1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   36
Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати
Найпростіший потік подій

Означення.Найпростішим називається потік, який має властивос- ті стаціонарності, відсутності післядії та ординарності.

Таким чином, найпростіший потік є частинним випадком пуассо- нівського потоку (стаціонарний пуассонівський потік).

Якщо потік подій найпростіший, то ймовірність того, що за промі- жок часу tвідбудеться рівно kподій, визначається за формулою Пу- ассона:

Ptk

tk

k!
et
(1.3)

де інтенсивність потоку.

Слід зазначити, що формула Пуассона відображає всі властивості найпростішого потоку (стаціонарність, відсутність післядії, ординар- ність), а отже, є його математичною моделлю.

Дійсно, з формули (1.3) маємо, що ймовірність появи kподій за

проміжок часу t,

при заданій інтенсивності , є лише функцією kі t,

що відображає властивість стаціонарностінайпростішого потоку.

Формула (1.3) не використовує інформацію про появу подій до

початку проміжку часу t,

слядії.

що відображає властивість відсутностіпі-

Використовуючи формулу (1.3), знайдемо ймовірність появи біль- ше однієї події:

Pk 1 1 P0 P

(1) 1 et tet.

t t t

 

Використовуючи розвинення функції

e t

в ряд Маклорена

t2 t3


отримаємо

et 1 t  , 2! 3!

t
2

Ptk 1 .

2!

Порівнюючи

Pt(1)

та Pt(k 1)

при малих значеннях t,

робимо ви-

сновок, що ймовірність появи більше однієї події значно менша за ймо- вірність появи однієї події, що відображає властивість ординарностінайпростішого потоку.

Таким чином, формула Пуассона відображає всі властивості най- простішого потоку, отже, формула Пуассона – математична модель найпростішого потоку.

Приклад 1.1. Середня кількість викликів таксі, які надходять до диспетчерського пункту за одну хвилину, дорівнює 3. Знайти ймовір- ність того, що за 2 хвилини надійде: 4 виклики; менше як 4 виклики; не менше як 4 виклики.

Розв’язання

Потік викликів є найпростішим, тому для розв’язування задачі за-

стосуємо формулу (1.3), де 3, t 2, k 4.

  1. Ймовірність того, що за 2 хвилини надійде 4 виклики, обчислюється за формулою:

P4

3 24

e6 1 296 0, 0025 0,135.



2 4! 24

  1. Ймовірність того, що за 2 хвилини надійде менше як 4 виклики, об- числюємо, використовуючи теорему додавання несумісних подій:









60

6 61

6 62

6 63

6

P2 k 4

P2 0

P2 1

P2 2

P2 3 0! e 1! e

e e

2! 3!

e6 1 6 18 36 0,0025 61 0,1525.

  1. Оскільки події “надійде не менше 4 викликів” та “надійде менше

4 викликів” є протилежними, маємо:

P2 k 4 1 P2 k 4 1 0,1525 0,8475.

Слід зазначити, що інтервали часу між послідовними подіями най- простішого потоку незалежні між собою та розподілені однаково за по-

казниковимзаконом:

f(t) et,

t 0.

Приклад 1.2. Потік автомашин, що рухаються вздовж шосе у за-

даному напрямку, – найпростіший потік подій з інтенсивністю . Лю-

дина виходить на шосе, щоб зупинити перший автомобіль, який руха- ється у вказаному напрямку. Знайти закон розподілу часу очікування

T; визначити математичне сподівання mt та середнє квадратичне ві-

дхилення t.

Розв’язання

Оскільки найпростіший потік має властивість відсутності після- дії, то “майбутнє” не залежить від “минулого”, зокрема від того, скі- льки хвилин тому пройшов останній автомобіль. Закон розподілу часу очікування T такий самий, як і закон розподілу проміжку часу між

послідовною появою автомобілів, тобто показниковий розподіл з па-

раметром :

f(t) et,

t 0.


1
З урахуванням числових характеристик показникового розподілу

маємо:

m 1 ,

t

Dt 2 ,

  1 .

t




    1. 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   36

      скачати

© Усі права захищені
написати до нас