Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

Рисунок 1.5

Розв’язання

Припустимо, що випадкова величина T^ набула деякого значення з

^{елементарного проміжку} ^{t; t dt}^.

дорівнює елементу ймовірності:

Ймовірність цієї гіпотези наближено

P_T^ _t; t dt_ 

^f ^t^dt.

Знайдемо умовний розподіл проміжку Qза цієї умови. Позначимо умовну щільність розподілу випадкової величини Qпри цій гіпотезі че-

рез

^fq^{q/ t}^.

Оскільки точка t^ потрапляє на вісь Otвипадково, то при цій гіпо-

^{тезі вона буде мати рівномірний розподіл на проміжку} ^{0; t}^:

^f^{q/ t} ^{ 1 ,}

q _t

0  q t,

t 0.

За інтегральною формулою повної ймовірності маємо



q
^fq^q ^ _

0

^f^q/t ^{ f} ^t ^dt.

Оскільки

^fq^{q/ t}

відмінна від 0 лише при

q t, тоді



^fq^q ^ _

q

^f ^t


t
dt,
q 0.

Оскільки за формулою (1.4)

^f ^t ^{ tf(t) , отримаємо}

m_t

^ tf_t_{ 1} ^

^fq^q ^ _{ tm}

dt

m

_ f(t)dt.

(1.8)

q ^{t t}q
Зазначимо, що інтеграл у формулі (1.8) визначає ймовірність події

T q. Оскільки випадкова величина Tмає функцію розподілу F(t),

тоді

^P^{T q} ^{ 1  F}^q^,

звідки щільність розподілу випадкової величи-

ни Qдорівнює:


q
_{f(q) } 1  F(q) _.

m_t
Враховуючи, що вигляд щільності розподілу не залежить від позна- чення аргументу, маємо:

q
_{f(t) } 1  F(t) _.

m_t
(1.9)

Аналогічно щільність розподілу випадкової величини Rмає вигляд

r
_{f(t) } 1  F(t) _.

m_t
(1.10)

Знайдемо математичні сподівання та дисперсії випадкових вели-

чин Qі R, а також їх коваріацію.

Враховуючи, що

T^  Q R,

отримаємо

M(T^ )  M(Q)  M(R).

Оскільки випадкові величини Q і R однаково розподілені, тоді

M(Q)  M(R) , звідси

 
MT^

M(Q)  M(R)  

M_T² _

.
(1.11)

Можна показати, що

2 2m_t

D(Q)  D(R) 

^₃ ^T _ 1

3m 4

^MT2 ^2

_m2
(1.12)

^{де }₃ ^T

t t

– початковий момент третього порядку випадкової ве- личини ^T.

^Kqr

_ ^3 ^T

6m

^MT2 ^2



.

4m²
(1.13)

t t
Доведення формул (1.12), (1.13), а також інформація про умовні

^{закони розподілу складових системи випадкових величин} ^{Q; R}  ^міс- тяться в [5, с. 61–63].

Приклад 1.2. Пасажир виходить на автобусну зупинку в деякий момент часу, не пов’язаний з розкладом руху автобусів. Потік автобу- сів – потік Пальма з інтервалами, які мають рівномірний розподіл у межах від 5 до 10 хвилин. Знайти: 1) щільність розподілу того інтерва- лу між автобусами, на який потрапив пасажир; 2) щільність розподілу часу очікування Hавтобуса; 3) середній час очікування автобуса.

Розв’язання

Як відомо, якщо неперервна випадкова величина Xрівномірно ^{розподілена на інтервалі} ^{a; b}^{, тоді}

_ 0,

x  a

_ 0,

x a

_ 1 _ x a




f( x)  _{ b a}, a x b, ^{F( x) } _{ b a}^,

a x b,

_ 0,

x b

_ 1,

x b

M( X) 

a b_, 2
D( X) 

^{b a}2

,

12
 ( X) 

b a_.

Згідно з умовою задачі

^t^5;10^,

отже,

_ 0,

t 5

_ 0,

t  5

¹  ^{x 5 5  10}

5
f(t)  _ , 5  t 10,



F(t)  <sub>

</sub> 5

, 5  t 10,

m_t ₂

 7,5.

_ 0, t  10

_ 1,

t  10

пасажир, згідно з формулою (1.4), має вигляд:

тоді

^f ^t ^{ tf(t) ,}

m_t

t  0,

^{де t}^5;10^.

f^(t) 

t


37, 5

2. 
   Щільність розподілу випадкової величини R– часу очікування, згід- но з формулою (1.10), має вигляд
   

_ 0,

 ₁

t 0



^f^t ^{ }

, 0  t 5,

7,5 _.


^{r }10  t

, 5  t 10

^ 37,5





3. 
   Середній час очікування
   

0, t 10

5 _t 10

10  t

0 5
^mr _{ 7,5} ^dt _ ^t _37,5 ^{dt 6,11}^хвилин^.

Ще раз підкреслимо, що найпростіший (стаціонарний пуассонів- ський) потік, інтервали часу між послідовними подіями якого однако-

во розподілені за показниковим законом:

f(t)   e^t,

t 0,

є випад-

ком потоку Пальма. Використовуючи формули (1.9) та (1.10), можна ^{показати, що випадкові величини} Q^{і Rтакож розподілені за показ-} никовим законом:

q
f(t)   e^t,

t 0,

f(t)   e^t,

t 0.

r
Це справді так, оскільки відсутність післядії у найпростішому по- тоці дозволяє стверджувати, що розподіл часу, який залишився до най- ближчої події потоку, такий самий, що й розподіл часу між подіями потоку; наявність події в початку відліку проміжку жодним чином не впливає на довжину, що залишилася.

Відсутність післядії дозволяє стверджувати, що випадкові вели- чини Qі Rдля найпростішого потоку незалежні. Дійсно, в найпрос- тішому потоці будь-яка докладна інформація про поведінку системи в

минулому (до моменту часу

t₀ )

не містить жодних відомостей про те,

як повинен відбуватися процес у майбутньому (після

t₀ ).

Це головна

причина того, що інженерні задачі, які пов’язані з випадковими проце- сами, легко розв’язуються в тому випадку, коли зміна станів фізичної

системи S, в якій розглядається випадковий процес, відбувається під

впливом найпростіших потоків подій. Складніше розв’язуються задачі дослідження випадкових процесів у тому випадку, коли потоки подій

^{є нестаціонарними пуассонівськими (зі змінною інтенсивністю }^t^),

але важлива властивість – відсутність післядії – при цьому зберігаєть-

ся. Це дозволяє, досліджуючи процес у майбутньому (при

t t₀ ),

вра-

ховувати лише стан системи в момент часу t₀

(теперішній) і не врахо-

вувати перебіг процесу в минулому (при t t₀ ).

Потоки Пальма мають широке застосування в теорії надійності, теорії масового обслуговування – галузі прикладної математики, де використовуються методи теорії випадкових процесів.

Теорія масового обслуговування – це розділ прикладної матема- тики, що вивчає процеси з опрацюванням часто повторюваних одно- рідних подій, які з’являються в системах виробництва, обслуговування та управління. Прикладом згаданих подій є заявки на підприємствах побутового обслуговування, в банківських установах, в аудиторських фірмах, передача та опрацювання інформації, операції на автоматизо- ваних лініях виробництва тощо. Задачею теорії масового обслугову- вання є встановлення та вивчення залежностей між характером потоку заявок, кількістю каналів обслуговування, продуктивністю окремого каналу та ефективним обслуговуванням із метою відшукання найкра- щих способів управління процесами обслуговування.

Потоки Пальма зустрічаються у вигляді вихідних потоків систем масового обслуговування. Якщо на будь-яку систему поступає потік заявок, то система поділяє його на два потоки: потік обслужених танеобслуженихзаявок.

Потік необслужених заявок часто поступає на деяку іншу систему масового обслуговування. Основною в теорії вихідних потоків є тео-ремаПальма.

Нехай на деяку систему масового обслуговування поступає потікзаявок типу Пальма, причому заявка, яка надійшла, коли всі каналибули зайняті, отримує відмову (не обслуговується). Якщо час обслу-говування має показниковий розподіл, то потік необслужених заявоктакожє потокомтипуПальма.

Зокрема, якщо вхідний потік заявок є найпростішим, то потік не- обслужених заявок, не будучи найпростішим, буде мати обмежену пі- слядію.