Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

^{на елементарний проміжок} ^{t; t dt}^,

а попередні k 1 точок найпро-

^{стішого потоку – на проміжок} ^{0; t}^{. Ймовірність першої події дорів-}

^tk 1

^{нює dt, ймовірність другої події – Pt}^{k 1} ^



(k 1)!

_et_,

тоді

звідси маємо

^fk^t ^{dt }

^tk 1


(k 1)!
e^tdt,

^fk^t <sup>

</sup> ^tk 1

(k 1)!
_et_,
t 0.
(1.14)

Закон розподілу випадкової величини T^(k)

зивається закономЕрлангаk-го порядку.

зі щільністю (1.14) на-

При

t 0.

k 1

маємо показниковий закон розподілу:

f(t)   e^t,

Означення.Потоком Ерланга

k-го

порядку називається потік

Пальма, у якого інтервали між подіями розподілені за законом Ер-

ланга

k-го

порядку (k 2, 3, ). .

Враховуючи, що випадкова величина T^k

– це сума kнезалежних

випадкових величин

T_i,

кожна з яких розподілена за показниковим

законом з параметром ,

і використовуючи властивості математич-

ного сподівання та дисперсії, отримаємо

_ ^k _

 ^k ^{k1 k}

M_T

_ ^{ M}_^Ti_ ^ _ ^M^Ti ^{ k M}^Ti ^{ k }

 i1  i1 ^{ 
де M}^T ^{ 1 – математичне сподівання проміжку між послідо-}



i _

вними подіями найпростішого потоку.
Аналогічно

_ ^k <sub>

</sub> k _ k _{1 k}

D_T

_  D_T_i  _ D_T_i  k D_T_i  k _{ 2}  _{ 2}

_i 1 _ i 1

1
^{де D}^Ti ^ _2

– дисперсія проміжку між послідовними подіями найпростішого потоку.

Тоді


Таким чином,

 ^_T^{(k) }_  ^k.


M^T^{k }  ^k, D^T^{k }  ^k, _T_  .

(1.15)

  _   _^{2 i} _
Аналіз формул (1.15) показує, що при збільшенні порядку потоку Ерланга збільшується математичне сподівання і дисперсія проміжку між двома послідовними подіями потоку.

Якщо одночасно з “проріджуванням” найпростішого потоку зміни-

ти масштаб по осі Ot(діленням на

k),

то отримаємо нормованийпо-

тік Ерланга

k-го

порядку, інтенсивність якого не залежить від k.

Інтервал часу

_T ^k

між послідовними подіями в нормованому по-

тоці Ерланга k-го порядку має щільність

k
Оскільки

f^ (t) 

^k ^ktk 1

(k1)!
_e kt_,
t 0.
(1.16)

_ ^k

_T^k _{1 k}

T  _T_i,


k

k
i 1

(1.17)

тоді, використовуючи формули (1.15), маємо
M^T^{(k) } _{1 k 1}




M^T^{ k } ^    ,

^{ } k k  

D^T^{(k) } _{1 k 1}




D^T^{ k } ^    ,

  _k²

_k2 _2

k²

 ^_T^{(k) }_   .

(1.18)

Інтенсивність

_( k)

нормованого потоку Ерланга

k-го

порядку не

залежить від kі при будь-якому значенні kдорівнює інтенсивності початкового найпростішого потоку:

_( k) _

1


_{ } ^k _


MT
 

 .

Проаналізуємо, як змінюється розподіл інтервалу часу

_T ^k

між

послідовними подіями нормованого потоку Ерланга

k-го

порядку при

збільшенні k.

По-перше, зі збільшенням ^kцей розподіл наближається до нор-


k
_ ^k ^{1 k}

мального. Дійсно, згідно з (1.17), T

 _T_i,

i 1

де T_i

– незалежні випад-

кові величини, розподілені за показниковим законом з параметром .

k

Отже, при достатньо великому kсума

^Ti

i 1

буде мати розподіл, бли-

зький до нормального (згідно з центральною граничною теоремою для

a M^T^{ k }  ¹ ,  ^_T^{(k) }_   ¹ .
(1.19)

  _{ }

Отже, математичне сподівання не змінюється при збільшенні k,

а середнє квадратичне відхилення зменшується обернено пропорційно

k. Як зазначено в [5, с. 76], досвід розрахунків показує, що при збі-

льшенні k(порядку 10–20) з достатньою точністю можна вважати за- кон розподілу інтервалу між послідовними подіями в нормованому

потоці Ерланга нормальним з параметрами

a ¹ ,  ¹ .



По-друге, разом з “нормалізацією” закону розподілу інтервалу при зростанні ^kйого середнє квадратичне відхилення прямує до 0,

тобто інтервал стає все менш випадковим, наближаючись до свого ма-

тематичного сподівання ¹ ,

1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   36

скачати