1   2   3   4   5   6   7
Ім'я файлу: КУРСОВА РОБОТА.docx
Розширення: docx
Розмір: 73кб.
Дата: 30.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
Оператори проектування.doc

Підзображення


Нехай − деяке лінійне зображення – векторний підпростір простору V. Припустимо, що підпростір інваріантний щодо дій групи в уявленні ρ, тобто для кожного елемента всі елементи виду . Тоді обмежене автоморфізму на є автоморфізмом цього підпростору і, очевидно, = ◦ . Таким чином, : є лінійним поданням групи у просторі . Ми будемо називати його підзображенням зображення ρ.

Приклад. Розглянемо регулярне зображення групи у просторі (Аналогічно до прикладу (В) з розділу 2.2), і візьмемо в якості одномірний підпростір простору , породжене елементом . Тоді , звідки слідує, що підзображення підставлення ρ, яке ізоморфно одиничному зображенню.

Перш ніж рухатися далі, нагадаємо деякі поняття, які стосуються векторних просторів. Нехай − векторний простір і , – підпростори простору . Кажуть, що є пряма сума підпросторів і , якщо для кожного вектору існує однозначне розкладання виду , де і це рівносильно тому, що перетин W ⋂ дорівнює нулю і . Будемо писати тоді і називати підпростір доповненням до підпростору . Відображення зіставляє кожному вектору його компоненту ω із простору , називається проектором простору V на простір (асоційованим з прямим розкладанням ⊕ ) Образом проектору є всі підпростори і для кожного вектору . Навпаки, якщо деяке лінійне відображення володіє цими властивостями, то простір , як легко бачити, зображується у вигляді прямої суми образу і ядра (тобто множини тих векторів , для яких відображення ; при цьому є проектором. Цим способом встановлюється взаємно однозначна відповідність між проекторами простору V на підпростір і доповненням

до підпростору .
Повернемося знову до підзображень.
Теорема 1. Нехай ( ) – лінійне зображення групи у просторі і – деякий підпростір векторного простору , інваріантне відносно . Тоді існує доповнення до підпростору у , яке також інваріантне відносно G.

Д о в е д е н н я. Нехай − яке-небудь доповнення до підпростору у і − відповідний проектор. Розглянемо усереднення образів проектору при діях елементів групи ,
(9)

(де g – порядок групи ). Оскільки відображає на і переводить підпростір W в себе, то також відображає V в W. З іншої сторони, якщо , то , звідки , і . Таким чином, є проектором, відповідним деякому доповненню до підпростору у . При цьому для кожного елементу . Справді,



(10)

Якщо ж і , то , звідки , тобто . Це означає, що підпростір інваріантний відносно G. Теорма доведена.

З а у в а ж е н н я. Припустимо, що простір забезпечено деяким скалярним добутком , задовольняє звичайним вимогам: лінійність по y, напівлінійність по і 0 при Припустимо, крім того, що цей скалярний добуток інваріантний відносно дій групи , інакше кажучи, справедлива рівність 〉= 〉 для усіх . Цьому ми завжди можемо домогтися, замінюючи у випадку необхідності на . При цих припущеннях ортогональне доповнення до інваріантного підпростору W в V буде, очевидно, інваріантним відносно доповненням до W, ми отримуємо інше доведення теореми 1. Відмітимо, що інваріантність скалярного добутку означає, що в ортонормальному базисі ( ) простору всі матриці , , є унітарними.

Збережемо позначення та припущення теореми 1. Нехай − довільний вектор і ω, − його проекції на підпростори і відповідно. Тоді , звідки , і оскільки підпростори і інваріантні відносно групи , то і ( Отже, і ( є проекціями вектора . З цього слідує, що знання зображень і дозволяє відновити зображення . У такому випадку говорять, що зображення V є пряма сума зображень і і позначають це так: . Кожен елемент простору ототожнюється при цьому з парою 〉, де і зображення і задані в матричній формі і , то зображення задається матрицями виду



Аналогічно визначається пряма сума будь-якого кінцевого сімейства зображень.

    1. 1   2   3   4   5   6   7

      скачати

© Усі права захищені
написати до нас