1 ... 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Приклад 4.2. Розглянемо класичну 10-канальну систему масового обслуговування з відмовами, під час роботи якої втрачається в серед- ньому 1 % замовлень. Відомо, що наступного року інтенсивність замо- влень зросте вдвічі. Визначити мінімальну кількість каналів, які потрі- бно додати, щоб середній відсоток втрачених замовлень не збільшився. Розв’язання Згідно з умовою задачі Pвідм. p10 0, 01. За формулою (4.17) маємо pn p10 B10, 0,01. Для визначення значення використовуємо таблицю значень функції Bn, (додаток А). За таблицею B10; 4, 5 0,0105, звідки 4,5. Оскільки наступного року інтенсивність замовлень зросте вдві- чі, маємо 1 2 2 4,5 9. За таблицею значень функції Bn, маємо: B16; 9 0,0110, B17; 9 0,0058. Отже, робимо висновок, що ймовірність втрати замовлення не збі- льшиться, якщо додати 7 каналів. n-канальна СМО з відмовами і повною взаємодопомогою між каналамиРозглянемозадачу.На вхід n-канальної системи масового об- слуговування подається найпростіший потік заявок з інтенсивністю . Інтенсивність найпростішого потоку обслуговувань кожного каналу дорівнює . Якщо заявка застає всі канали вільними, то вона прийма- ється на обслуговування і, на відміну від класичної системи з відмо- вами, обслуговується всімаканаламиодночасно. Припустимо, що таке обслуговування можливе і продуктивність обслуговування при цьому збільшується в nразів, тобто інтенсивність сумарного потоку обслуговувань становить n. Після завершення об- слуговування всі nканалів звільняються одночасно. Якщо нова вимога застає в системі kзамовлень, де k 1, 2, , n 1, то вона приймається на обслуговування, і всі nканалів перерозподіляються довільно між k 1 вимогами, таким чином, щоб усі канали брали участь в обслуго- вуванні вимог. Якщо нова вимога, яка поступає в систему, застає в си- стемі nвимог, то вона отримує відмову і не обслуговується. Заявка, що потрапила на обслуговування, обслуговується до завершення. Якщо обслуговування однієї з вимог завершено, то група каналів, що звільни- лася, приєднується до обслуговування вимог, що залишились. Отже, за наявності в системі хоча б одного замовлення, всі nканалів будуть зайнятими. Аналіз роботи системи почнемо з розгляду можливих станів систе- ми. Множина станів системи S(СМО) має вигляд: s0 – всі канали вільні; s1 – в системі одна вимога, її обслуговує nканалів; sk – в системі kвимог, їх обслуговує nканалів, загальна про- дуктивність обслуговування дорівнює лено між вимогами; n, канали довільно розподі- sn – у системі nвимог, їх обслуговує nканалів. Загальна продук- тивність обслуговування дорівнює n. Зауважимо, що в кожному стані sk k 1, 2, , n, на систему діє потік замовлень, інтенсивність якого дорівнює , та потік звільнень усіх зайнятих nканалів з інтенсивністю n, який намагається пере- вести систему в стан sk1. Розглянемо стаціонарний режим роботи такої системи: const, const, n , який існує, оскільки система є ергодичною. Для ймо- вірностей станів стаціонарного режиму отримаємо систему алгебраїчних рівнянь p0 np1 0, n p p np 0, k 1, 2, , k k 1 n1, k 1 (4.24) n pn pn 1 0, яку потрібно розв’язати разом з нормувальною умовою n pk k 0 1. Після введення позначень ui pi 1 npi, ма (4.24) набуває вигляду i 1, 2, , n систе- u1 0; uk 1 uk 0, k 1, 2, , n 1; un 0, звідки маємо, що ui 0, i 1, 2, , n, тобто p kn pk 1, k 1, 2, , n. (4.25) За формулою (4.25) послідовно отримаємо: 2 k p kn pk 1 2 n pk 2 n p0 , k 1, 2, , n. Введемо позначення – середня кількість замовлень, n n які надходять у систему за середній час обслуговування однієї вимоги всіма nканалами, тоді p kp, k 1, 2, , n. 0 k Використовуючи нормувальну умову n n отримаємо pk k 0 p0 kk 0 1, p1, k 1, 2, , n. 0 1 n 1 (4.26) Таким чином, граничні ймовірності станів стаціонарного режиму визначаються за формулами: p k1, k 1 n1 k 0, 1, 2, , n. (4.27) Якщо k 1, тобто n, то, перейшовши у співвідношенні (4.27) до границі та використовуючи правило Лопіталя, отримаємо pk 1 , n 1 k 0, 1, 2, , n, тобто всі стани є рівноймовірними. Ймовірністьобслуговуваннязамовлення, очевидно, дорівнює ймо- вірності того, що вимога, яка надійшла в систему, не застане на обслуго- вуванні в ній nвимог. Оскільки pn – ймовірність того, що в системі перебуває nзамовлень, то, як і у випадку класичної системи з відмо- вами, маємо Pобс 1 pn. Середнюкількістьвимог,якіперебуваютьусистемі, можна визна- чити як математичне сподівання дискретної випадкової величини: n l kpk. k 0 Ймовірністьзайнятостіканалудорівнює ймовірності зайнятості хоча б одного каналу (в системі є хоча б одна вимога), тобто Pз.к. 1 p0 . З іншого боку, ця ймовірність дорівнює відношенню середньої кі- k лькості зайнятих каналів k до загальної кількості каналів n. Отже, n 1 p0 , звідки середнякількістьзайнятихканалівобчислюється за формулою k n1 p0 . |