1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   36
Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

Приклад 4.2. Розглянемо класичну 10-канальну систему масового

обслуговування з відмовами, під час роботи якої втрачається в серед- ньому 1 % замовлень. Відомо, що наступного року інтенсивність замо- влень зросте вдвічі. Визначити мінімальну кількість каналів, які потрі- бно додати, щоб середній відсоток втрачених замовлень не збільшився.

Розв’язання

Згідно з умовою задачі

Pвідм. p10 0, 01.

За формулою (4.17) маємо

pn p10 B10, 0,01.

Для визначення значення використовуємо таблицю значень

функції

Bn,

(додаток А). За таблицею

B10; 4, 5 0,0105,

звідки

4,5. Оскільки наступного року інтенсивність замовлень зросте вдві-

чі, маємо 1 2 2 4,5 9. За таблицею значень функції Bn,

маємо:

B16; 9 0,0110, B17; 9 0,0058.

Отже, робимо висновок, що ймовірність втрати замовлення не збі- льшиться, якщо додати 7 каналів.

    1. n-канальна СМО з відмовами і повною взаємодопомогою між каналами

Розглянемозадачу.На вхід n-канальної системи масового об-

слуговування подається найпростіший потік заявок з інтенсивністю .

Інтенсивність найпростішого потоку обслуговувань кожного каналу

дорівнює . Якщо заявка застає всі канали вільними, то вона прийма-

ється на обслуговування і, на відміну від класичної системи з відмо- вами, обслуговується всімаканаламиодночасно.

Припустимо, що таке обслуговування можливе і продуктивність обслуговування при цьому збільшується в nразів, тобто інтенсивність

сумарного потоку обслуговувань становить

n.

Після завершення об-

слуговування всі nканалів звільняються одночасно. Якщо нова вимога

застає в системі kзамовлень, де

k 1, 2, ,

n 1,

то вона приймається

на обслуговування, і всі nканалів перерозподіляються довільно між

k 1

вимогами, таким чином, щоб усі канали брали участь в обслуго-

вуванні вимог. Якщо нова вимога, яка поступає в систему, застає в си- стемі nвимог, то вона отримує відмову і не обслуговується. Заявка,

що потрапила на обслуговування, обслуговується до завершення. Якщо обслуговування однієї з вимог завершено, то група каналів, що звільни- лася, приєднується до обслуговування вимог, що залишились. Отже, за наявності в системі хоча б одного замовлення, всі nканалів будуть

зайнятими.

Аналіз роботи системи почнемо з розгляду можливих станів систе- ми. Множина станів системи S(СМО) має вигляд:

s0 всі канали вільні;

s1 в системі одна вимога, її обслуговує nканалів;



sk в системі kвимог, їх обслуговує nканалів, загальна про-

дуктивність обслуговування дорівнює лено між вимогами;

n,

канали довільно розподі-



sn у системі nвимог, їх обслуговує nканалів. Загальна продук-

тивність обслуговування дорівнює n.

Зауважимо, що в кожному стані sk k 1, 2, ,

n, на систему діє

потік замовлень, інтенсивність якого дорівнює

, та потік звільнень

усіх зайнятих nканалів з інтенсивністю

n,

який намагається пере-

вести систему в стан

sk1.

Розглянемо стаціонарний режим роботи такої системи:

const,

const,

n ,

який існує, оскільки система є ергодичною. Для ймо-

вірностей станів стаціонарного режиму отримаємо систему алгебраїчних рівнянь
p0 np1 0,

n p p

  • np

0,





k 1, 2, ,

k k 1

n1,

k 1

(4.24)

n pn pn 1 0,

яку потрібно розв’язати разом з нормувальною умовою


n




pk

k 0

1.

Після введення позначень ui pi 1 npi,

ма (4.24) набуває вигляду

i 1, 2, , n

систе-

u1 0;

uk 1 uk

0,

k 1, 2, ,

n 1;

un 0,

звідки маємо, що

ui 0,

i 1, 2, , n,

тобто


p

kn

pk 1,

k 1, 2, , n.
(4.25)


За формулою (4.25) послідовно отримаємо:

2

k



p

kn

pk 1 2



n

pk 2 n

p0 ,

k 1, 2, , n.



Введемо позначення


середня кількість замовлень,

n n

які надходять у систему за середній час обслуговування однієї вимоги

всіма nканалами, тоді

p kp,

k 1, 2, , n.


0

k
Використовуючи нормувальну умову

n n



отримаємо

pk

k 0

p0

kk 0

1,

p1, k 1, 2, , n.

0 1 n 1
(4.26)


Таким чином, граничні ймовірності станів стаціонарного режиму визначаються за формулами:

p k1,

k 1 n1

k 0, 1, 2, , n.
(4.27)

Якщо

k 1,

тобто

n,

то, перейшовши у співвідношенні (4.27)

до границі та використовуючи правило Лопіталя, отримаємо

pk

1 ,

n 1

k 0, 1, 2, , n,

тобто всі стани є рівноймовірними.

Ймовірністьобслуговуваннязамовлення, очевидно, дорівнює ймо- вірності того, що вимога, яка надійшла в систему, не застане на обслуго-

вуванні в ній nвимог. Оскільки pn

ймовірність того, що в системі

перебуває nзамовлень, то, як і у випадку класичної системи з відмо- вами, маємо

Pобс 1 pn.

Середнюкількістьвимог,якіперебуваютьусистемі, можна визна- чити як математичне сподівання дискретної випадкової величини:


n

l kpk.

k 0

Ймовірністьзайнятостіканалудорівнює ймовірності зайнятості хоча б одного каналу системі є хоча б одна вимога), тобто

Pз.к. 1 p0 .

З іншого боку, ця ймовірність дорівнює відношенню середньої кі-


k
лькості зайнятих каналів k до загальної кількості каналів n. Отже,





n 1 p0 ,

звідки середнякількістьзайнятихканалівобчислюється за формулою

k n1 p0 .


    1. 1   ...   28   29   30   31   32   33   34   35   36

      скачати

© Усі права захищені
написати до нас