Решение задач по квантовой физике

2
УДК 530.145(076)
ББК 22.314я73
Р47
А в т о р ы:
Е. В. Андрианова, Е. В. Андрос, З. А. Боброва, Т. И. Полочанская,
Н. В. Русина
Р е ц е н з е н т ы: кафедра математики и физики учреждения образования
«Высший государственный колледж связи»
(протокол №4 от 14.11.2013); главный научный сотрудник кафедры физики твердого тела
Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор Н. Т. Квасов
Решение задач по квантовой физике : пособие / Е. В. Андрианова [и др.]. –
Минск : БГУИР, 2014. – 68 с. : ил.
ISBN 978-985-543-035-4.
Пособие предназначено для оказания помощи студентам в изучении квантовой физики, организации самостоятельной работы студентов по указанному курсу. Полно- стью соответствует типовой программе по физике для высших учебных заведений по специальностям информатики и радиоэлектроники. Включает краткое изложение тео- ретического материала по темам «Тепловое излучение», «Внешний фотоэффект. Характе- ристики фотона. Эффект Комптона», «Волновые свойства микрочастиц. Гипотеза де Брой- ля. Соотношение неопределенностей», «Уравнение Шрѐдингера. Смысл
Ψ-функции. Ча- стица в потенциальной яме», «Прохождение частиц через потенциальный барьер»,
«Свойства атомов»; примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения
(с ответами) по вышеуказанным темам.
УДК 530.145(076)
ББК 22.314я73
ISBN 978-985-543-035-4 © УО «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники», 2014
Р47

3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение…………………………………………………………..………………… 4 1. Тепловое излучение……………………………………………………………….6 1.1. Основные характеристики теплового излучения………………………6 1.2. Основные законы теплового излучения………………………………..7 1.3. Примеры решения задач………………………………………………..10 1.4. Задачи для самостоятельного решения………………………………..14 2. Внешний фотоэффект. Характеристики фотона. Эффект Комптона………...15 2.1. Экспериментальные закономерности внешнего фотоэффекта……....16 2.2. Характеристики фотона. Эффект Комптона…………………………..17 2.3. Примеры решения задач……………………………………………..…19 2.4. Задачи для самостоятельного решения………………………….….…24 3. Волновые свойства микрочастиц. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределенностей…………………………………………………………………26 3.1. Примеры решения задач………………………………………………..27 3.2. Задачи для самостоятельного решения………………………………..30 4. Уравнение Шрѐдингера. Смысл
Ψ-функции. Частица в потенциальной яме…………………………………………………………………………………...31 4.1. Примеры решения задач..………………………………………………33 4.2. Задачи для самостоятельного решения…………………………..……48 5. Прохождение частиц через потенциальный барьер………………………..….50 5.1. Примеры решения задач…………………………………………….….55 6. Свойства атомов…………………………………………………………………58 6.1. Примеры решения задач………………………………………………..62 6.2. Задачи для самостоятельного решения…………………………….….65
Литература………………………………………………………………………..…67

4
ВВЕДЕНИЕ
Квантовая физика – один из наиболее интересных и в то же время слож- ных для восприятия студентов разделов общей физики. Процессы, происходя- щие на уровне микромира, невозможно представить, они не подчиняются
«здравому смыслу», сформированному в рамках логики существования макро- мира. Многие свойства квантовых систем кажутся неправдоподобными
(например, отсутствие траектории у микрочастицы, невозможность одновре- менно определить координату и импульс квантового объекта, туннельный эф- фект). Малая наглядность и сложный математический аппарат создают опреде- ленные трудности в преподавании данного раздела физики.
При этом значение квантовой физики в образовании студентов техниче- ских вузов (в том числе БГУИР) трудно переоценить, поскольку квантовые эф- фекты находят все большее применение в современной технике.
В пособии рассмотрены темы «Тепловое излучение», «Внешний фотоэф- фект. Характеристики фотона. Эффект Комптона», «Волновые свойства микро- частиц. Гипотеза де Бройля. Соотношение неопределенностей», «Уравнение
Шрѐдингера. Смысл Ψ-функции. Частица в потенциальной яме», «Прохожде- ние частиц через потенциальный барьер», «Свойства атомов», которые состав- лены в соответствии с учебной программой и содержат задания к предусмот- ренным учебными планами практическим занятиям по физике.
В каждой главе представлен теоретический и практический материал.
Теоретическая часть пособия содержит достаточное количество инфор- мации, необходимой для реализации практической составляющей.
Практическая часть включает примеры решения задач, а также задачи
(с ответами) для самостоятельной работы студентов. Предлагаемые задания будут способствовать рациональной организации самостоятельной учебной работы студентов по овладению программным материалом, повышению ка- чества их подготовки к занятиям, а также более эффективному проведению самих занятий.
Пособие отличает строго научное и вместе с тем доступное изложение теоретического материала, большое количество визуального сопровождения.
Наибольший интерес в пособии представляет глава, раскрывающая со- держание темы «Основы нерелятивистской квантовой механики». Особенно- стью решения задач в рамках рассматриваемой темы (например, при описании поведения частицы в потенциальной яме) является то, что в большом количе- стве случаев приходится совершать определенный порядок действий, но в учебно-методической литературе четко описанного алгоритма не предложено.

6
1. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Тепловое излучение – это излучение телами электромагнитных волн за счет внутренней энергии. Тепловое излучение – единственный вид излучения, который может находиться в термодинамическом равновесии с излучающим телом. Создается колебаниями ионов около положения равновесия.
1.1. Основные характеристики теплового излучения
Энергетическая светимость тела
– физическая величина, являющая- ся функцией температуры и численно равная энергии, испускаемой телом в единицу времени с единицы площади поверхности по всем направлениям и по всему диапазону частот:
Иначе
∫ или
∫
, где и
– излуча-
тельная (испускательная) способность тела или спектральная плотность
энергетической светимости.
Спектральная плотность энергетической светимости
(
) – функция частоты и температуры, характеризующая распределение энергии из- лучения по всему спектру частот (или длин волн), – величина, равная отноше- нию энергетической светимости
, приходящейся на малый спектральный интервал
( ), заключенный между и ( и ), к ширине этого интервала:
(
)
Поглощательная способность тела – функция частоты и температуры, показывающая, какая часть энергии электромагнитного излучения, падающего на тело, поглощается телом в области частот вблизи :
Абсолютно черное тело – это физическая абстракция (модель), под кото- рой понимают тело, полностью поглощающее все падающее на него электро- магнитное излучение. Для абсолютно черного тела поглощательная способ- ность равна единице:
Если тело вообще не поглощает энергию излучения, т. е. его поглоща- тельная способность
, то его называют абсолютно белым.
В природе не существует абсолютно черных и абсолютно белых тел. По- глощательная способность реальных объектов может меняться в пределах

7
. Такие тела называют серыми. Если отличия от крайних значе- ний не очень велики, то ими можно пренебречь в условиях конкретного рас- смотрения, и считать такие тела абсолютными.
1.2. Основные законы теплового излучения
Закон Стефана – Больцмана.
Энергетическая светимость абсолютно черного тела прямо пропорцио- нальна четвертой степени абсолютной температуры: где
⁄
– постоянная Стефана – Больцмана.
Закон смещения Вина.
В спектре излучения абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности, обратно пропорциональна абсолютной температуре тела:
, где
– постоянная
Вина.
Используя этот закон, можно измерять температуру удаленных объектов, а также температуру очень нагретых тел.
Закон Кирхгофа.
Отношение излучательной способности любого тела к его поглощатель- ной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты и не зависит от их формы и химической природы, т. е. является уни- версальной функцией длины волны (частоты излучения) и температуры: или
Поскольку для абсолютно черного тела
, универсальная функция
Кирхгофа выражает излучательную способность абсолютно черного тела:
Выражение для универсальной функции Кирхгофа было получено Рэлеем и Джинсом в рамках классической статистики:
Полученное выражение правильно описывало низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводило к резкому расхождению с экспери- ментом, а при высоких – к абсурдному результату (рис. 1).

8
Невозможность клас- сической физики теорети- чески объяснить экспери- ментальные данные по тепловому излучению по- лучила название «уль-
трафиолетовой
ката-
строфы».
Обилие законов, опи- сывающих различные стороны одного объекта исследования, но не дающих представления о целом, говорило о кризисе науки в данном направлении и сви- детельствовало о неверных подходах к решению проблемы.
Немецкий физик М. Планк в 1900 г. предложил принципиально новый подход: рассматривать тепловое излучение не как электромагнитные волны, а как поток частиц (квантов), энергия которых пропорциональна частоте излу- чения:
, где
– постоянная Планка;
– приведенная постоянная Планка.
На основании квантовых взглядов на природу излучения Планком было получено другое выражение для универсальной функции Кирхгофа, которое
«работало» адекватно для всех частот:
Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела фактически объединила в себе все экспериментальные законы теплового излучения.
Используя формулу Планка, получим закон Стефана – Больцмана.
Интегральная энергетическая светимость
∫
. Для абсо- лютно черного тела
Подставим выражение для
:
∫
∫
|
|
0
ω
f(ω,T)
Эксперимент
Формула Рэлея – Джинса
Рис. 1

9
∫
∫
Таким образом,
, где
⁄
– постоянная
Стефана – Больцмана.
Используя формулу Планка, получим закон Рэлея – Джинса.
Для больших частот
, тогда
Разложим функцию в ряд Тейлора:
(
)
(
)
Учитывая, что сумма
(
)
(
)
стремится к нулю, полу- чим
Тогда универсальная функция примет вид
Таким образом,
Используя формулу Планка, получим закон смещения Вина.
Перейдем от переменной к переменной :
{
, откуда
,
Тогда
|
| |
| |
|
Исследуем полученную функцию на экстремум.
Найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю:

10
|
|
(
)
;
Получили трансцендентное уравнение, которое проще всего решить гра- фически. Преобразуем полученное выражение:
;
;
Графиком функции является экспонента, функции
– гипербола. Графики пересекаются в точке с координатой
. Тогда
, откуда
, где
– постоянная Вина.
Проверим, соответствует ли данная точка максимуму функции
Для этого возьмем вторую производную:
(
(
))
Подставим найденное значение
:
Так как вторая производная функции
, то найденная точка соответствует максимуму, что и требовалось, исходя из экспериментального закона смещения Вина.
Таким образом,
1.3. Примеры решения задач
1. Какую температуру должно иметь тело, если оно при температуре окружающей среды излучает в 100 раз больше энергии, чем поглощает?
Решение. Энергия, излучаемая телом со всей поверхности по всем направлениям за время
, равна:
Энергия, поглощаемая всей поверхностью тела за время
, равна энер- гии, излучаемой средой за тот же промежуток времени:

11
, где – площадь поверхности тела.
По условию
. (1)
Выразим энергетическую светимость тела и среды через закон Стефана –
Больцмана и подставим полученные выражения в формулу (1):
;
;
Откуда
√
;
√
Ответ: 917 К.
2. Печь, потребляющая мощность
, имеет отверстие площадью
. Определить КПД мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна
Решение. КПД мощности, рассеиваемой стенками печи, равен отноше- нию мощности, рассеянной стенками к полной мощности, потребляемой печью:
;
⁄
Ответ:
3. Средняя энергетическая светимость поверхности Земли рав- на
⁄
. Какова должна быть температура поверхности Зем- ли, если условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициентом из- лучения
?
Решение. Коэффициент излучения
(или степень черноты) показывает отношение энергии теплового излучения серого тела согласно закону Стефана –
Больцмана, к излучению абсолютно черного тела при той же температуре. Ко- эффициент излучения абсолютно черного тела
Энергетическая светимость поверхности
Земли равна

12
Откуда
√
;
√
⁄
⁄
Ответ: 282 К.
4. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излуче- нию абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способ- ности приходится на длину волны
. Найти массу, теряемую
Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Оценить время, за которое мас- са Солнца уменьшится на 1 %.
Решение. Найдем массу, теряемую Солнцем за
Энергия излучения Солнца, согласно формуле Эйнштейна, равна
, где
– масса Солнца, теряемая за счет излучения.
Энергетическая светимость Солнца равна
, откуда
. Тогда
|
|
|
|
=
|
|
Таким образом,
⁄
(
)
Оценим время, за которое масса Солнца уменьшится на 1 %:
(
)
; кг (
⁄ )
(
)
⁄
лет
Ответ:
; лет.
5. Абсолютно черное тело находится при температуре
. В ре- зультате остывания тела длина волны, на которую приходится максимум спек- тральной плотности энергетической светимости, изменилась на
. До какой температуры охладилось тело?

13
Решение. Запишем закон смещения Вина для двух случаев:
{
или
{
Учитывая, что
, получим
;
;
(
)
;
;
Ответ:
6. Медный шарик диаметром поместили в откачанный сосуд, тем- пература стенок которого
. Начальная температура шарика
. Счи- тая поверхность шарика абсолютно черным телом, найти, через сколько време- ни его температура уменьшится в два раза.
Решение.
– убыль внутренней энергии шарика при остывании на температуру
Изменение внутренней энергии тела при нагревании/охлаждении выра- жается формулой
, где – теплоемкость тела.
, где
– радиус; – диаметр шарика;
⁄
– удельная теплоемкость меди;
⁄
– плот- ность меди.
Тогда
– энергия, испускаемая всей поверхностью ша- рика за время
Приравняем полученные выражения:
.
Получили дифференциальное уравнение с двумя переменными. Решим уравнение и найдем время, через которое температура шарика уменьшится в два раза:

14
;
;
∫
∫
;
(
)|
;
⁄
⁄
(
)
⁄
Ответ:
1.4. Задачи для самостоятельного решения
1. Абсолютно черное тело имеет температуру
. Какова будет температура тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в раз?
Ответ:
2. Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум спектральной плотности энергетической светимости соответствует длине вол- ны
. Принимая Солнце за абсолютно черное тело, определить:
1) энергетическую светимость Солнца; 2) поток энергии, излучаемый Солнцем.
Ответ:
⁄ ;
3. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения переместится с красной границы види- мого спектра (
) на фиолетовую (
)?
Ответ: увеличится в 16 раз.
4. Определить поглощательную способность серого тела, для кото- рого температура, измеренная радиационным пирометром
, тогда как истинная температура тела равна
Ответ:

15
5. Из смотрового окошечка печи излучается поток
⁄
Определить температуру печи, если площадь окошечка
Ответ:
6. При увеличении температуры абсолютно черного тела в два раза длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности тела, сместилась на
. Найти начальную и конечную температуру тела.
Ответ:
;
7. Найти мощность электрической лампочки, если температура нити рав- на
, площадь поверхности лампочки
, а отношение энергетиче- ской светимости нити лампочки к энергетической светимости абсолютно чер- ного тела при той же температуре равно 0,31.
Ответ:
8. Какая часть энергии Солнца рассеивается атмосферой, если длина вол- ны, на которую приходится максимум излучательной способности
, за пре- делами атмосферы равна 0,50 мкм, а на поверхности Земли – 0,55 мкм?