12 запятой вправо приводит к уменьшению показателя степени (число перед степенью десятки увеличивается – следовательно, домножать его уже нужно на меньшую степень десяти (для сохранения равенства исходному, перемещение влево – к увеличению (рассуждения аналогичны предыдущим) – все это должно быть очевидным, в общем-то. Благодаря свободе в перемещении положения запятой, эта форма представления вещественных чисел и стала называться формой с "плавающей" запятой. Тов случае экспоненциальной записи числа, можно выделить три компоненты этой записи порядок – показатель степени десяти (напомним, что показатель степени и степень – это разные вещи так, в записи 2^3 = 8, 8 – это степень (я степень двойки, а 3 – это показатель степени мантисса – то, что умножается на степень десяти знак – знак числа. В общем виде это можно записать так где – знак ("+" или "-"), – мантисса, – порядок. Например, в числе знак – "-", мантисса -
, порядок – 5. Суть экспоненциальной записи понимается еще лучше, если вспомнить, что любое число представимо в виде полинома
∑ где – число (в общем случае – вещественное, – основание системы исчисления,
-
-й разряд числа. Например Экспоненциальная форма записи – это, по сути, тот же полином, нос вынесенной за скобки степенью основания системы исчисления – изменяя показатель степени, мы можем произвольно менять в числе положение разделительной точки (идет за разрядом, при котором основание системы исчисления находится в й степени. Также важно понимать, что в виде полинома ив экспоненциальной форме может быть представлено число любой системы исчисления будь-то десятичная, двоичная, или троичная и т.д. Итак, с вопросами компактного представления слишком больших или маленьких чисел и сохранения, при этом, максимального числа значащих цифр, вроде бы разобрались – все это становится возможным благодаря экспоненциальной форме записи. Однако, есть еще одно "но. Рассмотрим пример число 0,00002334 в экспоненциальной форме можно записать разными способами например, так й способ й способ Допустим, что устройство ЭВМ может хранить только первые 4 разряда мантиссы предположим, что числа хранятся в ЭВМ в десятичном виде, а остальные будут отброшены, что ведет к потере точности. Тогда в первом случае вся мантисса поместится в соответствующую область памяти ЭВМ, а во втором случае часть будет отсечена, и поместится лишь – два

13 других разряда будут утеряны, хотя в обоих случаях число одно и тоже. Дабы избежать подобного казуса, применяют т.н. нормализацию мантиссы – запятая ставится после первой значащей цифры слева. Нормализация позволяет сохранить действительно максимальное количество значащих цифр. Тов первом случае (из вышеприведенного примера) мантисса была нормализована, а во втором – нет. Также несложно видеть, что мантисса всегда находится в диапазоне
, где – основание системы исчисления. Например, для десятичной системы, нормализованная мантисса всегда будет в пределах
, для двоичной – в пределах
– те, от 1 дох в десятичной (не будем забывать, что двоичная система позволяет выражать не только целые, но и вещественные числа. Исключение составляет разве что ноль – представление ноля – это уже вопрос договоренности. Машинное представление чисел с плавающей запятой Наиболее распространенный стандарт машинного представления чисел с плавающей запятой
– это IEEE-754, который мы и будем рассматривать. В зависимости оттого, сколько байт отводится на число, различают такие форматы число половинной точности (2 байта число одинарной точности (4 байта число двойной точности (8 байт число четверной точности (16 байт. Все эти форматы друг от друга отличаются только размером и отводимым количеством разрядов на мантиссу и порядок, а в остальном полностью идентичны, поэтому, для понимания стандарта, достаточно рассмотреть один из форматов. Рассмотрим формат одинарной точности. На число отводится 4 байта (32 бита) (рис. 3.1). й бит указывает на знак (0 – положительное число (ноль – также положительное число, 1 – отрицательное. Биты 30 .. 23 (итого,
1 байт) указывают на порядок числа. Биты 22 .. 0 (итого, 23 бита) отводятся под мантиссу. Рис. 3.1 – Машинное представление вещественного числа одинарной точности. Преобразование десятичного числа в машинный код рассмотрим на примере. Пусть дано число -12,364. Знак числа отрицательный – следовательно, й бит будет установлен в единицу. Берем модуль числа 12,364. Переводим его в двоичную систему исчисления (напомним, что целая и дробная части переводятся отдельно
0 364 0 736 1 664 0 728 1 472 1 328 1 456 0 944 0 656 0 912 1 888 1 312 1 824 1 776 0 624 1 648 1 552 1 248 1 296 1 104 0 496

14 0 592 0 208 0 992 1 184 0 416 1 984 0 368 0 832 1 968 Итак, в двоичную систему перевели. В принципе, полученное двоичное число из формы записи с фиксированной запятой "легким движением руки" превращается в число в экспоненциальной форме Выполним нормализацию полученного числа Итак, после нормализации мантисса попала в интервала порядок стал равным 3 запятую сдвинули на 3 разряда влево. Если число – не ноль, то первый разряд мантиссы всегда равен единице. Следовательно, нет смысла хранить его в памяти – вместо того, чтобы хранить разряд, значение которого для любого числа мы итак знаем, можно "захватить" еще один дополнительный разряд справа, повысив точность представления числа. Отбросим первый разряд мантиссы (эту единицу мы будем просто подразумевать, отсчитаем вправо 23 бита из оставшихся, и получим то. нашу мантиссу. Но, все не так просто. Подобно тому, как при операциях с десятичными числами мы используем округление, также округление выполняется и двоичных чисел. Так, если, отсчитав вправо 23 бита, мы обнаруживаем, что 24- бит – единица, то мантиссу нужно округлить. Делается это просто прибавлением к полученному разрядному числу единицы. В нашем случае имеем й бит – единица Итого, мантисса числа Порядок числа равен +3. Не будем забывать, что, в общем случае, порядок может быть и отрицательным (если запятую сдвигать при нормализации вправо. Дабы не хранить еще и знак порядка (помимо знака числа в целом, было введено понятие порядка со смещением (смещенного порядка. Он получается прибавлением к истинному значению порядка такого смещения, чтоб сумма при минимальном истинном значении порядка была равна нулю. Так, если мин. значение порядка –
(-127), а максимальное – (+128), то, добавив смещение +127, мы получим смещенный порядок, который всегда будет только положительными будет изменяться в диапазоне 0-255. Для хранения
ЧБЗ в диапазоне 0-255, как известно, достаточно одного байта. Итак, истинный порядок в рассматриваемом примере равен +3. Добавляем 127, получаем смещенный порядок (иначе еще, машинный порядок Зная мантиссу, порядок и знак числа, можем записать его полностью
11000001010001011101001011110010 Разбиваем на тетрады, получаем шестнадцатеричное машинное представление
1100 0001 0100 0101 1101 0010 1111 0010