Ім'я файлу: ПОТОКИ книга.docx
Розширення: docx
Розмір: 927кб.
Дата: 29.05.2021
скачати

влених до моменту часу

t, якщо

^X⁰ ^{ 0.}

Припустимо, що потік ви-

готовлених виробів – найпростіший з параметром

_k.

випадкового процесу

^X^t^.

Зазначений процес моделюється процесом чистого розмноження, розмічений граф якого зображено на рис. 3.5. Система диференціальних рівнянь Колмогорова (3.15) матиме вигляд
^{ p0} ^t ^{ 0 p0} ^t^,

^{ p} ^t ^{  p} ^t ^{ p}

^t^,

^ k k1 k1 k k

(3.17)


^k 1, 3, , n 1,

_^{ pn} ^t ^{ n1 pn1} ^t^,

з початковою умовою

^p0 ⁰ ^{ 1.}

Знайдемо розв’язок першого рівняння системи, що задовольняє по-

чаткову умову

^p0 ⁰ ^{ 1:}

dp₀

  p,

dt

dp₀ p₀

0 0

 ₀dt,

dp₀

 dt,

0
 _p0 

ln p₀  ₀t ln C,

ln ^p0

C

 ₀t,

0
^p^t ^{ C e0t,}
тоді, враховуючи початкову умову, маємо


0
^p⁰ ^{ 1  1  C  e0  C 1.}

Отже, частинний розв’язок першого рівняння системи (3.17) має вигляд

0
^p^t ^{ e0t.}
(3.18)

Розглянемо

k-те

рівняння системи (3.17), де

k 1, 3, ,

n 1,

та знайдемо його розв’язок методом варіації довільної сталої. Розв’яже- мо спочатку відповідне однорідне рівняння

^pk ^t ^{ kpk}^t <sup> 0,

pk</sup> ^t ^{ kpk}^t^,

dp_k

 dt,

k
 _pk 

ln p_k

ln ^pk

C_k

 _kt ln C_k,

 _kt,

Нехай

звідки

^p ^t ^{ C  ekt.}


k k
^{Ck Ck}^t^{, тоді}


k k
^p^t ^{ C}^t ^{ ekt,}

k k k k
^p ^t ^{ C} ^t^{ ekt   C}

^t ^ekt.


(3.19)

Після підстановки значень

^pk^t

^{і pk} ^t

у k-те

рівняння маємо

^C ^t ^{ ekt  C} ^t^{ekt  p}

^t ^{ C}

^t^e^k t

k k k k1


k k1
^C ^t^{ e}^k t ^{ }

k1
^pk1

k k

^t^,

Таким чином,

^C_k^ ^t ^{ }_k1

^pk1

^t ^ek t ^.

^C_k^ ^t ^{ }_k1

^pk1

^t^ek t ^.

(3.20)

Проінтегрувавши обидві частини рівності (3.20) від 0 до t, отримаємо

t

^C ^t ^{ C} ⁰ ^{  p} ^ ^{ek d ,}

k k _

0

t
k1
k1
(3.21)

^C^t ^{ C}⁰ ^{  p}

^ ^{ek d .}

k k _

0
k1 k1

^{З урахуванням значення Ck}^t

вигляд

(3.21) розв’язок (3.19) матиме

^ t  ^ 

^pk^t ^ _ ^Ck



⁰ ^

_ ^k1

0

^pk1

^  ^ek

d_  e



_kt _.

Згідно з початковою умовою рекурентну формулу

^pk⁰ ^{ Ck}⁰ ^{ 0.}

Отже, отримаємо

k
^p^t ^{ ekt}

t

_ ^k1

0

^pk1

^  ^{ek d ,}
(3.22)

яка разом з (3.18) дозволяє послідовно знайти ймовірності

^p0 ^t^,

p_{1 }t_, , p_{n 1 }t_. Якщо n , тоді

n1

^pn^t ^{ 1 } _ ^pk^t^.

k 0
Математичне сподівання та дисперсію випадкового процесу знаходять, використовуючи формули:

(3.23)
^X^t

n
m_xt_  M_ X_t_  _ kp_kt_,

k 1


n
D_t_  D_ X_t_  _ k² p_t_  M² _ X_t_.

x k

k 1

Розглянемо окремі випадки процесу чистого розмноження.

І. Процес чистого розмноження з інтенсивністю _k

 .

Розглянемо процес чистого розмноження зі сталою інтенсивністю

_k (пуассонівськийпроцесчистогорозмноження), розмічений граф

якого зображено на рис. 3.7.



1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   36

скачати