1 2 за допомогою двох перестановок з чисел 1, 2, 3,…, n, тобто , причому перестановку а1, а2,…, аn завжди можна вибрати довільно. Означення 7. Підстановка φ називається парною, якщо сумарне число інверсій у верхній і нижній перестановках парне, в противному разі вона називається непарною. Приклад. Визначити парність підстановки 6-го степеня φ = . У верхній перестановці цього запису 5 інверсій, а в нижній їх 11. Загальне число інверсій в обох перестановках – 16. Отже, підстановка φ парна. Запишемо підстановку, що розглядається так: φ = . У верхній перестановці цього запису 0 інверсій, а в нижній – їх 8. Загальне число інверсій – 8. Цей приклад показує, що при різних записах даної підстановки парність загального числа інверсій зберігається, а саме число інверсій змінюється. 3. Визначники n-го порядку та їхні властивості Нехай дано квадратну матрицю n-го порядку А= . Означення 8. Визначником (детермінантом) n-го порядку матриці А називається число, яке дорівнює сумі n! доданків, кожний з яких є добутком n елементів, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці із знаком (-1)t, де t – число інверсій у підстановці із індексів елементів добутку. Детермінант матриці А позначають символами Δ=detA= = . За означенням 8 Δ= . У цьому записі перші індекси – номери рядків. Другі індекси - номери стовпців визначника матриці А, t– число інверсій у підстановці . Знак, з яким член входить до визначника, визначається числом інверсій у перестановці ( ). Власне він визначається парністю перестановки ( ): якщо перестановка парна, то член входить до визначника із знаком плюс, в протилежному разі – із знаком мінус. Зауважимо, що при визначенні знака даного члена визначника за допомогою підстановки, утвореної індексами його елементів, не обов’язково розташовувати множники члена в порядку зростання їхніх перших індексів. Якщо і є один і той самий член, то підстановки і , як відомо, будуть однієї і тієї самої парності. Приклад. Обчислити визначник, користуючись лише означенням Δ= . Даний визначник має 4!=24 члени. Відмінним від нуля елементом четвертого рядка є тільки 4. Не дорівнюють нулю два добутки, в які входить 4, а саме: 1∙2∙3∙4 і 3∙(-1)∙3∙4. Перший з них входить у визначник із знаком плюс. Знак другого добутку збігається із знаком числа (-1)t, де t – число інверсій у підстановці , t =1, тому (-1)1=-1. Отже, Δ=1∙2∙3∙4+3∙1∙3∙4=60. Розглянемо деякі елементарні властивості визначників n-го порядку, які стосуватимуться умов, за яких визначник дорівнює нулю, і перетворень матриці, які не змінюють її визначника або ж викликають зміни, що легко враховуються. Властивість 1. Визначник матриці не змінюється при її транспонуванні. detA=detAt. Дана властивість стверджує рівноправність рядків і стовпців визначника: будь-яке твердження про рядки визначника справедливе й для його стовпців і навпаки. Властивість 2. Якщо який-небудь з рядків (стовпців) визначника складається з нулів, то визначник дорівнює нулю. ► Це твердження безпосередньо випливає з означення 8. Справді, нехай всі елементи i-го рядка визначника є нулі. Оскільки до кожного члена визначника входить як співмножник один елемент i-го рядка, то всі члени визначника дорівнюють нулю, а отже, і визначник дорівнює нулю. ◄ Властивість 3. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний. (Довести самостійно). Властивість 4. Визначник, в якому є два однакові рядки (стовпці), дорівнює нулю. ► Нехай у визначнику однакові s-й і k-й рядки. Поміняємо їх місцями, дістанемо визначник detÃ. За властивістю 3, detÃ=–detA. Оскільки переставлено однакові рядки, то визначник detA від цього не зміниться, і тому detÃ=detA. Звідси випливає, що detA=– detA. Отже, detA=0. ◄ Властивість 5. Якщо всі елементи одного з рядків (стовпців) визначника помножити на деяке число λ, то визначник помножиться на λ. ► Припустимо, що всі елементи i-го рядка визначника помножено на число λ. Оскільки до кожного члена визначника входить співмножником один елемент з i-го рядка, то в кожному члені з’явиться множник λ. Тому і визначник помножиться на λ. ◄ Наслідок. Спільний множник всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника. Властивість 6. Визначник, в якого є два пропорційні рядки (стовпці) дорівнює нулю. ► Нехай k-й рядок визначника detA дістаємо з s-го рядка (k≠s) множенням s-го рядка на деяке число λ, тобто (j= ). Винісши спільний множник λ елементів k-го рядка за знак визначника, дістанемо визначник, в якого k-й і s-й рядки будуть однакові. Цей визначник, за властивістю 4, дорівнює нулю. Отже, й визначник detA дорівнює нулю. ◄ Властивість 7. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників: = + . Властивість 8. Якщо один з рядків (стовпців) визначника є лінійною комбінацією інших його рядків (стовпців), то визначник дорівнює нулю. ► Справді, нехай i-й рядок визначника detA є лінійною комбінацією mінших його рядків,2≤ m ≤n–1. Тоді кожен елемент i-го рядка є сумою m доданків. За властивістю 7, detA дорівнює сумі m визначників, в кожного з яких i-й рядок буде пропорційний одному з інших його рядків. Всі ці визначники, за властивістю 6, дорівнюють нулю, а тому дорівнює нулю й визначник detA. ◄ Властивість 9. Якщо до одного з рядків (стовпців) визначника додамо інший його рядок (стовпець), помножений на деяке число λ, то визначник не зміниться. ► Справді, припустимо, що до i-го рядка визначника detA додано s-й рядок, помножений на число λ. В новому визначнику detà кожен елемент i-го рядка має такий вигляд: (j= ). За властивістю 7, визначник detà дорівнює сумі двох визначників, перший з яких є detA, а другий дорівнює нулю, оскільки в ньогоi-й і s-й рядки пропорційні. Отже, detà = detA. ◄ 4. Обчислення визначників Розглянемо квадратну матрицю n-го порядку A= . Викреслимо в ній i-й рядок і j-й стовпець. Елементи, що залишилися утворюють квадратну матрицю (n–1)-го порядку. Позначимо визначник цієї матриці через і назвемо його мінором (n–1)-го порядку матриці A (від слова minor – менший). Означення 9. Мінором елемента визначника Δ n-го порядку називається визначник (n–1)-го порядку, який дістаємо із Δ викреслюванням рядка і стовпця, які проходять через даний елемент. = . Означення 10. Алгебраїчним доповненням елемента визначника Δ називається мінор цього елемента, взятий із знаком (–1)i+j, тобто =(–1)i+j . (12) Приклад. Знайти алгебраїчне доповнення елементів і визначника Δ= . За формулою (12) знаходимо Теорема 4. Кожний член добутку елемента визначника Δ n-го порядку на його алгебраїчне доповнення є також член визначника і притому з тим же знаком, що і в добутку . ► Кожний член мінора елемента має вигляд (13) В перших індексах члена (13) не зустрічається i, а в других індексах елементів не зустрічається j тому, що мінор не містить елементів i-го рядка і j-го стовпця визначника Δ. В мінор член (13) входить із знаком (–1) , де – число інверсій у перестановці В алгебраїчне доповнення цей член увійде із знаком О тже, кожен член добутку має вигляд: (14) і входить в із знаком . З іншого боку (14) є членом і самого визначника Δ, оскільки (14) є добутком елементів Δ, взятих по одному із кожного рядка і стовпця визначника Δ. Розглянемо підстановку Число інверсій в першій перестановці дорівнює i-1. Дійсно, і утворює інверсію з кожним з чисел 1,2,…, i-1. Останні елементи i+1,…,n більші ніж і, тому не утворюють інверсію з і. Число інверсій в другій перестановці можна підрахувати так. Десь серед чисел є числа 1,2,…,j-1. Очевидно, що кожне з чисел 1,2,…,j-1 знаходиться в інверсії з j. Що стосується j+1,…,n, то ці числа не утворюють інверсії з j. Таким чином, відносно j маємо j-1 інверсій. Сюди треба ще додати число інверсій в перестановці . Отже, число інверсій в другій перестановці дорівнює j-1+ . Таким чином, знак члена (14) у визначнику Δ дорівнює , тобто у визначник Δ член (14) входить з тим же самим знаком, що і в добуток . ◄ Теорема 5. Якщо у визначнику n-го порядку всі елементи і-го рядка (j-го стовпця) рівні нулю, крім , то такий визначник дорівнює добутку елемента на алгебраїчне доповнення цього елемента. ► Дійсно, якщо у визначнику Δ всі елементи і-го рядка дорівнюють нулю, крім , то всі члени визначника, крім членів вигляду Рівні нулю. А ці члени входять в . Навпаки, в силу теореми 4, кожен член добутку входить у визначник і притому з тим же самим знаком. Отже, Δ= . ◄ Теорема 5 має велике практичне значення. Використовуючи властивості визначників, вона дає можливість перейти до визначника (n–1)-го порядку і т.д. поки не прийдемо до визначника другого порядку. Приклад. Обчислити визначник Δ= При допомозі властивостей визначників перетворимо Δ так, щоб всі елементи рядка чи стовпця були рівними нулю, крім одного. Візьмемо за ведучий елемент До третього стовпця додамо перший, помножений на –1, а до четвертого додамо перший, помножений на –2, дістанемо Отже, Δ= –24. Квадратна матриця А=( ) n-го порядку називається трикутною, якщо всі її елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто якщо =0 для будь-якого і<k або =0 для будь-якого і>k. Визначник трикутної матриці також називають трикутним. З теореми 5 випливає наслідок. Наслідок. Якщо визначник Δ має трикутну форму, то він дорівнює добутку діагональних елементів. , Як відомо, кожну квадратну матрицю елементарними перетвореннями можна перетворити на трикутну. Отже, обчислення будь-якого визначника можна звести до обчислення трикутного визначника. Приклад. Обчислити визначник В іднімемо від четвертого рядка третій, від третього другий, від другого перший, дістанемо Віднімемо від четвертого рядка третій, а від третього другий, матимемо Від четвертого рядка віднімемо третій, матимемо Теорема 6. Визначник Δ n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення: (15) (16) (15) – розклад визначника за елементами і-го рядка, (16) – розклад визначника за елементамиj-го стовпця. ► Доведемо теорему для стовпців, для рядків доведення аналогічне. Кожний елемент j-го стовпця визначника подамо у вигляді суми n доданків, з яких n–1 доданки дорівнюють нулю, а один (і-ий) доданок дорівнює : =0+0+…+0+ +0+…+0, ( ). Тоді, в силу властивості 7 визначника, матимемо (17) В кожному з визначників правої частини (17) всі елементи j-го стовпця, крім одного, дорівнюють нулю. Тому до них можна застосувати теорему 5. Отримаємо ◄ Теорема 7. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника detA на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю: , (i≠s), (18) , (j≠k). (19) ► Доведемо справедливість рівності (18). Нехай detA= - довільно вибраний визначник n-го порядку. Розкладемо його за елементами s-го рядка. Матимемо detA= (20) Алгебраїчні доповнення ( ) не залежить від елементів . Тому рівність (20) буде справедливою при будь-яких значеннях елементів , зокрема й тоді, коли = . Але при = визначник detA матиме два однакові рядки і тому дорівнюватиме нулю. Отже, замінивши в обох частинах рівності (20) елементи відповідними елементами , дістанемо (при i≠s) ◄ Вправи для самостійного розв’язування Розв’язати системи за правилом Крамера а) б) 2. Знайти число інверсій в перестановках: а) (5, 4, 1, 7, 6, 3, 2); б) (n, n-1, … , 2, 1); в) (7, 6, 9, 1, 2, 3, 5, 8, 4). Чи парні підстановки? а) б) Обчислити всі мінори другого порядку визначника Обчислити алгебраїчні доповнення елементів 3-го стовпця визначника Обчислити коефіцієнт числа x у визначнику Обчислити визначники а) б) 8. Розв’язати рівняння: а) б) 1 2 |