1   2   3   4   5
Ім'я файлу: bestreferat-213688.docx
Розширення: docx
Розмір: 966кб.
Дата: 29.08.2021
скачати
Пов'язані файли:
перший варіант курсача зейделя.docx
. Підберемо тепер коефіцієнт таким чином, щоб мала (п+2)-ий корінь в будь-якій, але фіксованій точці відрізка , яка не співпадає з вузлами інтерполювання (мал. 1). Для цього достатньо покласти
.
Звідси, так як , то
(1. 2. 13)

При цьому значення множника функції має п+2 кореня на відрізку і буде обертатись в нуль на кінцях кожного з відрізків

. Застосовуючи теорему Ролля [11] до кожного із цих відрізків, переконуємось, що похідна має не менше п+1 кореня на відрізку .


Малюнок 1. Графік функції
Застосовуючи теорему Ролля до похідної , ми переконаємося, що друга похідна перетворюється в нуль не менше п разів на відрізку .

Продовжуючи ці роздуми, прийдемо до висновку, що на відрізку похідна має хоча б один корінь, котрий позначимо через , тобто .

Із формули (1. 2. 11) так як , маємо: . При , отримуємо: Звідси . (1. 2. 14)

Порівнюючи праві частини формул (1. 2. 13) і (1. 2. 14), будемо мати:
, тобто

. (1. 2. 15)
Так як довільне, то формулу (1. 2. 15) можна записати і так:
, (1. 2. 16)
де залежить від і лежить всередині відрізка .

Відмітимо, що формула (1. 2. 16) справедлива для всіх точок відрізка , в тому числі і для вузлів інтерполювання.

На основі формули (1. 2. 16) отримаємо залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона:
, (1. 2. 17)
де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Аналогічно, покладаючи в формулі (1. 2. 17) , отримаємо залишковий член другої інтерполяційної формули Ньютона:
, (1. 2. 18)

де - деяка внутрішня точка найменшого проміжку, що містить всі вузли і точку .

Зазвичай при практичних обчисленнях інтерполяційна формула Ньютона обривається на членах, що містять такі різниці, які в межах заданої точності можна вважати постійними.

Вважаючи, що майже постійними для функції і достатньо малим, і враховуючи, що , наближено можна покласти:
.
В цьому випадку залишковий член першої інтерполяційної формули Ньютона наближено рівний
.
При таких самих умовах для залишкового члена другої інтерполяційної формули Ньютона отримаємо вираз
.
1.3 Інтерполяційні формули Гауса
При побудові інтерполяційних формул Ньютона використовуються лише значення функції, що лежать з однієї сторони початкового наближення, тобто, ці формули носять односторонній характер (див.[3]).

В багатьох випадках виявляються корисними інтерполяційні формули, що містять як наступні, так і попередні значення функції по відношенню до її початкового наближеного значення. Найбільш вживаними серед них являються ті, що містять різниці, розміщені у горизонтальному рядку діагональної таблиці різниць даної функції, що відповідає початковим значенням і , або в рядках, що безпосередньо примикають до неї. Ці різниці називаються центральними різницями, причому і т. д.

Відповідні їм формули називають інтерполяційними формулами із центральними різницями. До їх числа відносяться формули Гауса, Стірлінга і Бесселя.

Постановка задачі. Нехай маємо 2п+1 рівновіддалені вузли інтерполяції:
,
де , і для функції відомі її значення в цих вузлах , потрібно побудувати такий поліном степені не вище 2п, що . Із останньої умови випливає, що
(1. 3. 1)
для всіх відповідних значень і та k.

Будемо шукати поліном у вигляді:

Вводячи узагальнені степені (див [3]), отримаємо:

Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів такий же спосіб, що і при виведенні інтерполяційних формул Ньютона, і враховуючи формулу (1. 3. 1), послідовно знаходимо:

Далі вводячи змінну і зробивши відповідну заміну у формулі (1. 3. 3), отримаємо першу інтерполяційну формулу Гауса:

або, коротше,


де .
Перша інтерполяційна формула Гауса містить центральні різниці
.
Аналогічно можна отримати другу інтерполяційну формулу Гауса, котра містить центральні різниці . Друга інтерполяційна формула Гауса має вигляд:

або, в скорочених позначеннях,

де .

Формули Гауса застосовуються для інтерполювання в середині таблиці поблизу . При цьому перша формула Гауса застосовується при , а друга – при .

1.4 Інтерполяційна формула Бесселя
Для того, щоб вивести формулу Бесселя використаємо другу інтерполяційну формулу Гауса (1. 3. 6).

Візьмемо рівновіддалених вузлів інтерполювання з кроком , і нехай - задані значення функції .

Якщо обрати за початкове значення і , то, використовуючи вузли , будемо мати:


прикладний задача інтерполяційний формула

Візьмемо тепер за початкове значення і і використаємо вузли . Тоді , причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1. 4. 1) зростуть на одиницю. Якщо замінити в правій частині формули (1. 4. 1) на і збільшивши індекси всіх різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:

Взявши середнє арифметичне формул (1. 4. 1) і (1. 4. 2), після нескладних перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя:


де .

Тобто, інтерполяційна формула Бесселя (1. 4. 3), як слідує із способу отримання її, представляє собою поліном, який співпадає з даною функцією в точках .

В окремому випадку, при п=1, нехтуючи різницею , маємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю:


або , де .
У формулі Бесселя всі члени, котрі містять різниці непарного порядку, мають множник , тому при формула (1. 4. 3) значно спрощується:


Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо у формулі (1. 4. 3) зробити заміну змінної за формулою , то вона приймає більш симетричний вигляд:

де .

Формула Бесселя використовується для інтерполювання всередині таблиці при значеннях q, близьких до 0.5. Практично вона використовується при .


1.5 Інтерполяційна формула Стірлінга
Якщо взяти середнє арифметичне першої інтерполяційної формули Гауса (1. 3. 4) та другої формули Гауса (1. 3. 6), то отримаємо формулу Стірлінга:

де .

Легко бачити, що при .

Формула Стірлінга використовується для інтерполювання в середині таблиці при значеннях , близьких до нуля. Практично її використовують при .
1.6 Оцінки похибок центральних інтерполяційних формул
Приведемо залишкові члени для формул Гауса, Стірлінга і Бесселя [12].

  1. Залишковий член інтерполяційних формул Гауса (1. 3. 4) і (1. 3. 6) та інтерполяційної формули Стірлінга (1. 5. 1).

Якщо 2п – порядок максимальної різниці таблиці, яка використовується
і , то ,
де .

Якщо ж аналітичний вираз функції невідомий, то при малому покладають [2]: .

  1. Залишковий член інтерполяційної формули Бесселя (1. 4. 3).

Якщо 2п+1 – порядок максимальної використовуваної різниці таблиці і , то
,

де .
Якщо ж функція задана таблично і крок h малий, то приймають:
.
Найбільш простий вигляд формула має при q=0.5, так як всі члени, що містять різниці непарного порядку зникають. Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Її використовують для ущільнення таблиць [4], тобто для складання таблиць з більш малим кроком. Для залишкового члена при q=0.5 маємо:
.
1.7 Інтерполяційна формула Ньютона для нерівновіддалених вузлів
Для побудови інтерполяційних формул у випадку довільного розташування упорядкованих не співпадаючих вузлів на проміжку , замість кінцевих різниць використовують розділені різниці, або інакше, різницеві відношення.

Через значення функції спочатку визначають розділені різниці першого порядку:
(1. 7. 1)
На різницях (1. 7. 1) шукаються розділені різниці другого порядку:

і т.д. Таким чином, якщо визначені k-ті різницеві відношення , то - ті визначаються завдяки ним рівністю:
(1. 7. 2)
Нехай - деяка функція із відомими значеннями у вузлах , а - довільна фіксована точка. За означенням розділеної різниці першого порядку (1. 7. 1) маємо: звідки

(1. 7. 3)
Для розділеної різниці другого порядку по точкам записуємо представлення: наслідком якого являється вираз Підставляючи його у формулу (1. 7. 2), приходимо до рівності

Формально, на основі рекурентного відношення (1. 7. 2) цей процес може бути продовжений. В результаті можна записати формулу, яка описує своєрідне розкладання по добуткам різниць , коефіцієнтами якого являються розділені різниці різних порядків:
(1. 7. 4)
Якщо - многочлен степені п, то процес подібного розкладання вичерпується. Розкладання буде складатись з п+1 доданка, і всі вони будуть мати конкретні коефіцієнти, так як остання, яка містить , розділена різниця в (1. 7. 4), тобто має (п+1)-ий порядок і, значить, дорівнює нулю. Таким чином, для довільного многочленна степені п справедлива тотожність

1   2   3   4   5

скачати

© Усі права захищені
написати до нас