1   2   3   4   5   6
Ім'я файлу: курсовая 1.docx
Розширення: docx
Розмір: 1436кб.
Дата: 03.05.2021
скачати

Перетворення подібності (гомотетія)


Задача

В правильну чотирикутну піраміду вписати куб так ,щоб чотири його ребра знаходились на бічних гранях піраміди.

Аналіз. Припустимо, що задача розв’язана і в піраміду SABCD вписали куб , так що площина його основи співпадає з площиною основи даної піраміди, а ребра , , , лежать на її бічних гранях. Відмітимо, що , , , ,так як кожне з них паралельне площині .

Основа висоти піраміди є центр гомотетії основи піраміди і основи куба, який ми шукаємо. Тоді точка О може бути прийнята за центр гомотетії шуканого та будь-якого допоміжного куба(Рис.2.6). В якості допоміжного куба можна взяти куб, основа якого лежить на площині , а сторони основи паралельні сторонам , , , основи піраміди. При цьому центрі основи повинні збігтись.

Якщо ми будуємо в просторі, за основу допоміжного куба можна взяти основу піраміди . Основа куба лежить на площині симетрично цій грані ( ), а це означає, що центри нижніх граней співпадуть. Значить цю точку можна взяти за центр гомотетії( т. Е). Вершину ми повинні перенести на ребро піраміди. Так як точка Е –центр гомотетії, то вона «піде» по прямій , а це означає ,що точка - це точка перетину з . Для інших вершин (ребер) нічого будувати не потрібно, так як піраміда правильна. В результаті отримаємо куб , коефіцієнт гомотетії [1, c. 40].

Побудова. Будуємо куб , так щоб точки лежали по ту сторону площини , що і вершина піраміди. Далі з’єднаємо відрізком прямої точки О і . Пряма перетинається з ребром в точці , яка буде однією із вершин шуканого кубу . Для знаходження вершин кубу треба провести прямі і знайти точки їх перетину відповідно з прямими .

З отриманих точок на площину треба опустити перпендикуляри, основи яких і будуть іншими вершинами кубу, який шукаємо(Рис.2.7 а)

Але якщо ми будуємо в просторі, є інший алгоритм побудови :

  1. Будуємо чотирикутник . Знаходими його центр – точка Е(точка перетину діагоналей, в нашому випадку –це центр гомотетії).

  2. Через точку Е проводимо пряму, яка перпендикулярна площині . На цій прямій вибираємо довільну точку S (вершина нашої піраміди).

  3. Будуємо піраміду. Далі будуємо допоміжний куб, який «стоїть» на основі піраміди .

  4. Через вершину куба та точку Е проводимо пряму, для того щоб знайти точку перетину з ребром AS (точка К). Точка К є вершиною шуканого кубу . Для інших вершин (ребер) нічого будувати не потрібно, так як піраміда правильна .

  5. Будуємо куб, який шукали (Рис.2.7 б).

При змінні положення вершини піраміди, змінюється коефіціїєнт гомотетії, а центр гомотетії нерухомий, тим самим ми беремо різні правильні піраміди .Основа куба не обов’язково повинна співпадати з основою піраміди . Головне, щоб у них був спільний центр гомотетії.

Доведення. Так як , то , з цього випливає що прямі і лежать в одній площині , і тому перетнуться в деякій точці . Ця точка і буде однією з вершин шуканої фігури . Аналогічно, прямі , і , і , і також перетинаються . Із побудови випливає , що і т.д.

Розглянемо відповідні подібні трикутники, отримаємо: Но так як з цього випливає , фігура є куб , основа якого лежить на основі піраміди, а сторони верхньої основи знаходяться на бічних гранях піраміди . Таким чином, побудований куб –шуканий.

Дослідження. Задача має єдиний розв’язок, так як прямі і завжди перетинаються в одній точці . Якщо в якості допоміжного куба взяти інший куб, наприклад, ,який розташований відповідним чином, то вершина лежала би на тій же прямій і відповідно положення шуканого куба не зміниться.

Задача
У два протилежних тригранних кута даного куба вписати дві рівні сфери так, щоб кожна з них дотикається трьох граней і в той же час, щоб сфери дотикаються один одного.

Аналіз. Дану задачу можна розв’язати з точки зору гомотетії. Нехай задача розв’язана, і в куб вписали дві рівні сфери так, що кожна з них дотикається трьох граней і в той же час, сфери дотикаються один одного.

Знайдемо центр гомотетії. Центром гомотетії буду точка дотику сфер (точка - це точка перетину діагоналей куба). В точці перетину діагоналі діляться навпіл (Рис.2.8 а) Тому, коли ми будуємо в просторі нам достатньо провести одну діагональ куба( в нашому випадку ) та знайти її середину – це і буде центром гомотетії. Коефіцієнт гомотетії .

Тепер треба знайти центри сфер . Нехай сфера з центром дотикається граней відповідно сфера з центром в точці дотикається граней .Так як перша сфера дотикається граней , то її центр рівновіддалений від зазначених граней, тобто лежить бісекторній площині двогранного кута з ребром , тобто на площині (з урахуванням того, що -куб).

Так як перша сфера дотикається граней , то її центр рівновіддалений від зазначених граней, тобто лежить бісекторній площині двогранного кута з ребром . Тоді точка лежить на прямій перетину площин ,тобто на (сфера знаходиться всередині куба , тоді -точка відрізка ). Аналогічно, що точка - лежить на відрізку ).

Побудова

  1. Будуємо відрізок - радіус сфери.

  2. Будуємо куб .

  3. Будуємо - діагональ куба. Знаходимо середину цієї діагоналі (точка ).

  4. На діагоналі відмічаємо центри сфер (сфери рівні за умовою). Будуємо дані сфери.

  5. Через центри сфер проводимо паралельні прямі. Через точку дотику сфер проводимо пряму , яка перетинає грані , куба в точках .

  6. Далі знаходимо точки перетину прямої з паралельними прямими (точки ). Так як ми будуємо в просторі , ми використаємо гомотетію відносно точки. Центром гомотетії є точка (точка дотику сфер), коефіцієнт гомотетії . Аналогічно будуємо другу сферу.

Задача

Піраміду перетворити в призматичну поверхню, бічні ребра якої паралельні даній прямій , так щоб відрізок ребра перетворився в рівний йому відрізок відповідного ребра призматичної поверхні.

Аналіз. Площину основи піраміди візьмемо за осьову площину гомології та через вершину піраміди проведемо пряму .

Вершині піраміди поставимо у відповідність нескінченно віддалену точку прямої . Тоді всі бічні ребра перейдуть в паралельні прямі . Точки як належали осевій площині гомології залишаться незмінними.

Для знаходження центру гомології треба на прямій відкласти від точки відрізок . Точки будемо вважати відповідними. Центр гомології буде знаходитись в точці перетину прямих і . Ці прямі перетнуться, так як знаходяться в одній площині. Кожній точці поверхні піраміди буде відповідати відповідна точка призматичної поверхні [1, c. 31].

Побудова

  1. Будуємо піраміду , відрізок і пряму .

  2. Через вершину проводимо пряму , яка паралельна прямій .

  3. Через вершини піраміди проводимо прямі , які паралельні прямій .

  4. Для знаходження центру гомотетії, на прямій відкладемо від точки відрізок .

  5. Центр гомотетії буде знаходитись в точці перетину прямих і

  6. Таким чином, піраміда перетвориться в призматичну поверхню, бічні ребра якої паралельні заданому напрямку , а відрізок ребра перетворюється в рівний йому відрізок .

1   2   3   4   5   6

скачати

© Усі права захищені
написати до нас