більш того, в останньому випадку ми маємо



(24)

і так як ( =n , то . Наслідок доведено.

Випишемо явно результат наслідку 1, припускаючи, що зображення і задані в матричній формі



(25)

Нехай лінійне відображення задається матрицею і матрицею ). Тоді за визначенням



(26)

Права сторона цієї рівності є лінійною формою відносно

У випадку (1) ця форма перетворюється в нуль при кожній системі значень . Отже, всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. Звідси отримуємо

Наслідок 2. У випадку (1) має місце рівність

для всіх

(27)

Аналогічно в випадку (2) ми отримаємо , тобто , (де символ Кронекера) із або, що еквівалентно . Звідки і випливає рівність:



(28)

Прирівнявши коефіцієнти при , ми отримуємо наступне наслідок:

Наслідок 3. В випадку (2) має місце рівність:



(29)

З а у в а ж е н н н я. Припустимо, що матриці – унітарні (чого можна завжди добитися, підбором правильного базису , за пр. 2.3)

Тоді і наслідки 2 та 3 утворюють відношення ортогональності (відносно скалярного добутку, котрий буде означений в наступному пункті).

    1. 1   2   3   4   5   6   7

      скачати

© Усі права захищені
написати до нас