1 2 3 4 5 6 7 Ім'я файлу: КУРСОВА РОБОТА.docx Розширення: docx Розмір: 73кб. Дата: 30.05.2021 скачати Пов'язані файли: Оператори проектування.doc ТЕОРІЯ ХАРАКТЕРІВХарактер зображенняНехай – векторний простір з базисом із елементів і – деяке відображення простору в себе з матрицею . Слідом відображення називається скаляр:
Відомо що слід дорівнює сумі власних значень відображення (з урахуванням їх кратностей і не залежить від вибору базису . Нехай тепер – деяке лінійне зображення скінченної групи в векторному просторі . Для кожного елементу покладемо:
Звідки ми отримуємо, таким чином, функції на групі з комплексними значеннями котра називається характером зображення . Важливість цієї функції визначається тим, що вона характеризує зображення, що розглядається. Твердження 1. Нехай – характер деякого зображення степені , тоді ; для будь-якого ; , для будь-яких . Де – комплексне спряжене до . Д о в е д е н н я. Так як простір , має розмірність , то і , звідки слідує твердження (1). Для доведення твердження (2) помітимо, що кожний елемент має скінченний порядок, відповідно, ця властивість є характерною і для всіх його власних значень і, зрозуміло, що вони по абсолютній величенні дорівнюють 1 (це слідує зокрема і з того, що можуть бути зображенні в вигляді унітарних матриць, що було розглянуто в пункті 3 попереднього розділу). Маємо,
Формулу , можна переписати в вигляді , припустивши, що В такому вигляді вона є наслідком відомої формули:
що є дійсною для довільних лінійних відображень і простору в себе. Доведення закінчено. З а у в а ж е н н н я. Функція на групі, що задовольняє рівності – називається центральною функцією. Пізніше ми розглянемо властивість, за якою будь-яка центральна функція є лінійною комбінацією характерів. Твердження 2. Нехай : , : − лінійні зображення групи і , − їхні характери. Тоді Характер прямої суми зображень дорівнює Характер тензорного добутку зображень дорівнює Д о в е д е н н я. Уявимо і в матричній формі і . Тоді зображення в матричній формі має вигляд: Звідки , тобто Аналогічно доводиться і твердження (2). В позначення п. 2.5 маємо
що і треба було довести. |