Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

n-канальна СМО з обмеженою чергою

Розглянемозадачу.На вхід n-канальної системи масового обслу-

говування надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю .

Інтенсивність найпростішого потоку обслуговувань кожного каналу

дорівнює . Потрапивши на обслуговування, вимога обслуговується

до завершення. Якщо вимога застає всі канали зайнятими, то вона стає в чергу і чекає свого обслуговування, не покидаючи чергу.

Дисципліна черги природна: спочатку обслуговують того, хто ра-

ніше прийшов. Максимальна кількість місць у черзі – m. Кожне замов-

лення може обслуговуватися лише одним каналом. Якщо вимога надій- шла в систему, коли всі mмісць у черзі зайняті, вона покидає систему необслуженою. Отже, параметрами такої системи з очікуванням є вели-

чини n, , , m.

s₀ s₁ s₂
s_n

^sn 1

^sn 2
^sn  m

• 
  всі канали вільні, черга відсутня;
  
• 
  один канал зайнятий, черга відсутня;
  
• 
  два канали зайняті, черга відсутня;
  



• 
  nканалів зайняті, черги немає;
  
• 
  nканалів зайняті, 1 вимога в черзі;
  
• 
  nканалів зайняті, 2 вимоги в черзі;
  



• 
  ⁿканалів зайняті, mвимог перебуває в черзі.
  

Отже, система має жено на рис. 4.4.

n m 1

стан. Граф станів цієї системи зобра-

Від стану s₀

до стану

Рисунок 4.4

s_n граф станів системи такий самий, як граф

станів класичної системи Ерланга з відмовами. Для станів

s_{n 1}, ,

^{, s}n m1

на систему діє потік звільнень зайнятих nканалів інтенси-

вності

n,

намагаючись перевести її в сусідній стан ліворуч, і потік

вимог інтенсивності sin^1 .

Для аналізу стаціонарної роботи системи ( const,
  const,

t )

можна використати результати, одержані при розв’язуванні від-

повідних систем алгебраїчних рівнянь для класичної системи з відмова-

ми (граф – від стану s₀

до стану

s_n),

і системи з відмовами і повною

взаємодопомогою між каналами (граф – від стану s_nдо стану s_{n m}):

_ k

p p, k 0, 1, 2, , n; p  ^rp, r 1, 2, , m

^k k! ⁰

n r n

де  ^;



  ^ .

n

n _^k

k 0

n!

k!
m _ⁿ

r 1
_ n _^k

_ ⁿ_1  ^m_ ^


_ p _^r



p p _ 



  1,

k 0 ^k! r 1

отримаємо

0 0 <sub>

</sub> k 0

n! 1   ^

p₀ 

n






k 0
_ k

k!

1 <sub>.

</sub> ⁿ_1  ^m_


n! 1  
(4.39)

Домножимо чисельник і знаменник дробу (4.39) на вуючи, що

_e _.

Врахо-

^P^{k; } <sup>

</sup> k  




e

;
k!



^R^{n; } ^ _

k 0

^ k  




e

,
k!

знайдемо шукані ймовірності станів:

^P^k,

p_k
^R^{n, } ^

 _1  ^m_

1  
^P^{n, }

, k 0, 1, , n;

n r n
p  ^rp,

r 1, , m.

(4.40)

Зауважимо, що у формулах (4.40)  1.

Якщо  1, то  n. Враховуючи, що за правилом Лопіталя

1 ^m

lim

1

1 

 m,

формули для визначення ймовірностей (4.40) при  1

набувають вигляду:

_p^P^k,n_,

^kR^{n, n} ^{ mP}^{n, n}

k 0, 1, , n;

p_nr p_n,

r 1, , m.

(4.41)

Ймовірність обслуговування вимоги дорівнює ймовірності того, що вимога, яка надійшла в систему, застане вільним хоча б один з кана- лів або хоча б одне місце в черзі. Отже,

P  1 p  1 ^mp.

обс n m n

ймовірностям

^pn r

відповідає nзайнятих каналів:

k  _kp_k n_ p_{n r}.

k 0 r 1

Середнюкількістьзайнятихканалівможна також обчислити за формулою:

k ^P  _1 ^mp_.

_ обс n

Ймовірністьзайнятостіканалуобчислюють за формулою:




P  ^k ^_1 ^mp_.

з.к. _{n n} n
Середню кількість замовлень, які перебувають у черзі, можна об- числити як математичне сподівання:
m m

r _rp_  p_r^r.

n r n

r1 r 1
Можна показати, зокрема [ 8, с. 108], що


1  ^m_m_1  _  1_

r p_n

^{1  } 2

,  1.

Якщо  1,

враховуючи (4.41), отримаємо

r1

.
^{m P}^n,n ^m^m1 ^P^n,n





^{r  rR}^{n, n} ^{ mP}^{n, n} ^{ 2 R}^{n, n} ^{ mP}^{n, n}
Розглянемо систему масового обслуговування, вякійєлишеодин

каналобслуговуванняn 1 і mмісць у черзі. У цьому випадку  .

Отже, формули (4.40) набувають вигляду

^{ k}^{1  }

p_k

1  ^m1

, k 0, 1, 2, ,

m1

(4.42)

та визначають ймовірність того, що в системі буде kвимог (одна ви- мога обслуговується, а решта чекає в черзі).

r p₁

1  ^m_m_1  _  1_


^{1  } 2

 ^2 

_{1  }m1

1  ^m_m_1  _  1_

1   ^.

Приклад 4.3. На автозаправці є nбензоколонок. Майданчик по-

близу АЗС допускає одночасне очікування не більше 3 автомобілів. Потік автомобілів, які прибувають на заправку, – найпростіший з ін-

тенсивністю  2 _хв^1 _. Час обслуговування автомобіля розподіле-

ний за показниковим законом із середнім значенням 1 хв. Визначити мінімальну кількість бензоколонок, які забезпечать обслуговування не

менше 95 % автомобілів, що потребують заправки.

Розв’язання

Згідно з умовою задачі АЗС – n-канальна система масового обслу-

^{говування з очікуванням і обмеженою довжиною черги} ^{m 3}^,

  2,

  1,

тоді

  2.

Для такої системи
m m^n

P_обс 1  p_{n m} 1  

p_n 1  

n! ^p0

^0
_ n _^k

_ ⁿ_1  ^m_ ^1 _

де p  

^ k 0 ^k!

n! 1  

 ,   1; ;

 _n

 

_ n _^k

_{ n }1


p₀  _{ } 

_ k 0 ^k!

n! ^m

,  1,

причому за умовою

P_обс 0, 95.

Використовуючи формулу
m m^n

P_обс 1 p_{n m} 1 

p_n 1  _n! p₀ ,

знайдемо ймовірність обслуговування

^Pобс

для різних значень n.

Якщо

n 1, маємо
_{ 2}0

₂1 ₂1
2 _1  2³ _ ^1 ₁

  2,

p₀  

  

 

  ,

^ 0! 1! 1! 1  2 ^ 31

 

P  1  2³  ²  ¹  ¹⁵  0, 484  0, 95.

Якщо
n 2,

обс
маємо

1! 31 31

_ 2 ₂^k

2^{2 }1 1

  1,

p₀  _{  k!}  _2!  3_

  0, 091,

11

 ^k0 

2² 1 9

P_обс 1    0,818  0,95.

2! 11 11

Якщо

n 3,

маємо

_{2 } 3 ₂^k

₂³ 2/ 3_1  8 / 27_ ^1 ₈₁

  ,

3

p₀  _{ }  

_   0,122,

_{ k 0} k! 3! 1 / 3 _ 665

_ 2 _3 2³

81 32 633

 
^Pобс^{ 1 }  ₃ 

   1    0, 952  0, 95.

3! 665 665 665

Таким чином, для забезпечення обслуговування не менше автомобілів, що потребують заправки, необхідно 3 бензоколонки.

95 %

Слід зазначити, що ми розглядали лише окремі види систем ма-

сового обслуговування. Інші види систем масового обслуговування та визначення показників їх ефективності можна знайти в інших посібни- ках, зокрема в [8–10; 13].

Зауважимо також, що ми досліджували системи обслуговування, до яких надходив один найпростіший потік вимог, а отже, ймовірнісні моделі мали просту структуру, їх характеристики визначалися шляхом алгебраїчних перетворень із використанням умови нормування.

Задача значно ускладнюється в тому випадку, коли до системи над- ходять два або більше пуассонівських потоків вимог, для яких вводить- ся певна черговість в обслуговуванні, і при цьому число обслуговуючих