Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

вування – найпростіший з інтенсивністю .

Необхідно знайти гранич-

ні ймовірності станів системи та показники її ефективності.

Розв’язання

Аналіз роботи системи почнемо з розгляду можливих станів систе- ми і побудови розміченого графа. Множина станів системи S(СМО) має вигляд:

s₀ – канал обслуговування вільний;

s₁ – канал обслуговування зайнятий, черга відсутня;

^{sk– канал обслуговування зайнятий, у черзі} ^k1



вимог;

Граф станів цієї системи зображено на рис. 4.3.

Рисунок 4.3

Аналіз графа показує, що процес, який відбувається в системі S,

є марковським процесом розмноження та вимирання, але з нескінчен-

ним числом станів, у якому інтенсивність потоку вимог дорівнює , а



інтенсивність потоку обслуговувань – .

Зауважимо, що якщо

  _  1,

черга буде зменшуватись. У цьому

випадку система зможе досягти стаціонарного режиму (граничні ймо-

вірності існують), якщо ж  1 – черга має тенденцію збільшуватися.

Для визначення граничних ймовірностей станів системи Sвико- ристаємо формули (3.13), (3.14). У результаті отримаємо:

^   2

  k

_1

^{p0 } ^{1 } _^ _{ } ^ _{ } ^ ^

_ ^{   } _

 _1     ²   ^k_1 .

(4.28)

Оскільки граничні ймовірності існують лише за умови

  1, то

сума нескінченного геометричного ряду (4.28) дорівнює ¹ ,

1 

p₀  1  .

звідки
(4.29)

Враховуючи, що

p  p, p ²  p, , p ^k p

, ,

отри-

маємо

1 0 2 0 k 0

^{p }^{1  }^{, p 2} ^{1  }<sup>, , p

  k</sup>^{1  }^{,  (4.30)}

1 2 k

спадну геометричну прогресію зі знаменником

  1.

Отже, ймовірність

p₀ – найбільша. Таким чином, при

  1

найбільш ймовірною є подія –

відсутність заявок у системі.

Оскільки в системі відсутнє обмеження на довжину черги, то будь- яка вимога може бути обслуженою, тобто ймовірність обслуговування замовлення (відноснапропускназдатністьсистеми)дорівнює одиниці:

P_обс Q 1.

Абсолютну пропускну здатність системиAвизначають за фор- мулою

A Q .

Середнюкількістьвимог(математичне сподівання числа вимог),

якіперебуваютьусистемі, обчислюємо за формулою:

 

L  _k p

^ ^{1  } _^kk.

(4.31)

сист k

k 1
k 1

Формулу (4.31) при

  1
^Lсист

можна звести до вигляду

_ _. 1  

(4.32)

Середнюкількістьвимог,якіперебуваютьучерзі, знайдемо, вико- ристовуючи співвідношення:

^Lоч^{ L}сист^{ L}обс

^{де L}обс

– середня кількість заявок, що обслуговуються.

Середнюкількістьвимог, якіобслуговуються(математичне споді- вання числа вимог), обчислюємо за формулою:

^{Lобс 0 p0 1 p1  0 p0 1}^{1 p0}  ^{ 1 p0,}

тобто
L_обс 1  p₀  P_відм.

Отже, середня кількість вимог, які обслуговуються в системі, дорі- внює ймовірності того, що канал зайнятий.

З урахуванням (4.29) маємо

L_обс .

(4.33)

Таким чином,
 ²

L_оч L_сист L_обс _{1  }  _{1  }.

(4.34)

Слід підкреслити, що для будь-якої системи масового обслугову- вання в граничному стаціонарному режимі середнійчасперебування

вимогивсистемі

^tсист

та середнійчасперебуваннявимогивчерзі

^tоч

обчислюються за формулами Літтла:

t  ¹ L ,


(4.35)

сист _ сист

t  ¹ L.



(4.36)

оч _ оч
Справедливість формул Літтла пояснюється тим, що в стаціонарно- му режимі середня кількість вимог, що надходять у систему, дорівнює середній кількості вимог, що покидають систему, оскільки вхідний і вихідний потоки вимог мають однакову інтенсивність .

Використовуючи формули Літтла, а також (4.32), (4.34), знайдемо середнійчасперебуваннявимогиводноканальнійСМОзнеобмеженоючергою

^tсист

__,

^ ^{1  }

(4.37)

та середнійчасперебуваннявимогивчерзі

_ 2



^{tоч }^{1  } ^.

(4.38)