1   2   3   4   5   6   7
Ім'я файлу: КУРСОВА РОБОТА.docx
Розширення: docx
Розмір: 73кб.
Дата: 30.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
Оператори проектування.doc

Незвідні зображення


Нехай − деяке лінійне зображення групи . Зображення називається незвідним, якщо простір відмінний від нуля і не має -інваріантних підпросторів, окрім 0 і , зрозуміло. В силу теореми 1 це еквівалентно твердженню, що не розкладається в пряму суму двох зображень( окрім тривіального розкладання . Очевидно, кожне зображення степеня 1 незвідне. В подальшому ми покажемо, що кожна некомутативна група володіє принаймні одним незвідним зображенням степеня . З незвідних зображень за допомогою прямих сум можна утворити будь-яке інше зображення. Інакше кажучи, має місце

Теорема 2. Кожне зображення є прямою сумою незвідних зображень.

Д о в е д е н н я. Нехай мимовільне лінійне зображення групи G. Скористаємося індукцією по розмірності . Якщо , то твердження теореми тривіальне( так як 0 є пряма сума порожньої множини незвідних зображень). Припустимо, отже, що Якщо зображення незвідне, то нічого доводити. В іншому випадку за теоремою 1 ми можемо розкласти у пряму суму , де і . Тоді за індуктивним припущенням і є прямими сумами незвідних зображень, отже теж саме вірно і для . Теорема доведена.

З а у в а ж е н н я. Нехай − деяке зображення і його розклад у пряму суму незвідних зображень. Виникає питання: чи однозначне це розкладання? Легко впевнитися, що у випадку, коли всі рівні 1, цей розклад, не однозначний (у цьому випадку всі простори будуть одновимірними і простір можна розкласти, звісно, різними способами у пряму суму одновимірний підпросторів). Проте у п. 2.4 ми покажемо, що число зображень , ізоморфних даному незвіданому зображенню , не залежить від вибору розкладу.
    1. Тензорний добуток двох зображень


Поряд з операцією прямої суми (яка володіє формальними властивостями складання) для зображень можна визначити і «множення» − тензорний добуток, іноді зване добутком Кронекера. Воно визначається наступним чином.
Перш за все нагадаємо, що тензорним добутком двох векторних просторів і називається такий векторний простір , для якого існує відображення прямого добутку яке задовольняє дві наступні вимоги:


  1. відображення лінійно по кожному з змінних

  2. якщо ) – деякий базис простору , а деякий базис простору , то сімейство добутків є базисом простору .

Легко побачити, що такий простір існує і єдине (з точністю до ізоморфізму); воно позначається через . З вимоги (2) слідує, що




(11)

Нехай тепер і − два лінійні зображення групи . Зіставимо кожному елементу елемент групи яке задовольняє умову



(12)








для кожного і

Існування і єдність елементу легко слідує з умов (1) і (2). Ми будемо писати у цьому випадку




(13)


Зрозуміло, що визначає деяке лінійне зображення групи у просторі , яке і називається тензорним добутком заданий зображень і

Переформулювання цього визначення в матричній формі очевидне: нехай − деякий базис простору і – матриці лінійних перетворювань у цьому базисі, аналогічний сенс мають позначення і для простору Тоді з формул



(14)









ми отримуємо




(15)


Отже, матриця лінійного перетворення має вигляд в якому ми дізнаємося тензорний добуок матриць двох автоморфізмів і .
Тензорний добуток двох незвідних зображень не є, взагалі кажучи, незвідним. Він розкладається в пряму суму незвідних зображень, які можуть бути визначені за допомогою теорії характерів(див.п.2.3).


З а у в а ж е н н н я. На практиці тензорний добуток може з’являтися наступним чином: якщо і – векторні простори функцій, інваріантні відносно групи , з базисами і відповідно, то в якості виступає простір, породжений добутком , в припущенні, що всі ці добутки лінійно незалежні. Ця остання умова істотна. Вкажемо два випадки, де вона автоматично виконана:

  1. Функції залежать від змінних , , . . .), а функції – від змінних , що не залежать від перших.

  2. Простір (або породжене однією функцією , не оборотною тотожно в нуль, ні у якій області простору; простір у цьому випадку має розмірність 1.



  1. 1   2   3   4   5   6   7

    скачати

© Усі права захищені
написати до нас