РОЗДІЛ 2
ЗАДАЧІ НА ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОЕННЯ В ПРОСТОРІ
2.1 Перенос, центральна, осьова та дзеркальні симетрії простору
Симетрія куба
Про фігуру, яка має центр симетрії говорять, що вона володіє центральною симетрією. Наприклад, куб має тільки один центр симетрії, це точка перетину його діагоналей.
Площина називається площиною симетрії фігури, якщо кожна точка фігури симетрична щодо неї деякій точці тієї ж фігури. Про фігуру, що має площину симетрії кажуть, що вона володіє дзеркальною симетрією(рис.2.1 а,б). Куб має дев'ять площин симетрії: шість діагональних площин і три площини, що проходять через середини кожної четвірки його паралельних ребер.
Рис. 2.1. Площина симетрії куба
Пряма називається віссю симетрії фігури, якщо кожна точка фігури симетрична щодо неї деякій точці тієї ж фігури. Про фігуру, що має вісь симетрії кажуть, що вона має осьову симетрії.
Пряма називається віссю симетрії фігури, якщо кожна точка фігури симетрична щодо неї деякій точці тієї ж фігури. Про фігуру, що має вісь симетрії кажуть, що вона має осьову симетрії (Рис. 2.2). Осі симетрії куба, які проходять через центри його протилежних граней є осями його поворотної симетрії на кут 
. 
Куб має дев'ять осей симетрії другого порядку: шість прямих, що з'єднують середини його протилежних ребер, і три прямі, що з'єднують центри протилежних граней. Ці останні прямі є осями симетрії четвертого порядку. Крім того, куб має чотири осі симетрії третього порядку, які є його діагоналями. Справді, діагональ куба АG, очевидно, однаково нахилена до рeбрам АВ, АD і АЕ, а ці ребра однаково нахилені один до іншого. Якщо з'єднати точки У, D і Е, то отримаємо правильну трикутну піраміду АDВЕ, для якої діагональ куба AG служить висотою (Рис.2.3).Коли під час обертання навколо висоти ця піраміда буде поєднуватися сама з собою, весь куб буде поєднуватися зі своїм вихідним положенням. Інших осей симетрії, як неважко переконатися, куб не має. Подивимося, скількома різними способами куб може бути поєднаний сам з собою. Обертання навколо звичайної осі симетрії дає одне положення куба, звідки вони були видалені, при якому куб в цілому поєднується сам з собою.
Обертання навколо осі третього порядку дає два таких положення, і обертання навколо осі четвертого порядку - три таких положення. Так як куб має шість осей другого порядку (це звичайні осі симетрії), чотири осі третього порядку і три осі четвертого порядку, то є 6 • 1 + 4 • 2 + 3 • 3 = 23 положення куба, відмінні від вихідного, при яких він поєднується сам з собою.
Легко переконатися безпосередньо, що всі ці положення відмінні одне від іншого, а також і від початкового положення куба. Разом з вихідним положенням вони складають 24 способу поєднання куба з самим собою.
Фігура може мати один центр (вісь, площина) симетрії, або кілька центрів (осей, площин) симетрії, або взагалі не мати центру (осі, площини) симетрії. На прикладі куба ви вже переконалися в існуванні у нього одного центру симетрії, 9 осей симетрії і 9 площин симетрії. Тобто куб володіє центральною, осьовою і дзеркальною симетрією.
Симетрія тетраедра
У
правильному тетраедрі шість площин симетрії: кожна така площина визначається ребром тетраедра і серединою мимобіжного з ним ребра(Рис.2.4 а).Дві площини симетрії тетраедра, що містять два його мимобіжних ребра, перетинаються по прямій, що проходить через середини цих мимобіжних ребер(Рис.2.4 б). Така пряма є віссю симетрії тетраедра. У тетраедра три віссі симетрії(Рис.2.5).
Крім перерахованих видів симетрії, тетраедр володіє поворотною симетрією на кут
- навколо прямої, що містить висоту тетраедра . Таких осей повороту чотири - по числу висот тетраедра. Центра симетрії у правильного тетраедр не має. Це легко пояснюється, наприклад, тим, що правильний тетраедр не має паралельних граней.
1 2 3 4 5 6