2.2 Принцип тимчасової вартості грошей у моделях управління запасами
Аналізуються різні модифікації багатономенклатурної системи управління запасами з постійним попитом і з загальними поставками, для яких знайдені оптимальні стратегії управління запасами, що дозволяють враховувати тимчасову вартість грошей і максимізує показник чистого приведеного доходу на основі використання показника інтенсивності потоку доходів. Іншими словами, на відміну від аналогічної класичної моделі враховується структура процентних ставок (за схемою простих відсотків стосовно до одного періоду часу між поставками партій товарів).
При врахуванні вартості грошей у часі вирішення задачі оптимізації буде залежати від конкретної, прийнятої в рамках моделі схеми виплат витрат на зберігання, що є специфікою умов виплат таких витрат. Зазначені виплати можуть бути прив'язані до різних варіантів таких схем.
Розглядаємо класичну багато продуктову модель управління запасами з постійним попитом, загальними поставками і з урахуванням вартості грошей у часі. Відзначимо наступні особливості моделі і прийняті далі позначення:
Р П i - прибуток від реалізації одиниці i - товару;
r - річна ставка нарощення, що діє на ринку;
Підкреслимо, що в рамках аналізованої тут моделі, стосовно до відповідних грошових потоків, що характеризує роботу системи управління запасами, також приймаємо наступне:
Вихідні платежі співвідносимо з початковими моментами кожного відповідного періоду часу між поставками;
Вхідні платежі співвідносимо з серединами таких періодів на рисунку 2.2
Рисунок 2.2 – Модель вхідних платежів
При виплаті витрат на зберігання пренумерандо маємо:
Вихідні платежі розраховуємо за формулою
C0 + C0Пi qi + CПi qi + Chi qi Tоб /2 (2.5)
доданок C 0 в формулі (2.5) враховує виплати на початку періоду поставки, що обумовлюються накладними витратами на поставку замовлення, що не залежать від обсягів i - товарів в партії, що поставляється замовлення; доданок C0Пi qi враховує відповідні витрати на поставку, які залежать від обсягів i - замовлення; доданок CПi qi враховує витрати, що обумовлюються вартістю партії i – замовлення; нарешті, доданок
представляє витрати зберігання на періоді поставки по всій групі товарів, які, як уже зазначалося вище, співвідносимо з початком періоду поставки, тобто в рамках даної моделі відповідні виплати приймаються пренумерандо;Вхідні платежі
(2.6)З П i q i – повернута вартість партії i – замовлення після реалізації відповідного товару, а PПi qi – відповідний прибуток.
При рівномірному попиті повернення вартості партії замовлення (з відповідним прибутком), реалізується по кожному i – товарів також рівномірно протягом усього періоду часу між сусідніми загальними поставками. Оскільки в рамках даної моделі для врахування вартості грошей у часі (доходів / витрат) приймається схема нарахування простих відсотків, то неважко бачити, що, можна співвідносити момент отримання всієї відповідної грошової суми
саме з серединою інтервалу між загальними поставками.Вимога максимізації інтенсивності сумарного потоку доходів по всій групі товарів в рамках даної моделі системи управління запасами з урахуванням тимчасової вартості грошей призводить до задачі максимізації наступної цільової функції (позначаємо її через F) :
F max, (2.7)
де
F = 1 / T об [ q i ( C П i + P П i ) - ( 1 + r T об / 2 )*
*( C 0 + C 0П i q i + C П i q i + C h i q i T об / 2 )], (2.8)
в області Т об > 0, причому, q i і T об пов'язані рівністю Т об = q i / D i .
Дійсно, з огляду на прийняту в рамках аналізованої моделі схему нарахування простих відсотків (для врахування вартості грошей у часі) і обраний спосіб представлення еквівалентного результуючого грошового потоку (співвіднесення його з моментами, відповідними серединам інтервалів часу між загальними поставками), то зрозуміло, що якщо, наприклад, показник інтенсивності потоку доходів необхідно привести до доби, то слід відповідно значення F додатково помножити на 1 / n , де n - число робочих днів у році. Наявність такого множника не вплине на процедури визначення цікавлять нас параметрів оптимальної стратегії управління в представленій вище задачі оптимізації.
Порівняємо модель з класичним її аналогом, в рамках якого не враховується тимчасова вартість грошей (наприклад, умовно приймається, що r = 0) і, крім того, витрати З0П i на поставку одиниці i - продукції прийнято включати в її вартість (т. е. умовно приймається, що С 0П i = 0). Для цього розглянемо відповідний (позначимо його через F0 ) окремий вид наведеної вище цільової функції F для випадку r = 0 і С 0П i = 0 (з урахуванням рівності Т об = q i / D i ). Тоді відповідна задача оптимізації набирає вигляду
F0 (Тоб ) max, (2.9)
де
F0 (Тоб ) = Di (CПi + PПi) –
(2.10)Опускаючи перший і третій доданок (які не залежать від вибору тривалості періоду часу Т об між поставками), замінюючи знак цільової функції на протилежний і розкриваючи дужки отримуємо еквівалентну задачу оптимізації:
min (2.11)Легко бачити, що отримана задача оптимізації (як окремий випадок поставленої вище задачі максимізації інтенсивності доходів для даної моделі системи управління запасами) повністю еквівалентна задачі мінімізації витрат в рамках класичної багатономенклатурної моделі управління запасами з постійним попитом. При цьому оптимальні обсяги або розміри i - замовлення q i про (економічні розміри i - замовлення) визначаються рівностями, відомими як модифікації відповідної формули Уїлсона:
(2.12)причому оптимальне значення Т об * тривалості періоду часу між загальними поставками становить
(2.13)1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 14