Приклад № 10Розрахунок середньої гармонійної зваженої.
Для групи КСП дані про середній надій молока від корови за рік і про валове виробництво молока:
| № КСП | Середній надій на корову за рік, кг | Валовий надій молока, ц |
| 1 | 3800 | 30780 |
| 2 | 3520 | 33440 |
| 3 | 4500 | 34200 |
| 4 | 3260 | 27710 |
| 5 | 3850 | 25410 |
| 6 | 4100 | 38540 |
| 7 | 3270 | 26160 |
| Разом | - | 216240 |
Перевести центнери в кг (помножити на 100)
Потрібно обчислитисередньорічний надій від корови для групи.
Розв'язок:
За умовою завдання є дані про значення ознаки х (середній надій на корову за рік різних КСП) та обсяг явища z (валовий надій молока за групою КСП). Тому, обчислюється середня гармонічна зважена за формулою.
(Відомі дані про загальний обсяг ознаки z=xf).
Таким чином, середній надій молока від корови за рік для групи КСП становить 3767 кг.
Приклад № 11Розрахунок середньої арифметичної зваженої в інтервальному ряду розподілу з відкритими крайніми інтервалами.
На підприємстві мають місце такі дані про випуск продукції за зміну:
| Кількість виробів, випущених за зміну, шт. | Кількість робітників, осіб |
| До 6 | 12 |
| 6-8 | 32 |
| 8-10 | 40 |
| 10-12 | 16 |
| Більше 12 | 6 |
Обчислити середню кількість виробів за зміну.
Розв'язок:
Для даного розподілу кількість виробів за зміну є варіюючою ознакою (х), а кількість робітників - частотою (f).
Перший та останній інтервали - відкриті. Для визначення середньої їх необхідно перетворити в закриті. Для цього першим інтервалом беруть величину другого інтервалу, а для останнього - величину передостаннього інтервалу. Тоді ряд розподілу з умовними крайніми інтервалами буде таким:
| Кількість виробів, випущених за зміну, шт. | Кількість робітників, осіб |  |
| 4-6 | 12 | 5 |
| 6-8 | 32 | 7 |
| 8-10 | 40 | 9 |
| 10-12 | 16 | 11 |
| 12-14 | 6 | 13 |
Середня арифметична зважена для такого інтервального ряду обчислюється за формулою:
Приклад № 12
Витрати виробництва та собівартість одиниці продукції А трьох підприємствах характеризуються такими даними:
| Номер заводу | Витрати виробництва, тис. гри. | Собівартість одиниці продукції, грн. |
| 1 | 200 | 20 |
| 2 | 460 | 23 |
| 3 | 110 | 22 |
Визначити середню собівартість одиниці продукції для підприємств в цілому.
Розв'язок:
Головною умовою вибору форми середньої є економічний зміст показника собівартості продукції (логічна формула) та вихідні дані:
За умовою задачі нам відомі дані про затрати на весь випуск продукції й собівартість одиниці продукції, а показники кількості виготовленої продукції відсутні. У такому випадку для розрахунку середньої величини використовують формулу середньої гармонічної зваженої
Приклад № 13
За даними про розподіл магазинів за розміром товарообігу визначити середній обсяг товарообігу, моду і медіану.
| Групи магазинів за розміром товарообігу, тис. грн | До 5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25 і більше |
| Кількість магазинів | 6 | 12 | 20 | 11 | 7 | 4 |
Розв'язок:
Середній обсяг товарообігу визначають за середньої арифметичної зваженої
Відповідно до визначення модою є варіанта, яка має найбільшу чистоту. У нашому прикладі мода знаходиться в інтервалі від 10 до 15, оскільки цей інтервал має найбільшу частоту. Для того, щоб визначити, чому дорівнює мода використовуємо формулу визначення моди для інтервального ряду розподілу:
х0= 10 (мінімальне значення ознаки в модальному інтервалі);
h = 5(15-10) - величина модального інтервалу;
f0 = 20 (частота модального інтервалу);
f0-1 = 12 (частота інтервалу, що передує модальному);
f0+1 = 11 (частота інтервалу наступного за модальним).
Для визначення медіани в інтервальному ряді розподілу обчислимо кумулятивну частоту:
| Групи магазинів за розміром товарообігу, тис. грн | Кількість магазинів | Кумулятивна частота |
| 0-5 | 6 | 6 |
| 5-10 | 12 | (6+12) 18 |
| 10-15 | 20 | (18+20) 38 |
| 15-20 | 11 | (38+11) 49 |
| 20-25 | 7 | (49+7) 56 |
| 25 -30 | 4 | (56+4) 60 |
| Разом | 60 | |
У чому полягає відмінність між модою і медіаною? Мода -значення ознаки, яке зустрічається частіше, ніж інші. Медіана -теж значення ознаки, але значення ознаки, що знаходиться в середині упорядкованого ряду розподілу й, відповідно, ділить ряд на дві рівні частини.
Медіана визначається за формулою:
хе - мінімальне значення ознаки в медіанному інтервалі;
h - величина медіанного інтервалу;
- сума частот;
- сума нагромаджених частот до медіанного інтервалу;fe - частота медіанного інтервалу.
Спочатку визначимо інтервал, у якому знаходиться медіана - медіанний інтервал.
або Таким вважається той, до якого сума кумулятивної частоти більше половини загальної суми частот. Якщо додати частоти перших двох інтервалів, одержимо 18, тобто менше и половини загальної суми частот. Якщо ж додати частоту третього інтервалу 20, то одержуємо суму 38, що перевищує половину суми частот. Отже, медіанним є третій інтервал - від 10 до 15. Тепер |визначаємо медіану:
Таким чином, можна зробити висновок, що найбільша кількість магазинів має товарообіг 12,35 тис. грн., половина магазинів має товарообіг до 13 тис. грн., а друга половина- понад 13 тис. грн.
Приклад № 14
По наведених даних визначте середню, моду, медіану.
Ранжований ряд
| Варіанта хі | Частота fi | Накопичена частота  | Частість  |
| 21 | 1 | 1 | |
| 22 | 1 | 2 | |
| 23 | 3 | 5 | |
| 24 | 1 | 6 | |
| 25 | 7 | 13 | |
| 26 | 2 | 15 | |
| 27 | 4 | 19 | |
| 28 | 5 | 24 | |
| 29 | 3 | 27 | |
| 30 | 3 | 30 | |
Розв'язок:
Середня величина
Мода. max f=7. Цією частотою наділена варіанта 25.
Медіана.
Таким чином, варіанта 27 являється медіаною.
Приклад № 15
Розрахувати середньогодинний виробіток та середній час, який витрачають на виготовлення однієї деталі, якщо кожен з 40 робочих витрачає на виготовлення – 5 хвилин., кожен з 10 робочих – 10 хв., а кожен з 20 робочих – 4 хв.
Розв'язок:
Кожен з 40 в годину виробляє – 60/5=12 деталей
Кожен з 10 в годину виробляє – 60/10=6 деталей
Кожен з 20 в годину виробляє – 60/4=15 деталей
Середньогодинний виробіток середня арифметична зважена
Середній час, який витрачається на виготовлення однієї деталі (середня гармонійна проста):
Приклад № 16
Бригада з п'яти чоловік випускає деталі. Визначити середній випуск деталей одним робітником, використовуючи різні види середніх.
Випуск деталей робітниками
| Робітник | Випуск деталей (хi) |
| 1 | 10 |
| 2 | 8 |
| 3 | 11 |
| 4 | 14 |
| 5 | 7 |
| ВСЬОГО: 5 | 50 |
Розв'язок:
Визначимо середній випуск деталей одним робітником, використовуючи різні види середніх.
середньоарифметична
середньоквадратична
середньогармонічна
середньогеометрична
У загальному вигляді співвідношення між середніми має вигляд:
1 2 3