Елементи комбінаторики та основні поняття теорії ймовірностей

Основні поняття комбінаторики:

• КОМБІНАТОРИКА- галузь математики, в якій вивчаються питання про те,скільки різних випадків,підпорядкованих тим чи іншим умовам,можна скласти із заданих об´єктів.
• КОМБІНАТОРНА ЗАДАЧА – задача , що вимагає здійснення перебору всіх можливих варіантів або підрахунку їх числа.

ПРАВИЛА розв´язання комбінаторних задач

• 1.Правило суми.
• 2.Правило добутку.
• 3.Сполуки

Правило суми

• Якщо елемент а можна вибрати m способами, елемент в –

n способами, причому будь-який вибір елемента а відмінний від будь-якого вибору елемента в, то вибір « а чи в» можна зробити

m+n способами.

Правило добутку

• Перший елемент а можна вибрати m способами, другий елемент в –

n способами,

то вибір «і а і в» можна зробити

m⋅ n способами.

Комбінація

• Комбінацією без повторень з n елементів по k елементів називається будь-яка

k елементна підмножина

n елементної множини

С

ТАБЛИЦЯ

Основні поняття теорії ймовірностей

• Ймовірність – це можливість здійснення певної події у визначеній кількості випадків із загальної кількості можливих;

або:

• Ймовірність – ступінь упевненості в тому, що подія відбудеться
• Випробування – сукупність подій S, при дотриманні яких випадкова подія А може відбутись.
• Подія – результат випробування.

Класифікація подій

• Достовірна подія – це подія, яка обов’язково відбудеться при дотриманні певної сукупності умов.
• Неможлива подія – це подія, яка обов’язково не відбудеться при дотриманні певної сукупності умов.
• Випадкова подія – це подія, яка при дотриманні сукупності умов може або відбутися, або не відбутися.
• Однорідні випадкові події – масові випадкові події, які можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні одних і тих самих умов.
• Предмет теорії ймовірностей: закономірності, яким підкорюються масові випадкові події

Види випадкових подій:

• Несумісні події – це події, коли поява одної з них виключає появу інших подій у одному і тому ж випробуванні
• Сумісні події - це події, коли поява одної з них не виключає появу інших подій у одному і тому ж випробуванні
• Рівноможливі події – це події, які при дотриманні сукупності умов мають однакові ймовірності відбутися
• Повна група подій – сукупність події, коли в результаті випробування з’явилась хоча б одна з групи подій

Наслідки:

• * поява хоча б однієї події з повної групи подій є вірогідна подія,
• * коли події, які утворюють повну групу, є попарно несумісні, то у результаті випробування з’явиться одна і тільки одна з цих подій

Класичне визначення ймовірності

• Ймовірність появи події А – відношення кількості результатів випробувань, які сприяють появі події А, до загальної кількості рівноможливих несумісних елементарних результатів випробувань, що формують повну групу:

Властивості ймовірності:

• Ймовірність достовірної події = 1,
• Ймовірність неможливої події = 0,
• Ймовірність випадкової події – додатне число між 0 і 1:

Формули комбінаторики

• Комбінаторика – розділ теорії ймовірностей, який досліджує кількості комбінацій, які при виконанні певних умов можна скласти з елементів (будь-якої природи) заданої множини
• Переставлення – комбінації, які можна сформувати з одних і тих же n елементів, що відрізняються порядком розташування елементів:
• Розміщення – комбінації, складені з n різних елементів по m, які відрізняються або порядком, або складом елементів:
• NB!: формула розміщень, коли (m = n), перетворюється в формулу переставлень:

Приклад:

• Приклад:
• Скільки тетрамерів можна скласти з 6 амінокислот, коли важливий не тільки склад, але і порядок їх розташування?

Застосування електронних таблиць Microsoft Excel для розрахунку за формулами комбінаторики:

Використовуємо

Майстер функцій

(категорії функцій

або Статистичні,

або Математичні)

Вибір категорії функцій:

Необхідно вказати: Число n ; Вибране_число m

• Сполучення – комбінації з n різних елементів по m, які відрізняються складом елементів:

Сполучення: ЧИСЛКОМБ(число; число_вибраних)

До формул комбінаторики:

Правило суми:

• Коли деякий об’єкт А можна вибрати з сукупності об’єктів m способами, а інший об’єкт В можна вибрати з неї n способами, то
• вибрати або А, або В можна (m+n) способами.

Правило добутку:

• Коли об’єкт А можна вибрати з сукупності об’єктів m способами і після кожного такого вибору об’єкт В можна вибрати n способами, то
• пару об’єктів (А,В) у вказаному порядку можна вибрати (m*n) способами.

Приклад:

• У клітці сидять 5 мишей: 3 чорні та 2 білі. Дослідник випадковим чином бере 2 миші. Яка ймовірність, що серед них будуть такі миші:

а) одна чорна і одна біла,

б) дві чорні

Аналогічно для завдання б) :

• Аналогічно для завдання б) :