ах=в, де а і в – довільні числа, х –змінна.
Лінійне рівняння може мати … один корінь або безліч коренів або не мати жодного кореня.
Усні вправи.
Чи є рівносильними рівняння?
а) 4х – 2 = х + 4 і 3х – 6 = 0;
б) 5х – 1 = 3х – х2 і х2 + 2х – 1 = 0;
в) 5х2 – 10х + 25 = 0 і х2 – 2х + 5 = 0.
2) Розв’яжіть рівняння.
а) у – 8 = 0 ; г) 2х -
= 0;б) х + 0,3 = 0 ; д) у +
= 0 ;в) 7х = 0 ; е) х ( х – 3 ) = 0.
VI. Вивчення нового матеріалу.
З деякими квадратними рівняннями ви вже зустрічались. Наприклад, без зусиль ви можете розв’язати кожне з рівнянь: х2 = 0, х2 – 4 = 0, х2 + 3х = 0, та х2 – 4х + 4 = 0. Усі вони мають вигляд ах2 + вх + с = 0.
Означення: Рівняння виду ах2 + вх + с = 0, де х – змінна, а, в, с – числа, причому а ≠ 0 називається квадратним.
Назва такого рівняння походить від відповідного степеня многочлена лівої частини рівняння.
Число а називають першим (старшим) коефіцієнтом, в – другим коефіцієнтом, с – вільним членом.
Наприклад: Рівняння 2х2 + 3х – 7 = 0 має такі коефіцієнти: а = 2, в = 3, с = - 7.
Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1, називається зведеним. Наприклад: х2 – 2х + 0,5 = 0.
Квадратне рівняння, в якому, хоча б один із коефіцієнтів в або с дорівнює нулю, називають неповним квадратним рівнянням.
Існують три види неповних квадратних рівнянь.
при в = с = 0 маємо: ах2 = 0;
при с = 0 і в ≠ 0 маємо: ах2 + вх = 0;
при в =0 і с ≠ 0 маємо: ах2 + с = 0.
Розв’яжемо неповне рівняння кожного виду.
Рівняння ах2 = 0
х = 0 -єдиний корінь;
Рівняння ах2 + вх = 0
х ( ах + в ) = 0
х = 0 або ах + в = 0
ах = - в
х = -
- два корені;Рівняння ах2 + с = 0
ах2 = - с
х2 = -
при
х = √ - або х = - √ - - два корені; при
- коренів немає.Результати підсумовує така таблиця.
| Значення коефіцієнтів в і с | Рівняння | Корені |
| в = с = 0 | ах2 = 0 | х = 0 |
| в ≠ 0, с = 0 | ах2 + вх = 0 | х1 = 0, х2 = - |
| в = 0, -  | ах2 + с = 0 | Коренів немає |
| в = 0, -  | ах2 + с = 0 | х1= √ , х2 = - √ - |
Зауваження: Квадратне рівняння може мати не більше двох коренів.
Наприклад:
15х2 = 0 2) 8х2 – 24х = 0 |:8
х2 = 0 х2 – 3х = 0
х = 0 ; х ( х – 3) = 0
х = 0 або х – 3 = 0
х = 3;
3) 9х2 – 16 = 0
(3х)2 – 42 = 0
( 3х – 4)( 3х + 4) = 0
3х – 4 = 0 або 3х + 4 = 0
3х = 4 3х = - 4
х =
х = - х = 1
х = - 1 .V. Формування вмінь.
Усні вправи
Які з рівнянь є квадратними
5х – 8 = 0; 2) х2 – х + 4 = 0; 3) 0,8х = 0;
х2 – 7 = 0; 5) 6х3 – 3х = 0; 6) 5х2 = 0.Для квадратних рівнянь знайдіть значення їх коефіцієнтів.
Виберіть серед них:
зведені;
2) неповні квадратні.
Складіть квадратне рівняння, у якому:
Старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт дорівнює 7, вільний член дорівнює - 2.
а =1 в = -
с = 3,5.Письмові вправи
( Збірник задач А. Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, Ю. М. Рабінович, М. С. Якір Алгебра 8 клас).
Ст. 26 № 117. Розв’яжіть рівняння.
5х2 – 20 = 0 2) 3х2 – 18 = 0
5х2 = 20 |:5 3х2 = 18 |:3
х2 = 4 х2 = 6
х = 2 або х = -2 ; х = √6 або х = - √6;
х2 + 7х = 0 4) 3х2 – 24х = 0
х( х + 7) = 0 3х( х – 8) =0
х =0 або х + 7 = 0 х = 0 або х – 8 = 0
х = -7; х = 8;
5) 49х2 – 9 = 0 6) х2 + 25 = 0
49х2 = 9 х2 = - 25
х2 =
х2 ≥ 0 , - 25 < 0х = √
або х = - √ коренів немає.х =
або х = - ;№ 118. Розв’яжіть рівняння.
(2х – 3)(5х + 1) – (х – 6)(х + 6) + 13х = 0
10х2 + 2х – 15х – 3 – (х2 – 36) + 13х = 0
10х2 – 3 - х2 + 36 = 0
9х2 + 33 = 0
9х2 = -33 |:3
3х2 = -11
х2 = -
х2 ≥ 0, -
< 0рівняння не має коренів;
(2х – 7)2 - 7( 7 – 4х) = 0
4х2 – 28х + 49 - 49 + 28х = 0
4х2 = 0
х2 = 0
х = 0;
(х – 5)2 + 5(2х – 1) = 0
х2 – 10х + 25 + 10х - 5 = 0
х2 + 20 = 0
х2 = - 20
х2 ≥ 0, - 20 < 0
рівняння не має коренів.
№877. ст.186 підручник Г.П. Бевз, В.Г. Бевз.
а)
= 
скористаємось властивістю пропорції4(5 – х2) = 3(3х2 – 2)
20 – 4х2 = 9х2 – 6
20 + 6 = 9х2 + 4х2
26 = 13х2 |:13
2 = х2
х = √2 або х = - √2.
№ 879.
а)
= 
(z + 1)( z – 1) = 8
z2 – 1 = 8
z2 = 8 + 1
z2 = 9
z = 3 або z = - 3.
VI. Підбиття підсумків. Оцінювання результатів уроку.
VII. Домашнє завдання.
Підручник Г. П. Бевз, В. Г. Бевз § 19 ст. 182, №№ 869, 876, 879 б).
Висновок
Отже, квадратні рівняння є однією з найважливіших і актуальних тем в шкільній програмі навчання. В ході написання курсової роботи було вивчено навчальну та наукову літературу, розв’язано квадратні рівняння різними відомими способами, проаналізовано навчальну програму математики основної школи та розроблено конспект уроку з теми «Квадратні рівняння» .В наш час відомо багато способів розв’язання квадратних рівнянь, проте деяка частина з них не відноситься до вивчення в шкільному курсі, а належить до розділу прикладної математики.
Список використаної літератури
Болгарський Б. В. Очерки по истории математики. Изд. 2-е. –Минск: Высшей. Школа, 1975
https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-5-9-klas
Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко-генетического метода // Математика в школе. - №6. – 2000.- С. 68-70
Єфімова В. Квадратична функція. Система авторських уроків, 9 класс// Математика. - №39-43. -2005
Зенина Н. М. Эта разноликая теорема Виета // Математика в школе.- №3 -199. – С. 29-30
Петров В.А. К вопросу о равносильности уравнений // Математика в школе. - №3. -1991. –С 43-44
Практикум з методики навчання математики. Загальна методика: Навчальний посібник для організації самостійної роботи студентів математичних спеціальностей педагогічних університетів/ З. І. Слєпкань, А.В. Грохольська, В.Я. Забранський, С.М. Лук’янова, Л.Л. Панченко, І.С. Соколовська. За ред. Проф. З.І. Слєпкань. –К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2006. -С. 362-385.
Шматков Б. А. Сколько кореней у кваратного уравнения// Математика в школе. -№5. – 1988. –С. 51-53.
1 2 3