ТЕОРІЯ ХАРАКТЕРІВ

2. 
   
   
3. 
   
   

   1. Характер зображення

.

(16)

.

(17)

Звідки ми отримуємо, таким чином, функції на групі з комплексними значеннями котра називається характером зображення . Важливість цієї функції визначається тим, що вона характеризує зображення, що розглядається.

Твердження 1. Нехай – характер деякого зображення степені , тоді

1. 
   ;
   
2. 
   для будь-якого ;
   
3. 
   , для будь-яких .
   

• 
  Де – комплексне спряжене до .
  

Д о в е д е н н я. Так як простір , має розмірність , то і , звідки слідує твердження (1).

Для доведення твердження (2) помітимо, що кожний елемент має скінченний порядок, відповідно, ця властивість є характерною і для всіх його власних значень і, зрозуміло, що вони по абсолютній величенні дорівнюють 1 (це слідує зокрема і з того, що можуть бути зображенні в вигляді унітарних матриць, що було розглянуто в пункті 3 попереднього розділу). Маємо,

.

(18)

Формулу , можна переписати в вигляді , припустивши, що В такому вигляді вона є наслідком відомої формули:

,

(19)

що є дійсною для довільних лінійних відображень і простору в себе. Доведення закінчено.

З а у в а ж е н н н я. Функція на групі, що задовольняє рівності ­– називається центральною функцією. Пізніше ми розглянемо властивість, за якою будь-яка центральна функція є лінійною комбінацією характерів.

Твердження 2. Нехай : , : − лінійні зображення групи і , − їхні характери. Тоді

1. 
   Характер прямої суми зображень дорівнює
   
2. 
   Характер тензорного добутку зображень дорівнює
   

Д о в е д е н н я. Уявимо і в матричній формі і . Тоді зображення в матричній формі має вигляд:

Звідки , тобто

(20)

(21)

6. 
   1   2   3   4   5   6   7
   
   скачати