1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 36 Найпростіший потік подійОзначення.Найпростішим називається потік, який має властивос- ті стаціонарності, відсутності післядії та ординарності. Таким чином, найпростіший потік є частинним випадком пуассо- нівського потоку (стаціонарний пуассонівський потік). Якщо потік подій найпростіший, то ймовірність того, що за промі- жок часу tвідбудеться рівно kподій, визначається за формулою Пу- ассона: Ptk tk k! et (1.3) де – інтенсивність потоку. Слід зазначити, що формула Пуассона відображає всі властивості найпростішого потоку (стаціонарність, відсутність післядії, ординар- ність), а отже, є його математичною моделлю. Дійсно, з формули (1.3) маємо, що ймовірність появи kподій за проміжок часу t, при заданій інтенсивності , є лише функцією kі t, що відображає властивість стаціонарностінайпростішого потоку. Формула (1.3) не використовує інформацію про появу подій до початку проміжку часу t, слядії. що відображає властивість відсутностіпі- Використовуючи формулу (1.3), знайдемо ймовірність появи біль- ше однієї події: Pk 1 1 P0 P (1) 1 et tet. t t t Використовуючи розвинення функції e t в ряд Маклорена t2 t3 отримаємо et 1 t , 2! 3! t 2 Ptk 1 . 2! Порівнюючи Pt(1) та Pt(k 1) при малих значеннях t, робимо ви- сновок, що ймовірність появи більше однієї події значно менша за ймо- вірність появи однієї події, що відображає властивість ординарностінайпростішого потоку. Таким чином, формула Пуассона відображає всі властивості най- простішого потоку, отже, формула Пуассона – математична модель найпростішого потоку. Приклад 1.1. Середня кількість викликів таксі, які надходять до диспетчерського пункту за одну хвилину, дорівнює 3. Знайти ймовір- ність того, що за 2 хвилини надійде: 4 виклики; менше як 4 виклики; не менше як 4 виклики. Розв’язання Потік викликів є найпростішим, тому для розв’язування задачі за- стосуємо формулу (1.3), де 3, t 2, k 4. Ймовірність того, що за 2 хвилини надійде 4 виклики, обчислюється за формулою: P4 3 24 e6 1 296 0, 0025 0,135. 2 4! 24 Ймовірність того, що за 2 хвилини надійде менше як 4 виклики, об- числюємо, використовуючи теорему додавання несумісних подій: 60 6 61 6 62 6 63 6 P2 k 4 P2 0 P2 1 P2 2 P2 3 0! e 1! e e e 2! 3! e6 1 6 18 36 0,0025 61 0,1525. Оскільки події “надійде не менше 4 викликів” та “надійде менше 4 викликів” є протилежними, маємо: P2 k 4 1 P2 k 4 1 0,1525 0,8475. Слід зазначити, що інтервали часу між послідовними подіями най- простішого потоку незалежні між собою та розподілені однаково за по- казниковимзаконом: f(t) et, t 0. Приклад 1.2. Потік автомашин, що рухаються вздовж шосе у за- даному напрямку, – найпростіший потік подій з інтенсивністю . Лю- дина виходить на шосе, щоб зупинити перший автомобіль, який руха- ється у вказаному напрямку. Знайти закон розподілу часу очікування T; визначити математичне сподівання mt та середнє квадратичне ві- дхилення t. Розв’язання Оскільки найпростіший потік має властивість відсутності після- дії, то “майбутнє” не залежить від “минулого”, зокрема від того, скі- льки хвилин тому пройшов останній автомобіль. Закон розподілу часу очікування T такий самий, як і закон розподілу проміжку часу між послідовною появою автомобілів, тобто показниковий розподіл з па- раметром : f(t) et, t 0. 1 З урахуванням числових характеристик показникового розподілу маємо: m 1 , t Dt 2 , 1 . t |