Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

Рисунок 3.10

Знайдемо частинний розв’язок системи диференціальних рівнянь Колмогорова (3.26), яка в цьому випадку має вигляд


^{ pn} ^t ^{ npn}^t^,

_ ^pk ^t ^ ^{k 1} ^pk1
^t ^{ kpk}
^t^,

(3.36)


^k 1, 3, , n1,

_^{ p0} ^t ^{  p1} ^t^,

з початковою умовою Згідно з (3.27)

^pn⁰ ^{ 1.}

n
^p^t ^{ ent,}


t 0 .

Використовуючи рекурентну формулу (3.31), яка матиме вигляд

k
отримаємо:

^p^t ^{ ent}

t

_ ^{k 1} ^pk1 0

^ ^{ekd,}

t t

k n 1  p

_{t  e}^^{n 1}^t_{ ne}^n1^_e n_{d ne}^^n1^t_

 e^d

n1 _{ }

0 0

n
_{ ne}^^{n  1}^{ t} _{1  e}  t_{  C}1 _e  t_ n 1_{1  e}  t_^{nn 1} _,

t 0;

k n 2  p<sub>n2

t  e</sub>^^n2^t

_{ n 1 e}^^{n 2}^_ne^^{n 1}^_{1  e} t_d


t
0

n
_ ^{t n}^{n 2}

^{ n}^{n 1} ^e

^{n 2}^t_

0

 e^_1  e^t_d

_{ C}2 _e  t_ n 2_{1  e}  t_

, t 0.

Аналогічно

p
_{t  C}k_et_ nk_{1 e}t_^{nn k} _,
t 0.

(3.37)

nk n
За умови, якщо i n k,
отримаємо

p_t_  Cⁱ_e^{ t}_ ⁱ_1  e^{ t}_n i , 0  i n.

i n

Таким чином, процесчистоговимираннязінтенсивністю

  k

в момент часу tє випадкове число

^X^t

живих індивідуумів, що за-

лишилися, яке розподілене за біноміальним законом з ймовірністю

успіху

_e t_.

При цьому випадкове число індивідуумів, які загинули до

моменту часу

^{t: Y}^t ^{ n X}^t^,

розподілене за біноміальним законом

з ймовірністю успіху 1  e^t.

Отже,

M_ X_t_  ne^t, D_ X_t_  ne^t_1 e^t_.

3. Процеси розмноження та вимирання в системі з nвузлами

Розглянемо окремий вид процесу розмноження та вимирання. Не- хай система Sскладається з nвузлів. Як вузли можна розглянути ком-

п’ютери, банкомати, станки тощо. Кожен із вузлів може незалежно від інших виходити з ладу, тобто на кожен із вузлів діє найпростіший “потік відмов”, подіями якого є відмови вузла. У проміжку між двома сусідніми відмовами вузол працює безвідмовно. Середній час безві-

дмовної роботи кожного з вузлів позначимо через


T_.

Якщо в початко-

вий момент часу вузол був справним, то після появи першої події по-

току відмов, що діє на вказаний вузол, він виходить з ладу. Зауважимо, що при розгляді цього виду процесу розмноження та вимирання роз- глядають “весь” потік відмов, що дозволяє говорити про інтенсивність потоку відмов.

Вузол, який вийшов з ладу, починає відразу ремонтуватися. Бу- демо вважати, що на кожний вузол діє найпростіший потік “віднов- лення”, подіями якого є відновлення роботи вузла, тобто закінчення ремонту вузла. На інтервалі між двома сусідніми відновленнями вузол знаходиться в ремонті. Середній час відновлення (ремонту) позначимо

через


T_в.

Вузол, що знаходиться в ремонті, відновлюється після появи

першої події потоку відновлень, що діє на вказаний вузол. Як і у випа-

дку потоку відмов, розглядають “весь” потік відновлень, що дозволяє говорити про інтенсивність цього потоку.

s₀ – всі nвузлів справні;

s₁ – 1 вузол відмовив (ремонтується), інші
n 1
вузли справні;

s₂ – 2 вузли відмовили (ремонтуються), інші

...

n 2

вузли справні;

^sn1 ^–

n1

вузли відмовили (ремонтуються), 1 вузол справний;

s_n – всі nвузлів відмовили (ремонтуються).

Відповідний граф станів системи Sпоказано на рис. 3.11.

Рисунок 3.11

Оскільки перехід системи Sзі стану в стан відбувається під дією найпростіших потоків, то в системі S відбувається однорідний дискре- тний марковський процес із неперервним часом. Аналіз розміченого

графа дозволяє зробити висновок, що відповідний процес є процесом

розмноження та вимирання. Фінальні ймовірності

p₀ ,

p₁ , ,

p_n ста-

нів системи можна знайти за формулами (3.13), (3.14), якщо відомі щільності ймовірностей переходу системи зі стану в стан. Достатньо часто простіше визначити середній час безвідмовної роботи кожного з

вузлів T_ та середній час відновлення


T_в ,

ніж щільності ймовірностей

переходів. Отже, виникає задача знаходження залежностей між фіна-

льними ймовірностями і середнім часом T_та середнім часом повідь на це запитання дає наступна теорема.


T_в.

Від-

Теорема 3.2. Граничні ймовірності станів

p₀ ,

p₁ , , p_n

процесу

розмноження та вимирання в системі з nвузлами обчислюються за такими формулами:

^ T^k ^

_T n

p C^k_^в_  _1 ^в_


, k 0, 1,  n

(3.38)

k n _{T T}

    

n
де C^k

n!



^k!^{n k}^!

• 
  число сполучень з nелементів по k.
  

Доведення

Оскільки потік відмов вузлів є найпростішим, то неперервна випад- кова величина T– проміжок часу між двома послідовними відмовами

  ¹ .

^M^T

Враховуючи, що математичне сподівання

^M^T

дорівнює

середньому часу безвідмовної роботи вузла



T_,

отримаємо

  _T<sub>

</sub>1 _.

Таким чином, на систему Sу стані s₀

впливає сумарний потік відмов

з сумарною інтенсивністю

n  n_T<sub>

</sub>1 _,

що дорівнює щільності ймо-

вірності переходу

₀₁ системи Sзі стану

s₀ у стан

s₁:

^01

 n_T<sub>

</sub>1 _.

У стані s₁

функціонують

n1

вузлів. Отже, зі стану s₁

у стан s₂

систему Sпереводить сумарний потік відмов із сумарною інтенсив-

ністю n1  n1_T<sub>

</sub>1 , звідки 

 _n 1_T<sub>

</sub>1 _.

12
Таким чином,

^k 1k

 _n _k1_T<sub>

</sub>1 _,
k 1, 2, , n.
(3.39)

Розглянемо потік відновлень. Оскільки потік відновлень є найпрос- тішим, то інтенсивність цього потоку визначається як обернена величи-

на середнього часу відновлення, тобто

  _T<sub>в

</sub>1 _.

Якщо система знахо-

диться у стані s_n

– всі nвузлів відмовили, то на кожен з них діє потік

“відновлення”. Отже, на систему Sу стані s_n

діє сумарний потік відно-

влення, з сумарною інтенсивністю

n  n_T<sub>в

</sub>1 _.

Під дією цього потоку

система Sпереходить зі стану

s_n у стан

^sn 1 ^,

тобто _nn1

 n_T<sub>в

</sub>1 _.

Здійснюючи аналогічні міркування, отримаємо

^kk 1

 k_T<sub>в

</sub>1 _,

k 1, 2, , n.

(3.40)

Підставляючи формули (3.39) та (3.40) у (3.14), знайдемо вираз для _k:

n_n 1__n_k 1_

_

^ T^


_{ }  





 C^k_^в_ ,


k 1, 2, ,

_n. ^.(3.41)

^k ^{k 1} ^1

 _Tв

1 _



 ^T

Підставляючи знайдені значення _k

n

(3.41) у (3.13) та враховую-

n
^{чи, що} ^{a b}n ^ _ ^{Ckankbk, отримаємо}

k 0
^ T^k ^
_T n

p C^k_^в_  _1 ^в_


, k 0, 1,  n.

k n _{T T}

    
Приклад 3.1. Робітники відділу фінансово-економічної інформа- ції фінансової компанії використовують три комп’ютери, кожен з яких незалежно від інших може виходити з ладу. Потік відмов комп’ютера – найпростіший. Середній час безвідмовної роботи комп’ютера – 120 го- дин. Комп’ютер, що вийшов з ладу, починає негайно ремонтуватися (відновлюватися). Потік відновлення – найпростіший. Середній час ре- монту комп’ютера – 6 годин. Визначити середню ефективність робо- ти відділу фінансово-економічної інформації, якщо при трьох справних комп’ютерах вона дорівнює 100 %, при двох – 60 %, при одному – 30 %, при непрацюючих комп’ютерах – 10 %.

Розв’язання

Як систему Sрозглянемо сукупність трьох комп’ютерів, зокрема

стани системи ^S:

s₀ – всі три комп’ютери справні;

s₁ – один комп’ютер ремонтується, два інші – справні; s₂ – два комп’ютери ремонтуються, один – справний; s₃ – всі три комп’ютери ремонтуються.

Вказаний процес можна розглядати як процес розмноження та ви-

мирання в системі з nвузлами. Якщо вузлами є комп’ютери, то n 3.

Отже, за формулами (3.38) можна обчислити фінальні ймовірності

p₀ ,

p₁ ,

p₂ , p₃

станів системи S:

 
p₀  _1  _{120 }

 0,8638;

6 _ 6

_3

p C¹   1   3 0, 05 0,8638  0,1296;

^{1 3} 120 ^ 120 ^

 

 ⁶ 2 

_{6 }3

p C²   1   3 0, 0025 0,8638  0, 0065;

2 3  ₁₂₀  

120 ^

   

 ⁶ 3 

_{6 }3

p C³   1   3 0, 000125 0,8638  0, 0001.

3 3  ₁₂₀  

120 ^

   

Таким чином, найбільш ймовірною є подія – в усталеному ста-

ціонарному режимі справними є всі три комп’ютери, оскільки

p₀ 

 0,8638  p_k, де

k 1, 2, 3.

Для того, щоб визначити середню ефективність роботи відділу фінансово-економічної інформації, розглянемо дискретну випадкову величину ^X– середня ефективність роботи відділу в кожному зі ста-

нів

s₀ , s₁ ,

s₂ ,

s₃ ,

закон розподілу якої має вигляд

X	100 %	60 %	30 %	10 %
p	p0	p1	p2	p3

Середня ефективність роботи системи Sдорівнює математично-

му сподіванню

_M _X

випадкової величини ^X:

^M ^X  ^{ p0 100%  p1  60 %  p2  30%  p3 10 % }

 0,8638 100 %  0,1296  60 %  0, 0065 30 %  0, 000110 %  94, 352 %.

Отже, середня ефективність роботи відділу фінансово-економічної інформації в усталеному стаціонарному режимі роботи комп’ютерів достатньо висока та становить 94,352 %.

Питаннядлясамоперевірки

1. 
   Який випадковий процес називається процесом розмноження та ви- мирання?
   
2. 
   Яка характерна ознака структури графа станів системи, у якій відбу- вається процес розмноження та вимирання?
   
3. 
   Який вигляд має матриця щільностей ймовірностей переходів про- цесу розмноження та вимирання?